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椭圆及其标准方程第一课时


2.2.1椭圆及其标准方程 第一课时

生活中 的椭圆

(一)旧知回忆、类比探索:

圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合

(二)类比探索,建立椭圆概念

动画演示

(三)提炼与归纳---椭圆定义
1. 椭圆定义:
|M

F1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0)

平面内与两个定点 F1 , F2的距离的和等于常数(大于 | F1F2 )的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦 | M 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。
记焦距为2c,椭圆上的点M与F1, F2的 距离和记为2a。 F1 F2

(三)注重本质、理解概念

思 考

为什么要求 2a ? 2c ?

绳长等于两定点间 距离即2a=2c 时, 轨迹为线段;

M F1 F2

绳长小于两定点间 距离即2a<2c时, 无轨迹。

F1

F2

(三)注重本质、理解概念 1. 椭圆定义: |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0, |F F |=2c)
1 2

平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦 | 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . M
记焦距为2c,椭圆上的点M与F1, F2的 距离的和记为2a。 F1 F2

注意:椭圆定义中的关键点: (1)距离的和2a 大于焦距2c ,即2a>2c>0. (2) 平面内. ---这是大前提 (3)动点M与两定点F1 , F2 的距离的和等于常数2a.

(四)深化研究、构建方程

求曲线方程的步骤是什么?
(1)建立适当的坐标系,设曲线上任意一点M的坐标 为(x,y); (2)找出限制条件 p(M); (3)把坐标代入限制条件p(M) ,列出方程 f (x,y)=0; (4)化简方程 f (x,y)=0; (5)检验(可以省略,如有特殊情况,适当说明)

建、 设、限、代、化
结合椭圆的几何特征,你认为怎样选择坐标系才能 使椭圆的方程简单?

(四)深化研究、构建方程
y

类比探究
r

M

A(a,b)

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

O y M

x

r O

x

x ?y ?r
2 2

2

(四)深化研究、构建方程
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y

M
F1
O

F2

M
x

F2

x

O

F1

方案一

方案二

建立平面直角坐标系一般遵循的原则:对称、简洁

(四)深化研究、构建方程
椭圆标准方程的推导
限制条件为:| MF1 | ? | MF2 |? 2a y 建
2 ( x , 2y ) 则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ?M + y = 2a

设 限

22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ? ? ? ? ( x ? c ) ? y ( x ? c ) ? y ? 2 a ? c ? x ? y ? ? ? ? x ? c ? y ? 2 a ? x ? c ? y ? ∴ ?? F1? -c , 0? ?O F2? c , 0? x

∴两边同时平方、整理得 a 2 ? cx ? a

以F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 2 2 F1F2 由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以a ? c ? 0, 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系. 设 M( x,y y )是椭圆上任意一点, 代 2 2 2 2 2 2 2 椭圆的焦距为 c,则有 F (c , 0) 、 F ( c , b x ? a y ? a b0). 设a ? c 2 ? b2 (a ? b2? 0) 得, 1 2 2 2 又设M与F1, x F 的距离的和等于 2a 2 y 化 两边同除以 a 2b 2 得 ? ? 1.(a ? b ? 0)

上式两边再平方、整理得 ?a 2 ? c 2 ?x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ?a 2 ? c 2 ?

?x ? c ?2 ? y 2

a2

b2

(四)深化研究、构建方程

椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上
y
M ( x, y)

思考:
焦点在 y 轴上的 方程是什么?
y
F2

M ( x, y)
x

F1 O

F2

x
O
F1

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

(四)深化研究、构建方程

椭圆的标准方程
焦点在x轴:
2 2

y
F1

M( x , y ) F2

X型椭圆

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
F1 (?c, 0),F2 (c, 0)
焦点在y轴:
2 2

o

x

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

Y型椭圆

y
F2
M( x , y )

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
F1 (0,?c),F2 (0, c)

o
F1

x

( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? 2a

(五)多向分析、提高辨识

探究: 的几何意义 a, b, c
观察下图:你能从中找出表示 a, b, c 的线段吗?
| OF1 |?| OF2 |? c,

y

M

MF1 ? MF2 ? a,

a ?b ?c ,
2 2 2

b
F1

a

o

c F2

x

MO ? a ? c ? b.
2 2

(六)应用拓展、提高能力
思考:下列方程哪些表示椭圆?若是椭圆,请写出它 的焦点坐标。

x2 y2 (1) ? ?1 25 16 x2 y2 (2) ? ? 1 16 16
2 2

焦点坐标为: F1 (?3,0),F2 (3,0)

(3)9 x ? 25 y ? 225 ? 0

x2 y2 ? ?1 25 9

x y (4) 2 ? 2 ? 1 m m ?1
2 2

焦点坐标为: F1 (0,?1),F2 (0,1)

(六)应用拓展、提高能力 ( -2, 0 ), (2,0), 例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是 :
3? ?5 并且经过点P ? , ? ? ,求它的标准方程. 2? ?2

(六)应用拓展、提高能力 ( -2, 0 ), (2,0), 例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是 :
解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,设 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 由椭圆的定义知
2a ? ?5 ? ? 3? ? 2 ? ?2 ? ?? 2? ? ? ? ? ?
2 2 2

3? ?5 并且经过点P ? , ? ? ,求它的标准方程. y 2? ?2
F1 O

F2

P

x

?5 ? ? 3? ? 2 ? ?2 ? ?? 2? ? ? ? ?

2

定义法

所以 a ? 10. 又因为 c ? 2 , 所以 b2 ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 2 2 x y 因此,所求椭圆的标准方程为 ? ?1 10 6

(六)应用拓展、提高能力 ( -2, 0 ), (2,0), 例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是 :
解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,设 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b y 2 2 由于 c ? 2, 所以 a ? b ? 4 ①
又点
2

3? ?5 并且经过点P ? , ? ? ,求它的标准方程. 2? ?2 2 2

x

y

? 5 3? ? ? ? , ? 2 2?

在椭圆上
2

联立方程①②解得

a 2 ? 10, b 2 ? 6 x2 y2 ? ?1 因此所求椭圆的标准方程为 10 6

? 5? ? 3? ? ? ?? ? ? 2? ? ? 2? ?1 a2 b2

F1 O

F2

P

x



待定系数法

(七)回顾反思、提升经验
一个概念: |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
x y x y 两个方程: a2 + b2 = 1 ? a > b > 0? b2 + a2 = 1 ? a > b > 0?
2 2 2 2

两种方法: 定义法;待定系数法. 两种思想: 数形结合的思想;坐标法的思想. 三个意识: 类比意识;求美意识;求简意识.

(八)作业布置:
1、: 教材49页习题A组第1、2题;

2、补充题: 2 2 ? ? x ? 2 ? y ? 1 外切,且与圆 求与圆 2 2 ? x ? 2? ? y ? 49 内切的动圆圆心的轨 迹方程.
3.高端探索题:

Ax ? By ? 1
2 2

什么时候表示焦点在x轴上的椭圆?什么时候表 示焦点在y轴上的椭圆?能表示圆吗?如果已知 一个椭圆经过A(1,2),B(-3,2),求椭圆的方程。


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