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2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛


中 等 数 学

年全 国 高 中 数 学 联 赛 江 苏 赛 区 复 赛
中 田分 类

文 献标识

文章 编 号

:

四 边形 的 边 长 求
,


的值



填空 题 每

小题
,

分 共
,



)





分 设动 点

为 切 点 求 线段

在 直线
的 两 条切线
仙 中点 财


上运

若对实 数

函数
'
'

动 过
,



中人



的 轨迹 方程
?
,

(

分 若实 数
)



满足

则 函数

的 最小 值 为




的 最 大 值 和 最 小值

在区域
满足

中 随机取



'



,





分别 与
切于

,










!

的 概 率为 的 最大 整 数 若 的 取值范围 为



分 如图
)

表示 不超 过 实数
为 索数 则 实 数
,

n

,

过点
,

的割线与
与 仙 交 于点

交 于点
证明



的中点








为 两 个 不 同 的 实数 且
°

已知

分别 为 椭 圆





左 右焦点 点

,

在捕 圆

上 若

,



二、

分 设 正 实数
,



满足

已 知半 径 为

的 球 面上 有



四点





,

,

则 四 面体

体 积 的 最大 值



已知 …

,



… ,

,

…。



,

,

,

为互不

相等的

个 实 数 若 方程









(

分 圆 周上 依 次排列 着 木
)

… , ,





…。










个不 问 的 点

,

母个 点 染 红



蓝 绿二

,

有 有 限 多 个 解 则 此 方程 最 多 有

个解
,

色之

在 以 任 意 两个 同 色 点 为 端 点 的 圆 弧上 与



除以

的 余数 为

则 最小的

此 两 端 点 异 色 的 点 的 个 数 为偶数 的 染 色 方 法 称 为


好染 色





问 所 有 好 染 色 方 法有 多少 种 ?





(

分 已 知 数列



满足

分 设
)

为奇素数 整数
, … , ,

,

,

,

均与

互素 若对


,

广
,

均有



年第




证明

:

… 而

'

'

除以

的 余数 互 不 相 同

当 卜



或 卜 不 是素 数



时 易知
,

参 考 答 案









由 题意知


由 一










, ,



易知

,

是 区间
'

,

上 的单 调 增 函 数

所以









考虑 函 数




及 区域

°



'

中 的 面积


°

,



对 称性 割 补 知 满 足







取异 面 直 线
的点



的 公垂 线 段

记异 面

的 面积 为


,

故 其 概 率为
名丨



直线





所成 的 角 为




士或 舍 丄




四 麵邮邙

因 为 卜



丄 均 为 整 数 要 使
,

设四面体 仙 ⑶ 外接 球 的球 心 为
的 中 点 分别 为 五 尺







士 为 素数 所 以 卜
, ,






卜士







个为



$

的距离 为

异 面 直线 当卜





,


此时

,



矣 顺矣
,



满 足 题意


当 仙 丄
;

时 以 仙 为 直 径 的 小 圆 所在 平
(

面与 以

为直 径 的 小 圆 所 在 平 面 平 行 球心 在
)
,


,

,

两 小 圆 面之 间

上式 等 号 成立




'



)











此时

,

满 足题 意

;

于是

由 题意 知



中 等 数 学




… , ,
,





为集合

,


(

,



,



,

,

…。
,


由 费马
,



中 的 所有元 素 按递 增 顺 賴 排列 且 在
,

定 理知


,

,

,

,

,

,



个 区间 的每
,

个 中 函数
,

⑷ 均 为 线性 的

'

设 为使


的 最 小 正 整数 则

注 意 到 在区 间


,


… ,


,

,

°

赚 区间

,



,


,
,



,

因 为方程 根 的 个 数有 限 所以



沿 着数轴
的 系数为



左 向 右 移动 开 始 时

中的
,

每当越 过


个 增大

因此

'



