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3.2.2直线的两点式方程


复习
直线 方程 名称

已知 条件
点 P (x , y ) 和斜率k
1 1 1

直线方程

使用范围

点 斜 式 斜 截 式

y ? y ? k(x ?x )
1 1

斜率k和直 线在y轴上 的截距

>
y ? kx ? b

斜 率 必 须 存 在

斜率不存在时, 直线方程为: x ? x0

3.2.2 直线的两点式方程

探究:已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)
(其中x1≠x2, y1≠y2 ),如何求出通过这两 点的直线方程呢? y2 ? y1
y l
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)

k?

x2 ? x1

代入y ? y0 ? k ( x ? x0 )得
y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

x

y ? y1 x ? x1 两点式: ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
记忆特点:

课堂练习:
1.求经过下列两点的直线的两点式方程,再化 斜截式方程. y ?1 x ? 2
?3 ? 1 0 ? 2
y ?5 x?0 ? 0?5 5?0
y?0 x?0 ? ? 5 ? 0 ?4 ? 0

(1)P(2,1),Q(0,-3) (2)A(0,5),B(5,0)

?

y ? 2x ? 3

y ? ?x ? 5
5 y? x 4

(3)C(-4,-5),D(0,0)

方法小结 已知两点坐标,求直线方程的方法: ? ①用两点式 ? ②先求出斜率k,再用点斜式。

截距式方程
y
B(0,b)

代入两点式方程得
y?0 x?a ? b?0 0?a
A(a,0)

l

x

化简得 x y ? ?1 a b

截距式方 程

横截距

纵截距

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

2.根据下列条件求直线方程
(1)在x轴上的截距为2,在y轴上的截距是3;

x y ? 1 整理得: 3x ? 2 y ? 6 ? 0 由截距式得: ? 2 3
(2)在x轴上的截距为-5,在y轴上的截距是6;

x y 由截距式得: ? ? 1 ?5 6

整理得: 6 x ? 5 y ? 30 ? 0

练习
下 列 四 个 命 题 中 的 真题 命 是 (D) A.经 过 定 点0P (x0 ,y 0 )的 直 线 都 可 以 用 方 程 y? y 0 ? k(x ? x 0 )表 示 ; x y B.不 经 过 原 点 的 直 线 都 可 以 用 方 程 ? ? 1表 示 ; a b C.经 过 定 点 的 直 线 都 可 以 用 y? kx ? b表 示 . D.经 过 任 意 两 个 不 同 P1(x1,y 1 ), P2(x2 ,y 2 )的 点 的 直 线

都 可 以 用 方 程 (y ?y 1 )(x2 ? x 1 ) ? (x ? x 1 )(y2 ? y 1 )表 示

例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),
求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直 y 线的方程.
C .

. A

O

.M
. B

x

3x-5y-7=0 变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程? 3x-5y+15=0

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b

点斜式
斜截式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x y ? ?1 a b

1.点斜式: y-y1=k(x-x1)
(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的 ▲ ▲ (2)当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为y=y1 (3)当直线倾斜角90°时,直线没有斜率,方程 ▲ 式不能用点斜式表示,直线方程为x=x1 ▲

2.斜截式:

y=kx+b

说明:
(1)上述方程是由直线l的斜率和它的纵 截距确定的,叫做直线的方程的斜截式。 (2)纵截距可以大于0,也可以等于 0或小于0。

y ? y1 x ? x1 ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 3.两点式: y2 ? y1 x2 ? x1
说明:
(1)这个方程是由直线上两点确定; (2)当直线没斜率或斜率为0时,不能 用两点式来表示;

x y 4.截距式: ? ?1 a b
说明: (1)这一直线方程是由直线的纵截
距和横截距所确定; (2)截距式适用于纵,横截距都 存在且都不为0的直线;

对截距概念的深刻理解

求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线?
当两截距都不为0时 解:设 直线的方程为: x ? y ? 1 a a 把(1,2)代入得:
1 2 ? ?1 a a

即:a=3 所以直线方程为:x+y-3=0 那还有一条呢?

法二:用点斜式求解

当两截距都等于0时 y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)

对截距概念的深刻理解

变: 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条?
解:三条


? ? ?

x y ? ?1 a b a ?b

解得:a=b=3或a=-b=-1 直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x

变:过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截 距的2倍的直线是( )
A、 x+y-3=0 C、 2x+y-4=0 B、x+y-3=0或y=2x D、2x+y-4=0或y=2x

数形结合与对称的灵活应用

练习:

1 已知直线l : y ? x ? 1, 2 求点P(3, 4)关于直线l的对称点

求直线l关于点(2,3)对称的直线方程

数形结合与对称的灵活应用 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4) (1)求点A关于直线l的对称点 (-2,8) (2)在直线l是求一点P,使|PA|+|PB|最小 (-2,3) (3)在直线l是求一点Q,使|QB|-|QA|最大 (12,10) A1(x,y) Q P G A(2,0) B(-2,-4) B(-2,-4) A(2,0)

课后作业
1.已知两点A(2,-1)、B(-2,-4)试在x轴上求一点P, (1)使|PA|+|PB|最小. (2)使|PB|-|PA|最大. 2.已知直线y=2x-1,求点P(3,2)关于直线的对称点以及 直线关于P(3,2)的对称直线方程. 3.已知直线l过定点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点。求△AOB面积的最小值及此时l的方程

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b

点斜式
斜截式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x y ? ?1 a b


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