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第三讲 函数的奇偶性周期性与对称性


第三讲
1.函数的奇偶性:

函数的奇偶性周期性与对称性

(1)奇函数 ? ?x ? D, f (? x) ? ? f ( x) ? ?x ? D, f (? x) ? f ( x) ? 0

? 函数 f ( x) 的图像关于原点 O 对称。
(2)偶函数 ? ?x ? D, f (? x) ?

f ( x) ? ?x ? D, f (? x) ? f ( x) ? 0

? 函数 f ( x) 的图像关于原点 y 轴对称。
2.一些结论: (i)偶函数的和,差,积,商仍是偶函数; (ii)奇 ? 奇=奇,奇.奇=偶,奇/奇=偶,奇.偶=奇,奇/偶=奇。 (iii)奇偶函数的结构: 奇函数= ?

? f ( x), x ? (??,0) ; ?? f (? x), x ? (0,??)

偶函数= ?

? f ( x), x ? (??,0) ? f (? x), x ? (0,??)

(iv)定义在对称区间 D 上的任意函数 f ( x) 一定可表示为一个奇函数 F ( x) 与一个偶函数

G ( x) 的和,并且表示法唯一,即: f ( x) ? F ( x) ? G( x) ; F ( x) ?
3.周期性: ( 1 )周期函数的定义:定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,若对于 ?x ? D ,存在非零常数 T ,使得

f ( x) ? f (? x) , 2

G ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 2

f ( x ? T ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 是以 T 为周期的周期函数。
(2)几点结论:函数的图像每隔 T 个单位就重复出现。 4.对称性: (1)函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称 ? f ( x) ? f (2a ? x)

? f ( a ? x) ? f ( a ? x)
(2)函数 y ? f ( x) 是偶函数且图像关于直线 x ? a(a ? 0) 对称 ? T ? 2a (3)函数 y ? f ( x) 是奇函数且图像关于直线 x ? a(a ? 0) 对称 ? T ? 4a

题例: 1.函数 y ? 2| x| 的大致图象是( ) .

2. 设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x?1 ? 2 x ? b( b 为常数) , 则 f (?1) ? _____ . 3.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的奇函数,当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , 则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? .

4.已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? b sin x ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? _____. 5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8,??) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则 A

f (6) ? f (7)

B f (6) ? f (9)

C f (7) ? f (9)

D

f (7) ? f (10)

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 7.已知 f ( x ) ? a ?

2 (a ? R) : 3 ?1
x

(1)证明 f ( x) 是 R 上的增函数; (2)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数?若存在,请求出 a 的值,若不存在,说明理由. 8.已知 f ( x) ? loga (1 ? x),g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0,a ? 1) (1)求 f ( x) ? g ( x) 的定义域. (2)判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性. (3)解不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 9.已知函数 f ( x) ? log4 (4 ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数.
x

(I)证明:对任意实数 b ,函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? ? (II)若方程 f ( x) ? log 4 (a ? 2 ?
x

3 x ? b 最多只有一个交点; 2

4a ) 有且只有一个解,求实数 a 的取值范围. 3

练习三 一.选择题

函数的基本性质强化(二)

1.若函数 f ( x) ? x3 , 则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是 A.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 B.单调递减的偶函数 D.单调递增的奇函数 ) C.非奇非偶函数 D.既是奇又是偶函数

2.函数 y ? a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 是( A.奇函数 B.偶函数
a

3.设 0 ? a ? 1, 函数 y ? log 1 | x | 的图像形状大致是

y

y

y ?1

y

1
O

1
x
O

x

O 1 C

x

?1 O D

1

x

A

B

4.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数, 当 x > 0 时 f ( x) ? ? x ? 1 , 则当 x < 0 时,f ( x ) 的表达式为 ( A. f ( x) ? ? x ? 1 B. f ( x) ? ? x ? 1 C. f ( x) ? x ? 1 D. f ( x ) ? x ? 1

)

5.设 f ( x ) 是 R 上的偶函数, 且在 [0, 则 f (?2) , f (?3) , f (?? ) 的大小顺序是: ( ? ?) 上单调递增, A、 f (?? ) ? f (3) ? f (?2) C、 f (?2) ? f (3) ? f (?? ) 6. F ( x ) ? ( x ? A.是奇函数 C.是偶函数 B、 f (?? ) ? f (?2) ? f (3) D、 f (3) ? f (?2) ? f (?? ) )



1 ) f ( x )( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x ) 不恒等于零,则 f ( x ) ( x
B.可能是奇函数,也可能是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数

7.已知 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,那么不等式 f ( x ) ? ( ) A. ? x 0 ? x ?

