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高三一轮复习专题之三角函数与平面向量测试题

时间:2015-11-03


三角函数与平面向量 1.如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? (2,0), AD ? (?3, 2) ,则 BD ? AC ? B. 4 C. 9 D. 13 π ? 2.函数 y=cos2? ?x+4?的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0)后,所得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为( A.π 3π B. 4 ) π C. 2 π D. 4 A. ? 6



??? ?

??? ?

??? ? ????

3.向量 a ? (1,2),b ? (?2,3),若ma ? nb 与 a ? 2b 共线(其中 m, n ? R且n ? 0)则 ( ) A. ?

m 等于 n

1 2

B.

4.要得到函数 y ? sin( 2 x ? ? A.向右平移 个单位 6 C.向左平移

?

1 2

C.-2

D.2

6

) 的图象,只需将函数 y ? cos( 2 x ?
B.向右平移

?
3

) 的图象 (

)

? 个单位 3

? 个单位 3

? D.向左平移 个单位 6

5. 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, S 表 示 ?ABC 的 面 积 , 若

a cos B ? b cos A ? c sin C , S ?
A. 30
?

1 2 2 b ? c ? a 2 ?,则?B ? ( ? 4
C. 60
?



B. 45

?

D. 90

?

6.在△ABC 中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且 sinC=2sinAcosB,则△ABC 是( ) A.直角三角形,但不是等腰三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.已知 a 是实数,则函数 f(x)=acosax 的图象可能是( )

8.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 A , B , C 的对边,如果 a, b, c 成等差数列, B ? 30? , ?ABC 的

面积为 3 ,那么 b ? (
2
A. 1? 3 2 B. 1 ? 3


C. 2? 3 2 D.2 ? 3

9.如图,AB 是圆 O 的直径,P 是圆弧 AB 上的点,M,N 是直径 AB 上 → → 关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则PM· PN=( C ) A.13 B.7 C.5 D.3 10.已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=(2cosC-1,-2), n=(cosC,cos C+1).若 m⊥n,且 a+b=10,则△ABC 周长的最小值为( ) A.10-5 3 二.填空题: 11.平面向量 a 与 b 的夹角为 12. 函 数 f B.10+5 3 C.10-2 3 D.10+2 3

?

?

? ? ? 2? ? , a ? (3,0) , | b |? 2 ,则 | a ? 2b |? 3



? x? ? 2 sin?? x? ? ? 的 图 像 , 其 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则

f ? 0? ? _______.
13. 已 知 a, b, c 分 别 为 ? ABC 的 三 个 内 角 的 对 边 , a ? 2 , 且

(2 ? b) ( s iA n? s i n B ) ? ( c ? b) s i n C ,则 ?ABC 面积的最大值为
14.如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD = 15. 如图,半圆的直径 AB ? 4 , O 为圆心, C 为半圆上不同于 A 、 B 的任 意 一 点 , 若 P 为 半 径 OC 上 的 动 点 , 则 ( PA ? PB) ? PC 的 最 小 值 是 __________. 三.解答题:



??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

16.(本小题 12 分)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= 3 ,
π B=A+ . 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 3 , 3

6

16 解 (1)在△ABC 中,由题意知,sinA= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2

π? 6 所以 sinB=sin? ?A+2?=cosA= 3 . asinB 由正弦定理得 b= = sinA π (2)由 B=A+ ,得 2 π? 3 cosB=cos? ?A+2?=-sinA=- 3 . 由 A+B+C=π,得 C=π-(A+B). 所以 sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 因此△ABC 的面积 1 1 1 3 2 S= absinC= × 3× 3 2× = . 2 2 3 2 3 ? 6 6 1 3? × + × = . 3 ?- 3 ? 3 3 3 3× 6 3 =3 2. 3 3

17.(本小题满分 12 分)

? x ? ? )( ? ? 0, 0? ? ? 函数 f ( x) ? 2 sin(
? . 2

?
2

)的部分图象如下图

所示,该图象与 y 轴交于点 F(0,1),与 x 轴交于 B,C 两点,M 为 图象的最高点,且△MBC 的面积为

(I)求函数 f ( x ) 的解析式及单调增区间; (II)若 f (? ?

?
12

)?

2 ? 2 ,求 cos (? ? ) 的值. 3 4

18.如图,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 . (1)求 cos ?CAD 的值; (2)若 cos ?BAD ? ?

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

19.(本小题 12 分)山顶有一座石塔 BC,已知石塔的高度为 a.