,

幻 中均有

个 绝对 值 的 去 掉方 式 发生 变
±

综上 …



化 使得
,

的 系 数变 化

或减小


以前

由 题设 知

,

表明

的 系 数恒 为 偶 数 并 且 不 会 在 变 为
,






改 变 符 号 由 此 知 该 系 数在 任 何 两个相 邻 的 区间
中 均 要 么 同 为非 负 要 么 同 为 非 正
,

从而

,

幻在

矛盾
于是
,

这样 的 区 间 并 集 上 要 么 同 为 非 升 要 么 同 为 非 降
如此


来 若
, … ,


, ,

只 有 有 限 个 根 则其 在 区 间
,

从 而 四 边 形 的 边长 为

尸。



尺 。




中 均 分别 有 不 多


(



,



,



个根 此外

,

由于


,

的 符号 不 同
,

,





幻 在 每个 根处 均发生 变号 于是
,



矛盾
于是

,

有 奇 数个 根 从 而 最 多有 九 个 根



此时

,

方面 不 难验证 若
, ,

,

,

,

从 而 四 边形 的 边 长 为
,








,







,



)

,

切点



,

,

,

则切线 则 方程





的 方 程 分别 为

恰 有 九个 根
因为


为两 条 切 线 的 交 点 所 以
,

,

注意到
由 」

,

,



于是 点
,



的 坐 标 满 足 方程

$



9

,






,

方面

,



于是 」











整除
,

设点
被 整除



对任 意 正 整 数 二



,

显然



被 被

整 除 的 充 分 必要 条 件是
`

整 除的 充分必 要 条件 是

又点

在直线

上 则
,

年第

期 由


四 点 共圆 知












)











四 点共 圆

从而

,








9


于是 点
'







重合

二 、 由 已 知 条 件得


, '






,



由 余 弦 定 理 可 构 造 如 下 几 何模 型


`


,

平 面 上 共端 点
角为

,

的 线段
,





两 两夹





,











于是 仙
,

,

,



从而 ■
,

为 直 角 三 角 形 其面 积 为



:

,



,



此时

,













力口












与 仙 交于点

,

如图


,



联结

并 延 长与

交于 点
因此



$

$

,

考虑



般 的 情形 奇数

:

圆 周 上有

个不 同 的 点 时 的 好

染 色种 数
显 然 三 种 单 色染 色 方 法 是好 染 色


接 下 来求 非 单 色 好 染 色
,

只 需证 明

即得点


,

重合
只 需证 明


的集合
,

表示 圆周 上 表示圆 周 上


个 不 同 点 时非 单 色 好 染 色 个不 同 点 时 任 意相邻 两 之间 的
对应

联结


,

延长



交于 点


点 异 色 的 染 色方 法 的 集 合





于点



的 中点

可 建 立 集合





故 只 需证 明
因为

,

考 虑 圆 周上
所 以 只 需证 明
,

为 奇 数 边 形 设奇 顶 点 的







染 色属 于 集 合

定义 每个偶顶 点 的颜 色 与 其 相

四点共圆

邻 奇顶 点 不 同 则 得偶 顶 点 的 染 色方 法 是好染 色

中 等 数 学

若以 两 个 同 色 点 为 端 点 的 某
,



段圆弧之


同 得 毛 所 染 的 颜 色也 相 同 依 此 类 推 在
, ,


,

,

间 没 有 与 端 点 同 色 的 点 则 称这 两 点 为

最近同

点 … 屯
,

… ,

人 所 染 的 颜 色 分别 相 同 即
,



色点



与 假设


矛盾 为 单射 为 满射

显然

,

个染 色 方 法 为 好 染 色 点 的 充分 必 要

因此
(

条 件 为 任 意 两 个 最 近 同 色 点 之 间 的 异 色 点个 数为

偶数



设 位于



中 的相 邻 异色 偶 顶 点

,

先 证 明 偶 顶点 的 染 色 方 法 为
力□
'



个好 染 色 即
,

则定 义


之 间 的 奇 顶点 不 同 于

证 明 任 意 两 个 最 近 同 色点 的 偶 顶 点 之 间 包 含 的 偶


?








