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一道赛题变式的简解

时间:2015-09-24


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2 6  

数学通讯( 2 0 0 8年 第 1 O期 )  

? 专论荟萃 ?  



道赛题 变 式 的简 解 
符立平  
C 湖 南 省 桃 江县 教 育 局教 研室 ,4 1 3 4 0 0 )  

第 3 1 届西班牙数学奥林匹克第 2 题为 : 如果 ( z  



+~   干T) (  +  ̄ /  

)一 1 , 那么 z+  = 0 .  

( —   = ; = 兰 三 = 二 = _  菩 、   + 、  

+z +   ) ( z +   )   一 ~ … ~ 

在《 数学 通 讯 》 网站论坛 上, 一 位 网 友 提 出 了 该  题 的如 下 变 式 , 并 发 贴 向各 位 求 教 :  
已知 

抖  ‘   萧
 ̄ /  

¨  

(  

+   ) (  

F 『一z )一 1  

① 

十 l十  ̄ /   Y  十 l  

试 判 断 z与  的大 小 关 系 .  

文[ 1 ]通过先猜后证. 给出了上述 变式 的一种解  答. 本 文 将 给 出该 变 式 的 两 种 较 为 简 洁 的解 法 , 供 大 
家参考.  
解法 1   设 

≥  
. 

等 

≥ o ,  

( A — B) ( z+  )+ 2≥ 2 ,  

. . . z—  = 0, 即 z —  .  

最 后 再 给 出两 个 变式 :   +z )一 A   ② 

( ~  

_ 『 一  ) (   j  

变式1   若( 、  
贝 Ⅱ z+   一0 .  

+   ) ( ~   F  F_ ) 一1 ,  

由 ① ×② 得 : ( z   +l —  ) (   +1 一z   ) 一 A。  

即1 一( z   一  )  一 A, 所以 A≤ 1 .  

变式 2  (  

+1 +  ) (  ̄ /   +1 +z ) 一1 的充 

将 ① 式 左 边 展 开 得 :, / V + 1? ̄ /   + 1一 
z ̄ / ≯  +   ̄ /   一   一1 .  

要条件是( ~  

+z ) (  ̄ /  

T+  )= 1 .  

下 面 给 出 变 式 2的 一个 巧 证 :  

将 ② 式 左 边 展 开 得 : ̄ /  
z 

_ r? ̄ /  

T+  

设、   ■ 干 T+z :s , 则 ̄ / ≯ 可 一z =÷.  
? . . 

层 

一  、  

一   一 A.  
干  一x y )= 1 +A  ③ 

由 以上 两式 相 加 得 :  

而 =   1 ( s + ÷ ) , z :   1 ( s 一 ÷ ) .  
+  =r , 则 ̄ /  
: 1 (

2 (  ̄ /  

设 ̄ /  
. . .  

一  =   ,  

又 由柯西 不等 式知 :  ̄ /  

F  

F   ≥ 

+l , 代人 ③ 式得 : 1 +A≥ 2 , . . . A≥ 1 .   所以A:1 , 再代 人 ③ 式 得 :  

r + ÷ ) ,   :   1 ( r 一 ÷ )  
+z ) 一1  

(  而

+  ) ( ~  

 ̄ / ,  
. 

干  一   一1 .  

( z  + 1 ) (   + 1 )一 (   + 1 )  ,  

㈢ [ 专 ( s + ÷ ) + 专 ( r 一  ) ] [ 专 ( r  
上) ]一 1  

1 一 ( s 一  

即z  一 2 x y+  一 0 , . . . z一 

解法 2   设A: ~  

+  , B一  ̄ /  干T— 

z . 则A B一1 , ~  
.  

_ r 二A—  , B+x一  ̄ /   吼

 
④  ⑤  ⑥ 

㈢( s +土 + r -土 ) ( r + 1 +s 一   ) 一4  
㈢( s + r )  一 (   一  )  一 4   ㈢s 。 r 2 ( s + r )  一 ( s —r )  = 4 s 。 r 2   甘( s   一 1 ) ( s + r ) 。 + ( s + r )  一 ( s —r )  一 4 s  

+1 一 ( A—  )  

( B+ z )  =   +1  

⑤ ×A  , 并注意到 A B一1 , 得:  
( A x+ 1 )  一 A   + A 
+ Z As,  


⑥~④, 得( A  一 1 ) z  + 2 A x= ( A  一 1 ) y  
- . ( A 一 1 ) ( z  一  )+ 2 A( z— )= 0 .  


㈢( s   r 2— 1 ) ( s + r )  + 4 s t ( 1一 s t )一 0  

㈢(  一1 ) [ (  +1 ) ( s +r )  一4  ]一 0   e  ̄ ( s r 一1 ) [  ( s +r )  + ( s —r ) 。 ]: 0  
t =  ̄ s r一 1 ( . . . s > 0 , r> O)  

( z—  ) E ( A  一1 ) ( z+ ) +2 A;一 0 ,   ( z—  ) [ ( A—B ) ( z+  ) +2 ]= o ( 由上式乘 

甘(   而

+z ) (  

+  ) 一1 .  

B得 ) .  
。  ( A — B) ( z +  )  


参考文献 :   [ 1 ]张必 平. 一道 西 班 牙 竞 赛 题 的 奇 异 变 式 . 数 学 通 

(  ̄ /  

一 ̄ /  

+  +z ) ( z +  )  

讯 , 2 0 0 7 ( 2 0 ) .  


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