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高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件


[知识能否忆起]
一、离散型随机变量的均值与方差 1.设随机变量 X 的可能取值为 a1,a2,?,ar,取 ai 的概率为 pi(i=1,2,?,r),即 X 的分布列为 P(X=ai)=pi(i =1,2,?,r).

2.均值: 称 EX= a1p1+a2p2+?+arpr 为随机变量 X 的均值

或 数学期望 , 均值

EX 刻画的是 X 取值的“ 中心位置 ”.

(1)若 X~B(n,p),则 EX= np ;
(2)若随机变量 X 服从参数为 N, n 的超几何分布时, M, M 则 EX=n N .

3.方差:
(X-EX)2 的 设 X 是一个离散型随机变量, E(X-EX) 是
2

期望,称之为随机变量 X 的方差,记为 DX.方差越小,则随 机变量的取值就越 集中 在其均值周围;反之,方差越大, 则随机变量的取值就越 分散 .

*二、正态分布密度函数满足的性质 1.函数图像关于直线 x=μ 对称. 2.σ(σ>0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦”. 3.P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%, P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%, P(μ-3σ<X<μ+3σ)=99.7%.

[小题能否全取]
1.设 X 为随机变量,且
? 1? X~B?n,3?,若随机变量 ? ?

X 的数学 ( )

期望 EX=2,则 n 等于

A.3 C.5

B.4 D.6

? 1? n ?n, ?,∴EX= =2.∴n=6. 解析:∵X~B 3? 3 ?

答案:D

2.(教材习题改编)已知X的分布列为:
X P -1 1 2 0 1 3 1 1 6

1 23 则在下列式子中:①E(X)=- ;②D(X)= ;③ 3 27 1 P(X≥0)= 正确的个数是 2 A.0 ( )

B.1

C.2

D.3

1 1 1 1 解析: E(X)=-1× +0× +1× =- , 故①正确; 2 3 6 3 5 D(X)= ,故②不正确;由分布列知③正确. 9

答案:C

3.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2).若P(ξ>2)
=0.023,则P(-2≤ξ≤2)= A.0.477 C.0.954 B.0.628 D.0.977 ( )

解析:∵μ=0,∴P(ξ>2)=P(ξ<-2)= 0.023, ∴P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.

答案; C

4.(2011· 上海高考)马老师从课本上抄录一个随机变量X

的概率分布律如下表:
X P(X=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算X的数学期望.尽管“!”处完全无 法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两 个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答

案EX=________.

解析:令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1. 又 EX=a+2b+3a=2(2a+b)=2.

答案:2

5.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,则A邮箱的信

件数X的数学期望EX=________.
解析:两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32=9, 4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为 , 9 A 中仅有一封信的投法种数是 4 1 C2×2=4,概率为 , 9

1 A 中有两封信的投法种数是 1,概率为 ,故 A 邮箱的 9 4 4 1 2 答案:2 信件数 X 的数学期望是 ×0+ ×1+ ×2= . 3 9 9 9 3

1.均值与方差:

(1)均值EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作
为随机变量是可变的,而EX是不变的,它描述X值的取值平 均状态. (2)DX表示随机变量X对EX的平均偏散程度,DX越小,X 的取值越集中,DX越大,X的取值越分散.

2.由正态分布计算实际问题中的概率百分比时,关键是
把正态分布的两个重要参数μ、σ求出,然后确定三个区间(μ -σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]与已知概率值

进行联系求解.

离散型随机变量的均值与方差

[例1]

(2012· 湖北高考)根据以往的经验,某工程施

工期间的降水量X(单位: mm)对工期的影响如下表:
降水量X 工期延误 天数Y

X< 300
0

300≤X< 700≤X< X≥90 700 900 0
2 6 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于
300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数Y的均值与方差; (2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6 天的概率. [自主解答] (1)由已知条件和概率的加法公式有:

P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<
300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.

所以Y的分布列为: Y 0 2 6 10

P

0.3

0.4

0.2

0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+ (10-3)2×0.1=9.8.

故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(2)由概率的加法公式,得 P(X≥300)=1-P(X<300) =0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9- 0.3=0.6. 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300) P?300≤X<900? 0.6 6 = = = . 0.7 7 P?X≥300? 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不 6 超过 6 天的概率是 . 7

1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机
变量的所有可能值,写出其分布列,正确利用公式计 算.若随机变量服从二项分布,则可直接代入公式E(X) =np,D(X)=np(1-p)计算. 2.注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的

应用.