串连 续 同 色 不妨
(

设为 红 色 偶 顶 点 它 们 位 于 偶 顶 点

财 况


之间


,

同 色 不 妨 设为 蓝 色

)

,



为撤 若为
,

时 则 结 誠立
,

奇数 则 两 同 色 点 之 间 的 异 色 点个数为 奇 数 与 好
; … ,



时 记
,

个偶 顶 点 为


,

矛盾

)

,

此 时 定义
,



之 间 所 有奇 顶 点 的
… …





,


`

之 间 还 包含

个 奇顶 点 记为
,

的 颜 色依 次 为

蓝 绿

,

`

排列 如下
因 为点 尽 民
,

若似



异 色 不妨设

'



为蓝色
,

为 绿色


)

'

为 奇数 若 不然
… ,
,

为偶 数 则 每
,

段连 续 同

民 均不 为 红 色 所 以 点 岑
,
,

色点 的 偶 顶 点 为 偶 数 个 否 则 不 妨 设 沿 … 对 方
向 存在 点 民 艮
, … , ,

与 次



,

,

的 颜 色 不 能 为蓝 绿 或绿

,
,





,

若点 琴 与 斤 重合 则
,





)

(

若 出 现 上 述两 种 情 形 则 孕
又点
与 人
,

为 红 色 与假
,

偶数 与
,

为 奇数 矛 盾 若 点 尽 与


不重 合 则
,

设矛 盾




不 同 色 则点 、
由点
,
, ,




,

,

与相 邻 的点
,




, , ,






,

个隔



个 的 为红色

为红色


,

色 其 之间 所 包含 的 异 色 点 为 奇 数 矛 盾 定义
、 、

此时

知点 红 色 从而
,

不 为 红色 于是 点 皂 山

,

、 为

之 间所有 奇 顶点 的
… …

的 颜色依次

为偶数 即
, ,



包 含的 异 色 顶点

为绿 蓝 绿

,



蓝 如 此 定 义 的 奇 顶点 染 色 方

为 偶 数个 因 此 偶 顶 点 染 色 方 法 为 好 染 色 故 得



法 相 邻 两 个 奇 顶 点 颜色 相 异 最 后 计算 集合
圆周上


个从集 合 尤 到
再证明
记 圆周 上
,

的 映射


中 元 素 的 个数 记

表示 对





对应
为奇
… ,

个 点 的 好 的 染 色 法 的 个数
,

为 单射



边形
,

顶 点 尾 为偶 顶 点 其 中

,

设 若





,

因为

为 非 单 色好
;

染 色 所 以 存 在 两 个 相邻 异 色 偶 顶 点 不 妨 设 为
,

(





从而 得 到
,



的对 应这 两偶 顶点 之间

的奇顶点



的 颜色 相 同



的定义 知 ` 仏 人
,




:



故好 染 色 方 法 驗 为
,

°

°

,



规定 、

三 个 顶 点 所染 的颜 色 不 同

,

换 言之 为 丄

所 染的 颜色 由 人 孕 唯


确定 这
,

四 设 … 除以


的 余数为 … 其 中

,

样由点 …






,

下 所 染颜 色 分别 相 同 得



因 此 对于
, …

所 染 颜 色也 相 同 再 由

艮 所染 颜 色 分 别 相

,

,

,

均有

年第



年全 国 高 中 数 学 联 赛 辽 宁 赛 区 预 赛
中 图分 类 号

文 献标 识 码

:

文章编号

:





选 择题 每 小 题

分 共
,



)

任意 的

,

,

均有



已 知集合





是方程
,


,

个解 且
,



糾 聞 则实数
'

取值細是


(



内 直径为

$
满足



髙为

的圆 柱 形容 器
)

中 最 多可 放 人 直 径 为


的 小 球 的 个 数是

(


与 双曲 线
,

过原 点 的 直 线




及交 于



设实 数

两点 点
,

在第 二象 限 将下半 平面 沿

折 起使之 与 上 半 平 面 成 直 二 面 角 则 线 段
最 短长 度 为
( )

则 为
( )

的最 大 值

二、

填 空 题 每 小题
°





分 共
,



)





均 为 非 零 复数 令
'





,



右丁




,



的 最 大值 为



在 长方 体 仙
±
,





,

巳知



则 异 面直线 岑

与 民 坏 的距离


已知



,

上 的 单调 函 数 且 对
,

巳 知椭 圆

心心
欲证

, …

:


互 不相 同 只 需证对 任 意
,




:



:

,

,

,

… , '

广

,

存在



,

,

,

广



'


`

使得
否则 存 整数
,

对任 細
`

使得


`


由式
,



② ③有


,

矛盾

从而

(

,

从 而 结论 成 立
,

利 用 费 马小定 理 知

(

吴 忠麟

提供

)


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