(1)如图(1),若以 B,C 为观测点,在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α,在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β,用 a,α,β 表示山的高度 h. (2)如图(2), 若将观测点选在地面的直线 AD 上, 其中 D 是塔顶 B 在地面上的正投影. 已 知石塔高度 a=20, 当观测点 E 在 AD 上满足 DE=60 10时, 看 BC 的视角(即∠BEC)最大, 求山的高度 h. 解 (1)在△ABC 中,∠BAC=α-β,∠BCA=90° +β,

BC AB 在△ABC 中,由正弦定理,得 = , sin∠BAC sin∠BCA asin? 90° +β? acosβ ∴AB= = . sin? α -β? sin? α -β? acosβsinα a·cosαsinβ 则 h=AB·sinα-a= -a= . sin? α -β? sin? α -β? (2)设 DE=x.∵tan∠BED= h+20 h ,tan∠CED= , x x

tan∠BED-tan∠CED ∴tan∠BEC= 1+tan∠BED· tan∠CED 20 x 20 10 = = ≤ . ?h +20? h ?h +20? h h? h +20? 1+ x+ x2 x ?h +20? h 当且仅当 x= ,即 x= h? h +20?时,tan∠BEC 最大,从而∠BEC 最大, x 由题意, h? h +20?=60 10,解得 h=180.

20(本题共 12 分) 已知向量 m ? (cos , ?1), n ? ( 3sin ,cos2 ) ,函数 f ( x) ? m ? n ? 1 . (Ⅰ)若 x ?[0, ] , f ( x) ?

??

x 2

?

x 2

x 2

?? ?

?

2

11 ,求 cos x 的值; 10

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f ? B ? 的 取值范围.

3 20(Ⅰ) f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1 ? sin x ? 1 ? cos x ? 1 2 2 2 2 2
= 3 sin x ? 1 cos x ? 1 ? sin x ? ? ? 1 2 2 2 6 2

?

?

………2 分

? f ? x ? ? 11 ,?sin x ? ? ? 3 ,又 x ? ?0, ? ? ,? x ? ? ? ?? ? , ? ? ,? cos x ? ? ? 4 4 分 ? 2? ? ? 6 3? ? 10 6 5 6 ? 6 5 ?

?

?

?

?

?cos x ? cos ? x ? ? ? ? ? ? cos x ? ? cos ? ? sin x ? ? sin ? ? ? ? 6 6? 6 6 6 6 ?
(Ⅱ)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得 2 sin B cos A ? 2 sin C ? 3 sin A ,

?

?

?

?

?

?

4 3 ? 3 ………6 分 10

?2sin B cos A ? 2sin ? A ? B ? ? 3 sin A ? 2sin B cos A ? 2 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 3 sin A ………10 分

? ?sin ? B ? ? ? ? ? ? 1 , 0? ,? f ? B ? ? sin ? B ? ? ? ? 1 ? ? 0, 1 ? ? ? 6 2 ? 6 2 2?
? 2sin A cos B ? 3 sin A,?cos B ? 3 ,? B ? 0, ? ? , 2 6? ?

………13 分

→ → 21.(本小题 12 分)已知向量OA=(λcosα,λsinα)(λ≠0),OB=(-sinβ,cosβ),其中 O 为 坐标原点. π → → (1)若 α-β= 且 λ=1,求向量OA与OB的夹角; 6 → → (2)若|BA|≥2|OB|对任意实数 α,β 都成立,求实数 λ 的取值范围. 解 → (1)当 λ=1 时,OA=(cosα,sinα),

→ 故|OA|= cos2α+sin2α=1, → |OB|= ?-sinβ? 2 +cos2β=1. π 1 → → 又OA· OB=cosα·(-sinβ)+sinαcosβ=sin(α-β)=sin = , 6 2 → → OA· OB 1 → → 故 cos〈OA,OB〉= = . → → 2 |O A |×|OB| → → 因为〈OA,OB〉∈[0,π], π → → 所以〈OA,OB〉= . 3

→ → → → → (2)BA=OA-OB=(λcosα+sinβ,λsinα-cosβ),故|BA|≥2|OB|对任意实数 α,β 都成立, 即(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4 对任意实数 α,β 都成立. 整理得 λ2+1+2λsin(β-α)≥4 对任意实数 α,β 都成立. 因为-1≤sin(β-α)≤1,
? ? ?λ>0, ?λ<0, 所以? 或? ?λ2+1-2λ≥4 ? ? ?λ2+1+2λ≥4,

解得 λ≥3 或 λ≤-3. 所以实数 λ 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).

6.如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=AD=1,∠BAD=θ ,而△BCD 是正三角形. (1)将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 θ 的函数; (2)求 S 的最大值及此时 θ 角的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x, 6. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ) 将函数 f ( x ) 的图象像左平移

??

?

?? ? A cos 2 x)( A ? 0) , 函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 2

? 1 个单位, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 12 2
? ? ?? 上的值域。 , ? 8 12 ? ?

倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象。求 g ( x) 在 ? ?

2.已知 m ? (b sin x, a cos x), n ? (cos x, ? cos x) , f ( x) ? m ? n ? a ,其中 a, b, x ? R .且满 足 f ( ) ? 2, f ?(0) ? 2 3 .(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? log 1 k ? 0 在区间

??

?

?? ?

?

6

3

[0,

2? ] 上总有实数解,求实数 k 的取值范围. 3


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