1.(2012· 潍坊模拟)某学校为调查了解学生体能状况,决 定对高三学生进行一次体育达标测试,具体测试项目 有100米跑、立定跳远、掷实心球.测试规定如下: ①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体

育达标;
②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行 测试,若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时, 不再参加第三个项目的测试;若抽取的两个项目只有 一项合格,则必须参加第三项测试.

1 已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是 、 2 2 3 、 ,各项测试时间间隔恰当,每次测试互不影响. 3 4

(1)求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率; (2)求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率;

(3)若甲按规定完成测试,参加测试项目个数为X,求X的
分布列和期望. 解:(1)甲同学先从三个项目中随机抽取两项,共有 C2=3 3
种方法,则恰好抽取跳、掷两个项目进行测试的概率为 1 P1= . 3

(2)经过两个项目测试就能达标的概率是 1 1 2 1 1 3 1 2 3 29 P2= × × + × × + × × = . 3 2 3 3 2 4 3 3 4 72 (3)X 的可能取值分别是 2,3.

当 X=2 时, 甲参加随机抽取的两项测试全合格或者全不 1 ?1 2 1 3 2 3? 1 合 格 , 此 时 P(X = 2) = × ?2×3+2×4+3×4? + 3 ? 3 ?
?1 1 1 1 1 1? 38 19 ×?2×3+2×4+3×4?= = . ? ? 72 36

当 X=3 时, 甲参加随机抽取的两项测试应该是一项合格 1 另一项不合格, 必须参加第三项测试, 此时 P(X=3)= × 3

?1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 3? 17 ? × + × + × + × + × + × ?= . ?2 3 2 3 2 4 2 4 3 4 3 4? 36

则 X 的分布列是: X 2 3 19 17 P 36 36 19 17 89 则 E(X)=2× +3× = . 36 36 36

均值与方差的实际应用

[例2]

(2012· 新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的

价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出 售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位: 元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整
理得下表:

日需求量n 14 频数 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单 位:元),求X的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应

购进16枝还是17枝?请说明理由.

[自主解答]

(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80.

当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为
?10n-80,n<16, ? y=? ?80,n≥16. ?

(n∈N).

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且
P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列为: X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X的数学期望为

E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.
X的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7 =44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:
元),那么Y的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

Y的方差为
D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75- 76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进 16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X)<E(Y),

但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位: 元),那么Y的分布列为: Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进17
枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花 店一天应购进17枝玫瑰花.

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平, 方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和 全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的 重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用 方差来决定.

2.(2012· 贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂,都想投标参加

某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂
抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗 拉强度指标,其分布列如下: X P 8 9 10 0.2 0.6 0.2 Y P 8 9 10 0.4 0.2 0.4

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在 使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越

好.试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料.

解:E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,
D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2 =0.4; E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9, D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8. 由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料 的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,

应选甲厂的材料.

[例3]

(2011· 湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布

N(2,σ2),则P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=
A.0.6 C.0.3 B.0.4 D.0.2

(

)

[自主解答]∵P(ξ<4)=0.8,

∴P(ξ≥4)=0.2.由题意知图象的对称轴
为直线x=2,P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2,∴P (0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6.
1 故 P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)=0.3. 2 [答案] C

求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意:
(1)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ), P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积 为1.

①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称
的区间上概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).

3.(1) (2012· 安徽模拟)在某市2012年1月份的高三质量检
测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布 N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9 450 人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他 的数学成绩大约排在全市前多少名左右? A.1 500 B.1 700 ( )

C.4 500

D.8 000

解析:因为学生的数学成绩 X~N(98,100),所以 P(X≥108) 1 1 1 = [1-P(88<X<108)]= [1-P(μ-σ<X<μ+σ)]= (1- 2 2 2 0.682 6)=0.158 7,故该学生的数学成绩大约排在全市前 0.158 7×9 450≈1 500 名.

