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三角函数的化简与证明


第 35 课 三角函数的化简与证明

●考试目标 主词填空 1.三角函数式的化简要求及常规方法 化简就是使式子最简,即:能求值的应求值;次数最低,项数最少,三角函数种类最少,将高级运 算表为低级运算; 化简的常规方法有:直用公式,逆用公式,变用公式,切割化弦,异名化同名,异角化同角, 高次化低次. 2.三角恒等式的证明 常用的方法有:化繁为简,左右归一,变更等

式,化异为同,异角化同角,异名化同名. 3.条件等式的证明 认真解读条件与结论,发现已知条件和待定等式之间的关系,选择适当的途径和机会把条件等 式用上去! ●题型示例 点津归纳 【例 1】 化简下列各式 (1) (2)

1 1 1 1 ? 3? ? ? ? cos 2? ? ? ? ? 2? ? ; 2 2 2 2 2 ? ?

1 ? 3 tan x 3 ? 5 tan x ; ? 2 cos 2x ? sin 2x ? 1 cos 2x ? 4 sin 2x ? 4

(3)sec2280°-3csc2280°. 【解前点津】 (1)利用升次公式,去掉开方符号. (2)可使用换元化简,令 t=tanx. (3)化割为弦. 【规范解答】 (1)∵

3? 1 1 ? ? ? 2? ,? ? cos 2? ?| cos ? |? cos ? , 2 2 2

又∵

3? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,? ? cos ? ?| sin |? sin ,?原式 ? sin . 4 2 2 2 2 2 2

(2)令 t=tanx,则原式=

1 ? 3t 3 ? 5t ? 2 2(1 ? t ) 1? t 8t 2t ? ?4 ? ?1 2 2 2 1? t 1? t2 1? t 1? t
2

=

(1 ? 3t ) ? (1 ? t 2 ) (1 ? 5t )(1 ? t 2 ) 2 ? ? (1 ? t 2 ) ? 2 sec 2 x . (1 ? 3t )(1 ? t ) (3 ? 5t )(1 ? t ) 1? t2

1

(3)原式=csc210°-3sec210°=(csc10°+ 3 sec10°)·(csc10°- 3 sec10°)

=

cos 10? ? 3 sin10? cos 10? ? 3 sin10? 16 sin(30? ? 10?) ? sin(30? ? 10?) ? ? sin10? ? cos 10? sin10? cos 10? sin 2 20?

=32cos20°. 【解后归纳】 切割化弦,巧用换元,都是常规方法. 【例 2】

? ?? ? ?? ? ? 证明:cos3α +sin3α +cos4α -sin4α = 4 2 cos? ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? cos 2 . 2 ?4 ? ?4 2?

【解前点津】 左右两边结构都较复杂,可同时化简,左、右归一. 【规范解答】 左边=(cosα +sinα )·(cos2α -cosα ·sinα +sin2α )+(cos2α +sin2α )·(cosα +sin α )·(cosα -sinα )=(cosα +sinα )·(1-cosα sinα +cosα -sinα )=(cosα +sinα )·(1+cosα )(1-sin α )

?? ? 1 ? cos? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? cos ? 右边= 4 2 ? ? cos cos ? ? sin ? sin ? ? ? 4 4 2 2 ? ?
? ( c o? s ?si n ? ) ·(1-sinα )·(1+cosα ),∴左边=右边,等式成立.
【解后归纳】 途径. 若被证明的等式两边都很复杂,则同时化简,双营齐下,是左、右归一的必然

【例 3】 若 2tanα =3tanβ ,证明:tan(α -β )=

sin 2 ? . 5 ? cos 2 ?

【解前点津】 利用条件,用 tanβ 表示等式左边,而右边同样可用 tanβ 表示. 【规范解答】 ∵tanα =

tan ? ? tan ? 3 tanβ ,∴tan(α -β )= 1 ? tan ? ? tan ? 2

3 tan ? ? tan ? tan ? 2 ? = 3 2 ? 3 tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 2

2 tan ? sin 2 ? (1 ? tan 2 ? ) 2 tan ? tan ? ? ? ? 又∵ 2 2 2 2 5 ? cos ? 1 ? tan ? 5(1 ? tan ? ) ? (1 ? tan ? ) 2 ? 3 tan 2 ? 5? 1 ? tan 2 ?
∴tan(α -β )=

sin 2 ? . 5 ? cos 2 ?

