数学：2.4平面向量的数量积 课件一(新人教A版必修四)

2.4

平面向量的数量积

2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角

问题提出

1.向量a与b的数量积的含义是什么？
a· b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角

2.向量的数量积具有哪些运算性质？ （1）a⊥b ? a· b＝0(a≠0，b≠0)； （2）a2＝︱a︱2； （3）a· b＝b· a； （4）(λa)·＝λ(a· b b)＝a·(λb)； （5）(a＋b)· c＝a· c＋b· c； （6）︱a· b︱≤︱a︱︱b︱.

3.平面向量的表示方法有几何法和坐标 法，向量的表示形式不同，对其运算的 表示方式也会改变.向量的坐标表示，对 向量的加、减、数乘运算带来了很大的 方便.若已知向量a与b的坐标，则其数量 积是唯一确定的，因此，如何用坐标表 示向量的数量积就成为我们需要研究的 课题.

探究（一）：平面向量数量积的坐标表示

思考1：设i、j是分别与x轴、y轴同向的 两个单位向量，若两个非零向量a＝(x1， y1),b＝(x2，y2)，则向量a与b用i、j分别 如何表示？
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 思考2：对于上述向量i、j，则i2，j2，i· j 分别等于什么？ i2=1，j2=1，i· j=0.

思考3：根据数量积的运算性质，a· b等 于什么？ a· 1x2＋y1y2 b＝x 思考4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则 a· 1x2＋y1y2，这就是平面向量数量 b＝x 积的坐标表示.你能用文字描述这一结论 吗？

两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.

思考5：如何利用数量积的坐标表示证明 (a＋b)· c＝a· c＋b· c？

探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示

思考1：设向量a＝(x，y)，利用数量积 的坐标表示，︱a︱等于什么？ 2 2 ︱a︱= x + y 思考2：如果表示向量a的有向线段的起点 和终点的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)， 那么向量a的坐标如何表示？︱a︱等于什 么？ a＝(x2－x1，y2－y1)；

︱a︱＝ ( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2

2

思考3：设向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)， 若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何 反之成立吗？ a⊥b ? x1x2＋y1y2＝0.
?

思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角 为θ ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那 么cosθ 如何用坐标表示？

a ?b cos ? ? ? ab

x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y 2
2

2

理论迁移

例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17；（3）－3.

例2 已知点A（1，2）,B（2，3）, C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给 出证明. △ABC是直角三角形
例3 已知向量a＝(5，－7)，b＝ (－6，－4)，求向量a 与b的夹角θ （精确到1°）.

cosθ ≈－0.03，θ ≈92°.

例4 已知向量a＝(λ ，－2)，b＝ (－3，5)，若向量a 与b的夹角为钝角， 求λ 的取值范围.

10 6 6 (, ) U( , + 3 5 5

)

例5 已知b＝(1，1)，a· b＝3， |a－b|＝2，求|a|.

2 2

小结作业

1.a∥b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 a⊥b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.

作业： P107练习：1，2. P108习题2.4A组：9，10，11.