答案:A

(2)设 X~N(5,1),求 P(6<X<7).
解:由已知 μ=5,σ=1. ∵P(4<X<6)=0.683, P(3<X<7)=0.954. ∴ P(3<X<4) + P(6<X<7) = P(3<X<7) - P(4<X<6) = 0.954 - 0.683=0.271. 如图,由正态曲线的对称性可得 P(3<X<4)=P(6<X<7), 0.271 ∴P(6<X<7)= =0.135 5. 2

离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是

数学高考的一大热点,每年均有解答题,属于中档
题.复习中应强化应用题目的理解与掌握,弄清随机变 量的所有取值是正确列随机变量分布列和求期望与方差 的关键,对概型的确定与转化是解题的基础,准确计算 是解题的核心,在备考中强化解答题的规范性训练.

“大题规范解答——得全分”系列之(十一)
求离散型随机变量均值的答题模板
[动漫演示更形象,见配套课件]

[典例]

(2012 山东高考· 满分 12 分)现有甲、 乙两个靶,

3 某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没 4 2 有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每 3 命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结 果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率;

(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息
3 向甲靶射击一次,命中的概率为 , 观察 4 ―→ 条件 2 向乙靶射击两次,每次命中的概率为 3

每次射击结果 可用独立重复试验概率公式 ――――――→ 相互独立 P?AB?=P?A?P?B?求解

2.审结论,明解题方向
观察所求结论 ―→ 射击三次恰好命中一次的概率 分类 ――→ 命中甲靶一次或命中乙靶一次 讨论

3.建联系,找解题突破口
射击甲靶一次命中,乙靶两次没有命中;射击甲靶一 次没有命中,乙靶两次只命中一次 利用独立事件的概率公式和互斥性 ――――――――――――――――→ 可求得概率

1.审条件,挖解题信息
观察条件 ―→ 共射击三次,命中甲靶得1分,命中乙靶得2分 由射中次数 ―――――→ 可得总分X的取值

2.审结论,明解题方向
观察所求结论 ―→ 求总得分X的分布列及期望 ―→ 先求X的分布列,再求E(X

3.建联系,找解题突破口
根据独立事件、互斥事件 由该选手射中次数确定X的取值 ―――――――――――→ 概率公式求概率 得X的分布列,可求得E?X?

[教你准确规范解题]
(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射手 射击甲靶命中”为事件 B,“该射手第一次射击乙靶命 中”为事件 C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D. 3 2 由题意知 P(B)= ,P(C)=P(D)= , 4 3 由于 A=B C D + B C D + B C D, 根据事件的独立性和互斥性得 P(A)=P(B C D + B C D + B C D) =P(B C D )+P( B C D )+P( B C D) ?(3 分) ?(1 分) ?(2 分)

=P(B)P( C )P( D )+P( B )P(C)P( D )+P( B )P( C )P(D) 3 ? 2? ? 2? ? 3 ? 2 ? 2 ? ? 3? = × ?1-3? × ?1-3? + ?1-4? × × ?1-3? + ?1-4? 4 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2? 2 7 ×?1-3?× = . ? ? 3 36

?(5 分)

(2)根据题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.?(6 分) 根据事件的独立性和互斥性得 P(X=0)=P( B C D ) =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]
? 3? ? 2? ? 2? 1 ? ? =?1-4?× 1-3?× 1-3?= ; ? ? ? ? ? ? 36

?(7 分)

P(X=1)=P(B C D )=P(B)P( C )P( D ) 3 ? 2? ? 2? 1 = ×?1-3?×?1-3?= ; 4 ? ? ? ? 12 ?(8 分)

P(X=2)=P( B C D + B C D)=P( B C D )+P( B C D)
? 3 ? 2 ? 2? ? 3 ? ? 2? 2 1 =?1-4?× ×?1-3?+?1-4?×?1-3?× = ;?(9 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 3 9

分)

P(X=3)=P(BC D +B C D)=P(BC D )+P(B C D) 3 2 ? 2? 3 ? 2? 2 = × ×?1-3?+ ×?1-3?× 4 3 ? ? 4 ? ? 3 1 = ; 3 ?( 分) 10

? 3? 2 2 1 P(X=4)=P( B CD)=?1-4?× × = ; ? ? 3 3 9

3 2 2 1 P(X=5)=P(BCD)= × × = . 4 3 3 3 故 X 的分布列为:

X P

0 1 36

1 2 1 1 12 9

3 1 3

4 1 9

5 1 3 ?(11 分)