1 的解集是 2

? ?

5? ? 2?

B. ? x ?

? ?

3 ? ? x ? 0? 2 ?

C. ? x ?

? ?

3 5? ? x ? 0, 或0 ? x ? ? 2 2?

D. ? x x ? ?

? ?

3 5? , 或0 ? x ? ? 2 2?


8.设 f ( x) ? lg( A. ? ?1,0?

2 ? a ) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( 1? x
B. ? 0,1? C. ( ??, 0) D. (??,0)

(1, ??)

二.填空题 9.若函数 f ?x? ? ?k ? 2?x 2 ? ?k ? 1?x ? 3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 10.若函数 f ( x ? 1) 为奇函数, 函数 f ( x ? 1) 为偶函数,且 f (0) ? 2 ,则 f (4) ? 。 .

三.解答题 11. 已知奇函数 f ( x) 是定义在 [?2,2] 上增函数,且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? 0 ,求 x 的取值范围.

12. 已知:函数 f ( x ) ? ax ? (Ⅰ)求 a、b、c 的值;

b 5 17 ? c ( a、b、c 是常数)是奇函数,且满足 f (1) ? , f (2) ? , x 2 4 1 2

(Ⅱ)试判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上的单调性并证明;

13.若函数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x

(1)判断函数的奇偶性 (2)在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间,求出函数值域。

14. 已知函数 f ( x) ? loga (a x ? 1)(a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性.

练习三 1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A

函数的基本性质强化(二)参考答案 9. ? 0. ? ?? ;10. ?2

?? 2 ? x ? 2 ? 2 ? 11 解:? ?? 2 ? x ? 1 ? 2 ?x ? 2 ? 1 ? x ?
12.⑴

?0 ? x ?

3 2

f ( ? x) ? ? f ( x)
5 ? f (1) ? ? ? 2 ? ? f (2) ? 17 ? ? 4

?c ? 0
?a ? 2 ? ?? 1 b? ? ? 2
1 2x

5 ? a?b ? ?? ? 2 ? ?2a ? b ? 17 ? ? 2 4



由(1)问可得 f ( x) ? 2 x ?

? f ( x) ? 2 x ?
1 2

1 在区间(0,0.5)上是单调递减的 2x

证明:设任意的两个实数 0 ?

x1 ? x2 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ? ( x2 ? x1 )(1 ? 4 x1x2 ) 2 x1 x2
1 2

1 1 (x ? x ) ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 1 2 x1 2 x2 2 x1 x2



0 ? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ? 0 0 ? x1 x2 ?

1 4

, 1 ? 4 x1x2

?0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? f ( x) ? 2 x ?
13. (1)是偶函数 (2)

1 在区间(0,0.5)上是单调递减的 2x

14.解: (1)由 a ? 1 ? 0 ,得 a ? 1 .
x x

当 a ? 1 时, x ? 0 ;

当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 .

所以 f ( x) 的定义域是当 a ? 1 时, x ? (0,??) ;当 0 ? a ? 1 时, x ? (??,0) . (2)当 a ? 1 时,任取 x1 、 x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 ,

则a

x1

? a x2 ,所以 a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 .

x x 因为 a ? 1 ,所以 loga (a 1 ? 1) ? loga (a 2 ? 1) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

故当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0,??) 上是增函数. 当 0 ? a ? 1 时,任取 x1 、 x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x 2 , 则a
x1

? a x2 ,所以 a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 .

x x 因为 0 ? a ? 1 ,所以 loga (a 1 ? 1) ? loga (a 2 ? 1) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

故当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (??,0) 上也是增函数.


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