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3.2.3直线的一般式方程


(一)填空
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 已知条件
(x0,y0) , k

方程

适用范围

y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线

k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)

x轴上截距a y轴上截距b

y

=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b

有斜率的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线

过点 (x0 , y 0) 与x轴垂直的直线可表示成 x ? x0 , 过点 (x0 , y 0) 与y轴垂直的直线可表示成 y ? y0 。

2.

问题情境一
数学家笛卡尔在平面 直角坐标系中研究两直线间 的位置关系时,碰到了这样 一个问题:平面直角坐标系 中的任何一条直线l能不能 用一种自然优美的“万能” 形式的方程来表示?

证明: 1)当直线与x轴不垂直时, 直线方程都可写成: y = kx + b, 这显然是关于 x, y的二元一次方程。 2)当直线与x轴垂直时, 直线方程可写为:x = x0 在坐标系中,这可化为 y的系数为0的二元一次方程。
0
x1 x y 0 y x y=kx+b

结论1:平面上任意一条直线都 可以用一个关于 x , y 的二元一 次方程表示。

3.

问题情境二
数学家笛卡尔接着 思考?
每一个关于x , y 的二元一次方程 都表示直线吗?

结论2:关于 x , y 的二元一次方 程,它都表示一条直线。

直线与二元一次方程的关系
(1)直线方程都是关于x、y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线

直线和二元一次方程是一一对应。

3.新知:直线方程的一般式

定义:我们把关于 x , y 的二元 一次方程Ax+By+C=0(其中A,B 不同时为0)叫做直线的一般式方 程,简称一般式。

注意事项:
对于直线方程的一般式,一般做如下约定: (1) x的系数为正。 (2) x、y的系数及常数项一般不出现分数,一般按 含x项、y项、常数项顺序排列。 (3)求直线方程的题目,无特别要求时,结果都写 成一般式。

4.

深化探究

在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合;(5)过原点; y

(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x

4.

深化探究

在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点; y

(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0

x

4.

深化探究

在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点; y

(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0 x

4.

深化探究

在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合;(5)过原点; y

(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x

4. 深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合;(5)过原点; y

(5) C=0,A、B不同时为0;
0 x

4 例1、已知直线经过点(6, - 4),斜率为- , 3 求直线的点斜式、一般式方程和截距式 4 解:将点(6, - 4),k = - 代入点斜式方程 3 4 得y + 4 = - ( x - 6) 3 一般式为4 x + 3 y - 12 = 0.

说明:在讨论直线问题时,常常将直线 的形式相互转化。

x y 截距式 + = 1 3 4

例2、把直线l的方程x - 2 y + 6 = 0化成斜截式, 求出直线l的斜率和它在x轴y轴上的截距并画图.

解:由x - 2 y + 6 = 0得2 y = x + 6 1 即斜截式为y = x + 3 2 1 \ k = .在轴上的截距为3. 2 再令y = 0, 可得x = - 6即 直线l在x轴上的截距为 - 6
y

B

A

0

x

巩固练习P99 1,2,3

小结
在平面直角坐标系中,任何 关于x,y的二元一次方程都表示 一条直线;任何一条直线的方程 都可以写成关于x,y的二元一次 方程.

作业P100 A 8,10,B 1


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