1 1 1 1 1 1 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× 36 12 9 3 9 3 41 = . ?(12 分) 12

[常见失分探因] “设射手恰好命中一次”事件分析时,易忽视“恰 好”这一条件,其含义只中一次,甲靶中1次时乙靶两次 都不中,乙靶中1次时甲靶不中. 对于X的每个取值相对应的概率求法易失误,尤其 是事件分析时易因考虑问题不全而导致失误

————————[教你一个万能模板]———————— 第 一 步 审 清 题 意 第 二 步 建 立 文 字 数 量 关 系 式

理清题意,分析

条件与结论,确
定所求事件,求 出相应的概率值

确定随机变 量的所有可

能取值,注
意变量取值 的准确性

第 三 步

根据条件及概

第 四 列出离散型 步 随机变量的

转 率类型,求每 化 为 一个可能值所 数 对应的概率 学 模 型

解 决 数 学 问 题

分布列,利 用分布列的 性质进行检

验是否准确

第 五 利用均 步 值和方 返 差公式 本 还 求值 原

第 六 反思回顾、 步 查看关键点、 反 易错点和答 思 回 题是否规范 顾

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012· 河南模拟)某产品有4件正品和2件次 品混在了一起,现要把这2件次品找出来, 为此每次随机抽取一件进行测试,测后不

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(六十六)”

放回,直至次品能全部被找出为止. (1)求“在第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)所要测试的次数X为随机变量,求X的分布列 和数学期望.

解: (1)设“在第 1 次和第 2 次都抽到次品”为事件 A, P(A) 则 A2 1 2 = 2= . A6 15

(2)X 的所有可能取值为 2,3,4,5. 1 P(X=2)= ; 15
2 C1C1A2 2 2 4 P(X=3)= = ; 3 A6 15 3 A4 C1C2A3 4 4 2 4 P(X=4)= 4+ = ; 4 A6 A6 15 4 4 C1C3A4 C1C1A4 8 2 4 4 2 P(X=5)= + = . 5 5 A6 A6 15

X 的分布列为: X P 2 1 15 3 2 15 4 4 15 5 8 15

1 2 4 8 64 因此,E(X)=2× +3× +4× +5× = . 15 15 15 15 15

2.(2012· 江西模拟)将编号为1,2,3的三个小球随意放入编号 为1,2,3的三个纸箱中,每个纸箱内有且只有一个小球, 称此为一轮“放球”,设一轮“放球”后编号为i(i=1,2,3)的 纸箱放入的小球编号为ai,定义吻合度误差为ξ=|1-a1|

+|2-a2|+|3-a3|.假设a1,a2,a3等可能地为1,2,3的各种
排列,求: (1)某人一轮“放球”满足ξ=2时的概率; (2)ξ的数学期望.

解:(1)ξ的所有可能结果如下:
纸箱编号 1 1 2 2 3 3 ξ 0

1 小球号
2 2 3 3
1 故 P(ξ=2)= . 3

3
1 3 1 2

2
3 1 2 1

2
2 4 4 4

(2)ξ 的可能取值是 0,2,4,其分布列为: ξ P 0 1 6 2 1 3 4 1 2

1 1 8 故 E(ξ)=2× +4× = . 3 2 3

3.(2012· 安徽高考)某单位招聘面试,每次从试题库中随

机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该
试题回库,并增补一道A类型试题和一道B类型试题入 库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使 用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共 有n+m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试

题.以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类型试
题的数量. (1)求X=n+2的概率; (2)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望).

解:以Ai表示第i次调题调用到A类型试题,i=1,2. n+1 n (1)P(X = n + 2) = P(A1A2) = · = m+n m+n+2
n?n+1? . ?m+n??m+n+2?
(2)X 的可能取值为 n,n+1,n+2. n n 1 P(X=n)=P( A 1 A 2)= · = ; n+n n+n 4 n+1 n P(X= n+ 1)= P(A1 A 2)+ P( A 1A2)= · + n+n n+n+2 n n 1 · = ; n+n n+n 2

n+1 n 1 P(X=n+2)=P(A1A2)= · = . n+n n+n+2 4 从而 X 的分布列是: X P n 1 4 n+1 1 2 n+2 1 4

1 1 1 E(X)=n× +(n+1)× +(n+2)× =n+1. 4 2 4


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