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一元二次方程求根公式


主讲:黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将 一 元 二 次 方 程 ax2 + bx + c=0(a≠0) 进 行 配 方 , 当 b2 - 4ac≥0 时 的 根 为

. 该式称为一元二次方程的求根公式, 用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公 式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般

形式的一元二次 方程 ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数 a、b、c 的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一 般形式. 2、一元二次方程的根的判别式

(1)当 b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根



(2)当 b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根



(3)当 b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的 关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“

”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能 起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程 ;

用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为 ,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方

程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入 求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用 b2-4ac 的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点:

(

≥0)

(1)b2-4ac 是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能 确定 a、b、c,求出 b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认 a、b、c;

(3)根的判别式是指 b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程:

(1)



(2)



(3)

.

分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出 a、b、c 的值,再代入公式计算,

解:(1)因为 a=1,

,c=10

所以

所以

(2)原方程可化为

因为 a=1,

,c=2

所以

所以

.

(3)原方程可化为

因为 a=1,

,c=-1

所以

所以



所以



总结: (1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式;如果二次项系数为负 数,通常将其化为正数;如果方程的系数含有分母,通常先将其化为整数,求出的根要 化为最简形式; (2)用求根公式法解方程按步骤进行. 例2、用适当方法解下列方程:















分析: 要合理地选用适当的方法解一元二次方程,就必须熟悉各种方法的优缺点,处理好 特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方 法而言,配方法、公式法是一般方法,而开平方法、因式分解法是特殊方法。 ⑴ 公式法是最一般的方法,只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入一元二次方程的求根公式

求值,所以对某些方程,解法又显得复杂了。如①,可以直接开平方, 就能马上得出解;若此时还用求根公式就显得繁琐了。 ⑵ 配方法是一种非常重要的方法,在解一元二次方程时,一般不使用,但并不是 一定不用,若能合理地使用,也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶 数,则可使用,计算量也不大。如②,因为224比较大,分解时较繁,此题中一次项系 数 是 -2 。 可 以 利 用 用 配 方 法 来 解 , 经 过 配 方 之 后 得 到

,显得很简单。

⑶ 直接开平方法一般解符合

型的方程,如第①小题。

⑷ 因式分解法是一种常用的方法,它的特点是解法简单,故它是解题中首先考虑 的方法, 若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解 时,应考虑变换方法。

解:①

两边开平方,得

所以



配方,得

所以

所以



配方,得

所以

所以



因为

所以

=4+20=24

所以

所以



配方:

所以

所以



整理,得

所以



移项,提公因式,得

所以 小结: 以上各题请同学们用其他方法做一做,再比较各种方法的优缺点,体会如何选用合 适的方法,下面给出常规思考方法,仅作参考。

例3、已知关于 x 的方程 ax2-3x+1=0有实根,求 a 的取值范围.

解:当 a=0时,原方程有实根为

若 a≠0时,当

原方程有两个实根.

故,综上所述 a 的取值范围是

.

小结: 此题要分方程 ax2-3x+1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论,即分当 a=0与 a≠0两种情况. 例4、已知一元二次方程 x2-4x+k=0有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程 x2-4x+k=0与 x2+mx-1=0有 一个相同的根,求此时 m 的值. 解:(1)因为方程 x2-4x+k=0有两个不相等的实数根, 所以 b2-4ac=16-4k>0,得 k<4. (2)满足 k<4的最大整数,即 k=3. 此时方程为 x2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3. ①当相同的根为 x=1时,则1+m-1=0,得 m=0;

②当相同的根为 x=3时,则9+3m-1=0,得

所以 m 的值为0或

例5、设 m 为自然数,且3<m<40,方程 根求 m 的值及方程的根。

有两个整数

解:



∵方程有整数根, ∴4(2m+1)是完全平方数。 ∵3<m<40 ∴7<2m+1<81

∴2m+1值可以为9,25,49 ∴m 的值可以为4,12,24。

当 m=4时方程为

解得 x=2或 x=8

当 m=12时方程为

解得 x=26或 x=16

当 m=24时方程为

解得 x=52或 x=38

总结: 本题先由整数根确定2m+1是完全平方数,再由3<m<40中 m 为整数确定 m 的值,再 分别试验求 x,是本题特点。


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