【解后归纳】 将被证等式的两边都用 tanβ 表示,而不含 tanα ,本质上是“消元法” ,将多个
2

变量的表达式,变为单个变量的表达式,往往要使用“消元”的方法. 【例 4】 求证:tan 在△ABC 中,若 sin2 2 +sin2 2 +sin2 2 =cos2 2 ,

A

B

C

B

A C 1 ? tan ? . 2 2 3

【解前点津】 因结论等式中不含 B.故需设法消去已知等式中的 B 角,可考虑使用三角形内角和 定理. 【规范解答】 ∵sin2 2 +sin2 2 +sin2 2 =cos2 2 ,

A

B

C

B

1 ? cos A 1 ? cos C B ? ? 1 ? 2 sin 2 . 2 2 2 B B 1 A?C 又∵sin 2 =cos ,∴2sin2 2 = (cosA+cosC) 2 2


? 2cos2

A?C A?C A?C A?C A?C =cos ·cos =cos . ? 2cos 2 2 2 2 2

A C A C? A C A C ? ∴ 2? cos cos ? sin sin ? ? cos cos ? sin sin . 2 2 2 2? 2 2 2 2 ?
∴ 3 sin

A C A C A C 1 ? sin ? cos ? cos . 故 tan ? tan ? . 2 2 2 2 2 2 3

【解后归纳】 本题证明使用了降次公式,和差化积,三角形内角和定理,熟练使用公式与定 理,是做论证题的一项基本功. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.若 3 (sinα +sinβ )=cosβ -cosα ,α 、β ∈(0,π ),则α -β 等于 A.- 2.化简: ( D. )

2 π 3

B.-

?
3

C.

?
3

2? 3
( )

tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 的结果是 tan ? ? tan(? ? ? )
B.tanβ C.tan(α +β )

A.tanα 3.若 tan(α +β )=

D.tan(α -β ) ( )

?? 1 ?? 2 ? ? ,tan ? ? ? ? ? ,则 tan ?? ? ? 的值是 4 4 4? 5 ? ? ?
B.

A.

13 18

3 22

C.

13 12

D.

3 18
( )

4.已知α +β =

2 π ,则 y=cos2α +cos2β 的最大值为 3
3

3 3 C. 4 2 2 5 3 5.若α 、β 为锐角,sinα = ,sin(α +β )= ,则 cosβ 等于 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 或 A. B. C. 5 25 5 25
A. ? B.

1 2

D.

2? 2 2
( )

D.-

2 5 25
)

6.已知 180°<α <270°,且 sin(α +β )·cosβ -cos(α +β )sinβ =- A.3 B.2 C.-2

4 ? ,则 tan 的值为 ( 5 2
D.-3 ( D. )

7.已知 cos(α +β )·cos(α -β )=- A.-

2 3

B.-

1 3

2 ,则 cos2α +cos2β 的值为 3 1 C. 3

2 3
( )

8.已知α +β = A.

?
3

,且α 、β 满足关系式: 3 (tanα ·tanβ +a)+tanα =0,则 tanβ = B. 3 (1-a) C.

3 (1+a)

3 (1+a) 3

D.

3 (1-a) 3
( )

9.若 0<x<

?
2

,则函数 y=

(1 ? cos 2 x) 取最大值时 x 的值是 x x? ? ? cot ? tan ? 2 2? ?
B.

4 8 6 3? 5 10.若 ? ? ? π ,则 1 ? sin? ? 1 ? sin? 可化简为 2 2 ? ? ? A.2sin B.-2sin C.2cos 2 2 2
二、思维激活 11.化简

A.

?

?

C.

?

D.

?
12
( )

D.-2cos

? ? 2

1 ? 2 cos 2 ? = ?? ? ?? ? sin? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

.

2 sin? ? cos ? =-5,则 3cos2θ +sin2θ = sin? ? 3 cos ? ? 2 cos 2 ? sin? ? 1 2 13.已知 tanθ = 2 ,则 = ?? ? 2 sin? ? ? ? ?4 ?
12.若 14.已知:sin(α +β )= 三、能力提高
4

.

.

1 1 ,sin(α -β )= ,则 log 2 3

5

(tanα ·cotβ )2=

.

15.已知 cosθ -sinθ = 2 sinθ ,求证:cosθ +sinθ = 2 cosθ .

16.已知 cosα =

3 5 ,cos(α +β )=- ,且α 、β 都是锐角,求 sinβ 值. 5 13

17.求证:tanA+cotA=

2 . sin A

18.在△ABC 中,sinA,sinB,sinC 成等差数列,求证:5cosA-4cosA·cosC+5cosC=4.

第6课 1.D 和差化积: 3 ·2sin =? 3?

三角函数的化简与证明习题解答

???
2

cos

???
2

? ?2 sin

???
2

sin

???
2

? tan

???
2

???
2

?

?
3

?? ? ? ?

2? . 3

2.B ∵tanβ =tan[(α +β )-α ]=

?tan ?? ? ? ? ? tan ? ? ?1 ? tan ? ? tan ?? ? ? ??

