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【名师堂】2015-2016学年高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案


1.5《函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象》导学案
【学习目标】 1.会用 “五点法”作出函数 y ? Asm( wx ? ? ) 以及函数 y ? A cos(wx ? ? ) 的图象的图象。 2.能说出 ?、W、A 对函数 y ? A sin (wx ? ? ) 的图象的影响. 3.能够将 y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(wx

? ? ) 的图象,并会根据条件求解析式. 【重点难点】 重点:由正弦曲线变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。 难点:当 ω ? 1 时,函数 y1 ? A sin(ωx ? φ1 ) 与函数 y2 ? A sin(ωx ? φ2 ) 的关系。 【学法指导】 预习图像变换的过程,初步了解图像的平移。 【知识链接】 1. 函数 y ? s i ( n x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 )的图象,可以看作是正弦曲线上所有的点 _________(当 ? >0 时)或______________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度而得到. 2.函数 y ? sin ?x, x ? R (其中 ? >0 且 ? ? 1 )的图象,可以看作是把正弦曲线 上所有点
1 的横坐标______________ (当 ? >1 时) 或______________ (当 0< ? <1 时) 到原来的 倍 (纵 ? 坐标不变)而得到. 3. 函数 y ? A sin x, x ? R( A >0 且 A ? 1) 的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标

___________(当 A>1 时)或__________(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到 的 , 函 数 y=Asinx 的 值 域 为 ______________. 最 大 值 为 ______________ , 最 小 值 为 ______________. ?x ? ? ), x ? R 其中的(A>0, ? >0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先 4. 函数 y ? A sin( 把正弦曲线上所有的点___________(当 ? >0 时)或___________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标____________ (当 ? >1 时) 或____________ (当 0< ? <1) 到原来的 倍(纵坐标不变) ,再把所得各点的纵横坐标 ____________ (当 A>1 时)或 1 _________(当 ? 0<A<1 时到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到.

【学习过程】 1、复习巩固; 作业评讲——作出函数 y ? sin x 在一个周期内的简图并回顾作图方法?

1

2、自主探究; 问题一、函数图象的左右平移变换 ? ? 如在同一坐标系下,作出函 y ? sin( x ? ) 数 y ? sin( x ? ) 和的简图,并指出 它们与 y ? sin x 图象之间的关系。

3

4

问题二、函数图象的纵向伸缩变换 如 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y ? 2 si nx 及

y?

1 sin x 2 的简图,并指出它们的图象与

y ? sin x 的关系。

问题三、函数图象的横向伸缩变换

1 y ? sin x 2 的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象间的关系。 如作函数 y ? sin 2 x 及

问题四、作出函数 y ? 2 sin( x ?

1 3

?
6

) 的图象

问题五、作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图

2

(2) 由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象, 有两种主要途径: “先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。

(三)规律总结 ①由正弦曲线变换到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象需要进行三种变换,顺序可任意改变; 先平移变换后周期变换时平移 ? 个单位,先周期变换后平移变换时平移

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换(平移的量只与 ? 有关) 。 【基础达标】 1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程? ① y ? 1 sin( 4 x ? ? ) ② y ? 2 sin( 1 x ? ? ) 2 3 3 6

? 个单位。 ?

2、已知函数 y ? 1 sin( 4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 2 sin( 4 x ? 2? ) 的图象,只需把 C 3 5 3 的所有点( ) A、横坐标伸长到原来的10倍,纵坐标不变。 标不变。 C、纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变。 标不变。 3、已知函数 y ? 1 sin( 4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin( x ? 2? ) 的图象,只需把C的 5 3 5 3 所有点( ) A、横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变。 不变。 C、纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变。 不变。 4、已知函数 y ? 1 sin( 4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin 4 x 的图象,只需把C的所有 5 3 5 点( ) A、向左平移 ? 个单位长度
6

B、横坐标缩短到原来的 1 倍,纵坐
10

D、纵坐标缩短到原来的 1 倍,横坐
10

B、横坐标缩短到原来的 1 倍,纵坐标
4

D、纵坐标缩短到原来的 1 倍,横坐标
4

B、向右平移 ? 个单位长度
6

3

C、向左平移 2? 个单位长度
3

D、向右平移 2? 个单位长度
3

5、将正弦曲线上各点向左平移 ? 个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则 3 所得图象解析式为( ) A、 y ? sin(

x ? ? ) 2 3

B、 y ? sin(

x ? ? ) 2 6

C、 y ? sin(

x ? ? ) 2 3

D、 y ? sin( 2 x ?

?
3

)

【拓展提升】 一、选择题 1、已知函数 y ? f(x), 将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然

? 1 个单位,这样得到的曲线与 y ? sinx的图象相同,那 2 2 么已知函数 y ? f(x) 的解析式为( ).
后把所得的图形沿着 x 轴向左平移 A. f(x) ?

1 x ? sin( - ) 2 2 2

1 ? B. f(x) ? sin(2x ? ) 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2

1 x ? C. f(x) ? sin( ? ) 2 2 2

2、把函数 y ? sinx 的图象向右平移 数的解析式为(
2

? 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,所得到的函 8

).
8 1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 8

1 ? A. y ? sin( x - )

? C. y ? sin(2x - ) 8
3

? D. y ? sin(2x - ) 4

? 3 、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述 ________ 变换而得到
( ). A.向右平移 B.向左平移

? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2
? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

C. 向右平移 D.向左平移

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3

1 ? 4 、 函 数 y ? 3s i nx ( - ) 的 周 期 是 _________ , 振 幅 是 __________ , 当 2 4 x=____________________ 时 , y m a x? __________ ; 当 x=____________________ 时 , y mi? n __________.

?x ? ? ) ( A>0 , ? >0 , 0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( 5 、已知函数 y ? Asin(

?
6

, 2 )和



2? ,则这个函数的解析式为____________________. , ?2) 3

4

? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 6、已知函数 y ? Asin(

2? ,最小值是-2,且图象 3

经过点(

5? ,求这个函数的解析式. , 0) 9

5


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