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二次函数根的分布专题


一元二次方程根的分布专题
一.一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正 根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根 分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个不等实根为 x1 , x2

>①方程有两个不等正根

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? x1 ? 0, x 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?
c ?0 a

②方程两根一正一负 : x1 ? 0 ? x 2,则

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? ③方程有两个不等负根: x1 ? 0, x 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?

即时应用:
2 (1)若一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个不等正根,求 m 的取值范围。

2 (2) k 在何范围内取值,一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根?

1

二、一元二次方程的非零分布—— k 分布
设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两不等实根为 x1 , x2 , k 为常数。则一元二次方 程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)如下表所示:
根 的 分 布
① x1 < x2 < k ② k < x1 < x2 ③ x1 < k < x2

图 象

k

k

k

充 要 条 件 根 的 分 布
④ k1 < x1 < x2 < k2 ⑤ k1 < x1 < k2 < x2 < k3 ⑥两根有且仅有一根在

(k1 , k2 ) 内

图 象

k2
k1 k2 k1 k2 k3 k1

充 要 条 件

即时应用:
(1) 若方程 4 x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 的两根都大于 1,则求 m 的取值范围.

(2) 方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1,一个根小于 1,求 p 的取值范围.

2

二、典型例题
2 例 1 若一元二次方程 kx ? (2k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 有一根为零,则另一根是正根还是负根?

例 2 若方程 x2 ? (k ? 2) x ? 4 ? 0 有两负根,求 k 的取值范围.

例 3..若关于 x 的方程 x2 ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两实根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求实数 k 的取值范围

例 4.已知关于 x 的方程 2 x2 ? 3x ? 2m ? 3 ? 0 的两根都在[-1,1]上.求实数 m 的取值范围.

例 5.方程 mx +2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根,求 m 的取值范围

2

3

一元二次方程根的分布巩固作业
1.对于二次函数 y ? ?2 x 2 ? 8x ,下列结论正确的是( ) A.当 x ? 2 时, y 有最大值 8 B.当 x ? ?2 时, y 有最大值 8 C.当 x ? 2 时, y 有最小值 8 D.当 x ? ?2 时, y 有最小值 ? 8 2.二次函数 y ? x 2 ? ax ? 1 在区间[0,3]上有最小值-2,则实数 a 的值为( A.-2 B.4 C. ? )

10 3

D.2 )

3.设函数 f ( x) ? 2x 2 ? 3ax ? 2a( x, a ? R)的最小值为 m(a) ,当 m(a)有最大值时 a 的值为( A.

4.函数 f ( x) ? ax2 ? 2(a ? 3) x ? 1 在区间 ?? 2,??? 上递减,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,0] B. ?? ?,?3? C. ?? 3,0? D.[-2,0] 5.设二次函数 f ( x) ? x ? x ? a, 若f (?m) ? 0, 则f (m ? 1) 的值为( ) A.正数 B.负数 C.正、负不定,与 m 有关 D.正、负不定,与 a 有关
2

4 3

B.

3 4

C.

8 9

D.

9 8



2 2 6.已知 x1 , x2是方程x 2 ? (k ? 2) x ? (k 2 ? 3k ? 5) ? 0 (k 为实数)的两实数根,则 x1 的最大值为 ? x2 ( )

A.19

B.18

C. 5

5 9


D.不存在

2 7 . 设 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) , 对 任 意 实 数 t 都 有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 成 立 , 则 函 数 值

f (?1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是(
A.f(-1)
2

B.f(1)
2

C.f(2)

D.f(5)

8.一元二次方程 x ? (a ? 1) x ? (a ? 2) ? 0 的一根比 1 大,另一根比-1 小,则实数 a 的取值范围是
2 9.函数 f ( x) ? ax ? ax ? 1,若 f ( x) ? 0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是

10.函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b ?a ? 0 ? 在 ? 2,3? 上有最大值 5 和最小值 2,求 a , b 的值。
2

11.(1)方程 x - 2ax + 4 = 0 的两根均大于 1 ,求实数 a 的范围. (2)方程 x - 2ax + 4 = 0 的两根一者大于 1 ,一者小于 1 求实数 a 的范围. (3)方程 x - 2ax + 4 = 0 的两根一者在 (0,1) 内,一者在(6,8)内,求实数 a 的范围.
2

2

2

4


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