故原式=

tan ? ? ?1 ? tan ? ? tan(? ? ? )? ? tan ? ? tan ? . tan ? ? tan(? ? ? )

?? ? 2 1 tan(? ? ? ) ? tan? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 4? ? ? ? 5 4 . 3.B tan ?? ? ? ? tan ?(? ? ? ) ? ? ? ? ?? = ? 2 1 4? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? ? ? ? 1? ? 5 4 4? ?
1 1 1 (1+cos2α )+ (1+cos2β )=1+ (cos2α +cos2β )=1+cos(α +β )·cos(α -β ) 2 2 2 1 3 =1- cos(α -β )≤ . 2 2
4.B y= 5.B cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )·cosα +sin(α +β )·sinα

5 3 2 5 2 5 ? 4? ? ? ? =?? ? ? . 5 5 25 ? 5? 5

5

6.C 由条件知 sinα =-

4 ? 5

2 tan 1 ? tan

?
2 ?

2

??

4 ? ,解之:tan =-2. 5 2

2

7.C

1 1 1 (1+cos2 α ) - (1+cos2 β )= (cos2 α +cos2 β )= - sin( α + β ) · sin( α - β ), 由条 2 2 2 1 1 件: (cos2α +cos2β )= . 2 3
原式=

8.A 由α +β =

?
3

? 3?

(tan ? tan ? ) 从方程组中消去 tanα 即得. ?1 ? tan ? ? tan ? ?

x x x sin cos 2 ? sin 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 cos x 故y ? 1 sin 2 x . 9.A 分子=2cos2x,分母= x x x x sin x 2 sin cos sin cos 2 2 2 2 cos
10.B 原式= sin

?
2

? cos

?
2

? sin

?
2

? cos

?
2

,?

3? ? 5 ? ? ? ? ? ,? sin ? cos . 4 2 4 2 2

11.分子-cos2α ,分母= 12.由条件得:

1 cos 2? ,故原式=-2. 2

2 tan ? ? 1 ? ?5 ? tan ? ? 2 ,故 3cos2α +3sin2θ tan ? ? 3

=3·

1 ? tan 2 ? 2 tan ? ?9?4 ? ? ? ?1 . 2 2 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 2 2

? ?? ? ?? ? ?? ? sin? ? ? ? ? sin? 2 cos ? sin? ? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? 2 4 ? ?4 ?? ?4 ?. 13.原式= ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2 sin? ? ? ? 2 sin? ? ? ? 2 sin? ? ? ? sin? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?
=

1 ?? ? tan ? ? ? ? ?4 ?

?

1 ? tan ? 1 ? 2 ? ? ?3 ? 2 2 . 1 ? tan ? 1 ? 2

14.∵tanα ·cotβ =

tan ? . tan ?

由条件:

sin?? ? ? ? sin ? cos ?? ? cos ? sin ? (tan ? ? tan ? ) 3 ? ? ? , sin?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? (tan ? ? tan ? ) 2
6

解之:

tan ? ? 5, 故原式 ? log tan ?

5

5 2 ? log

5

( 5)4 ? 4 .

15.∵cosθ -sinθ = 2 sinθ ,∴cosθ =( 2 +1)sinθ , ∴左边-右边=(1- 2 )cosθ +sinθ =(1- 2 )·(1+ 2 )sinθ +sinθ =0,∴左边=右边. 16.由条件知:sinα = , ,sin(α +β )=

4 5

12 ? sinβ =sin[(α +β )-α ] 13
12 3 ? 5 ? 4 56 ? ? ?? ? ? ? . 13 5 ? 13 ? 5 65

=sin(α +β )·cosα -cos(α +β )·sinα =

17.证明:∵sin2A·(tanA+cotA)=

2 tan A 2(tan 2 A ? 1) (tan A +cot A )= =2,∴原等式成立. 1 ? tan 2 A 1 ? tan 2 A

18.由条件:2sinB=sinA+sinC ? 2sin(A+C)=sinA+sinC

A?C A?C A?C A?C ·cos =2·sin ? cos 2 2 2 2 A?C A?C =cos ,展开得: ? 2cos 2 2 A C A C A C A C 2cos cos -2sin sin =cos cos +sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A C A C A C 1 即 cos cos =3sin sin ,∴tan ·tan = . 2 2 2 2 2 2 3 1 A C 令 x=tan ,y=tan 则 x·y= . 3 2 2 ? ? ? 2 A 2 C ? 2 ?1 ? tan 2 1 ? tan 2 ? ? ? 1 ? tan cos A ? cos C 故 ?? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? cos A ? cos C ? 2 A 2 C? 2 ? ? 1 ? tan 1 ? tan ? 1 ? tan ? ? ? 2 2? ? ? ?

? 2·2sin

A? ? 2 ? ? 1 ? tan 2 ??? A? ? 2 ? ? 1 ? tan 2? ?

C 2 C 2

?? ?? ?? ?? ?? ??

1 ? x2 1? y2 ? 1? x2 1? y2 = ?1? x2 ? ?1? y2 ? ? 1? ? ?1 ? x2 ? ? ?1 ? y2 ? ? ?

1 1? 1? x2 y2 9?4, ? ? 2 2 1 5 ? 1? x y 1? ? ? 9 ?

∴5(cosA+cosC)=4(1+cosA·cosC),即 5cosA-4cosA·cosC+5cosC=4.

7


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