nbhkdz.com冰点文库

闭区间上二次函数的最值

时间:2015-05-18


闭区间上二次函数的最值
朱义华 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。 二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定 或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高考数学中的热点。 一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数 在定区间上的最值”。 例 1. 函数 y ? ? x 2 ? 4x ? 2 在区间 0 , 3 上的最大值是_________,最小值是_______。 解:函数 y ? ? x2 ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 是定义在区间 0 , 3 上的二次函数,其对 称轴方程是 x ? 2 ,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3] 上,如图 1 所示。函数的最大值为 f ( 2) ? 2 ,最小值为 f ( 0) ? ?2 。

?

?

?

?

图1
2 例 2. 已知 2 x ? 3x ,求函数 f ( x) ? x ? x ? 1 的最值。
2 2 解:由已知 2 x ? 3x ,可得 0 ? x ?

3 3? ? ,即函数 f ( x ) 是定义在区间 ?0, ? 上的二次 2 2? ?
2

1 1? 3 ? 函 数 。 将 二 次 函 数 配 方 得 f ( x) ? ? x ? ? ? , 其 对 称 轴 方 程 x ? ? , 顶 点 坐 标 ? 2 2? 4 3? ? 1 3? ? ? ? , ? ,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 ?0, ? 内,如图 2 所示。函 ? 2 4? 2? ? ? 3? 19 数 f ( x ) 的最小值为 f ( 0) ? 1 ,最大值为 f ? ? ? 。 ? 2? 4

图2 解后反思:已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (不妨设 a ? 0 ),它的图象是顶点为
2

? b b 4ac ? b2 ? 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在 m , n ?? , ? 、对称轴为 x ? ? 2a 4a ? ? 2a 上 f ( x ) 的最大值或最小值:

?

?

( 1)当 ?

2 b ? b ? 4ac ? b ? m,n 时, f ( x ) 的最小值是 f ? ? ? ? ,f ( x ) 的最大值 ? 2a ? 2a 4a

?

?

是 f (m) 、f (n) 中的较大者。 (2)当 ? 若?

b ? m,n 时 2a

?

?

b ? m ,由 f ( x ) 在 m, n 上是增函数 2a 则 f ( x ) 的最小值是 f (m) ,最大值是 f ( n) b 若n ? ? ,由 f ( x ) 在 m , n 上是减函数 2a 则 f ( x ) 的最大值是 f (m) ,最小值是 f ( n)

?

?

?

?

二. 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数 a 的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我 们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例 3. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 的最值。
2

解: 由已知有 ?1 ? x ? 1,a ? 2 , 于是函数 f ( x ) 是定义在区间 ?1,1 上的二次函数, 将 f ( x ) 配方得:

?

?

a? a ? f ( x) ? ? x ? ? ? 3 ? ? 2? 4

2

2

二次函数 f ( x ) 的对称轴方程是 x ? ? 顶点坐标为 ? ?

a 2

? a a2 ? ,3 ? ? ,图象开口向上 4? ? 2 a 由 a ? 2 可得 x ? ? ? ?1 ,显然其顶点横坐标在区间 ?1,1 的左侧或左端点上。 2 函数的最小值是 f ( ?1) ? 4 ? a ,最大值是 f (1) ? 4 ? a 。

?

?

图3
2 2 例 4. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? 4ax ? a ? 1 在区间 ?4 ,1 上的最大值为 5, 求实数 a

?

?

的值。

解:将二次函数配方得 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? a 2 ? 4a ? 1,其对称轴方程为 x ? ?2 ,顶 点坐标为 (?2,a 2 ? 4a ? 1) ,图象开口方向由 a 决定。很明显,其顶点横坐标在区间

??4,1? 上。

若 a ? 0 ,函数图象开口向下,如图 4 所示,当 x ? ?2 时,函数取得最大值 5 即 f (?2) ? a 2 ? 4a ? 1 ? 5 解得 a ? 2 ? 10 故 a ? 2 ? 10 (a ? 2 ? 10舍去)

图4 若 a ? 0 时,函数图象开口向上,如图 5 所示,当 x ? 1时,函数取得最大值 5 即 f (1) ? 5a ? a 2 ? 1 ? 5 解得 a ? 1或a ? ?6 故 a ? 1(a ? ?6舍去)

综上讨论,函数 f ( x ) 在区间 ?4 ,1 上取得最大值 5 时, a ? 2 ? 10或a ? 1 解后反思:例 3 中,二次函数的对称轴是随参数 a 变化的,但图象开口方向是固定的; 例 4 中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数 a 变化的。 三. 定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数 t 而变化的,我们称这种情况是“定函 数在动区间上的最值”。
2 2 例 5. 如果函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 定义在区间 t, t ? 1 上,求 f ( x ) 的最小值。

?

?

图5

?

?

解:函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 ,其对称轴方程为 x ? 1,顶点坐标为(1,1),图象开 口向上。

如图 6 所示,若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 左侧时,有 1 ? t 。当 x ? t 时,函数取得 最小值

?

?

f ( x) m i n? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 1 。

如图 7 所示, 若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 上时, 有 t ? 1? t ? 1, 即 0 ? t ? 1。 当 x ?1 时,函数取得最小值

?

图6

?

f ( x) m i n? f (1) ? 1 。

如图 8 所示, 若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 右侧时, 有 t ? 1 ? 1, 即 t ? 0。 当 x ? t ?1 时,函数取得最小值

?

图7

?

f ( x) m i n? f (t ? 1) ? t 2 ? 1
综上讨论, f ( x ) min

?( t ? 1) 2 ? 1, t ? 1 ? ? ?1, 0? t ?1 ?t 2 ? 1 t?0 ?

图8
2 例 6. 设函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 的定义域为 t ? 2 ,t ? 1 , 对任意 t ?R , 求函数 f ( x )

?

?

的最小值 ? ( t ) 的解析式。 解:将二次函数配方得:

f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 8

其对称轴方程为 x ? 2 ,顶点坐标为 (2, ? 8) ,图象开口向上 若顶点横坐标在区间 t ? 2 ,t ? 1 左侧,则 2 ? t ? 2 ,即 t ? 4 。当 x ? t ? 2 时,函 数取得最小值

?

?

f (t ? 2) ? (t ? 4) 2 ? 8 ? t 2 ? 8t ? 8
若顶点横坐标在区间 t ? 2 ,t ? 1 上,则 t ? 2 ? 2 ? t ? 1,即 3 ? t ? 4 。当 x ? 2 时, 函数取得最小值

?

?

f (2) ? ?8
取得最小值

若顶点横坐标在区间 t ? 2 ,t ? 1 右侧,则 t ? 1 ? 2 ,即 t ? 3。当 x ? t ? 1 时,函数

?

?

f (t ? 1) ? (t ? 3)2 ? 8 ? t 2 ? 6t ? 1
?t 2 ? 8t ? 8( t ? 4) ? 综上讨论,得 ? ( t ) ? ??8( 3 ? t ? 4) ?t 2 ? 6t ? 1( t ? 3) ?
四. 动二次函数在动区间上的最值 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函 数在动区间上的最值”。 例 7. 已知 y 2 ? 4a( x ? a)(a ? 0) ,且当 x ? a 时, S ? ( x ? 3) 2 ? y 2 的最小值为 4, 求参数 a 的值。 解:将 y 2 ? 4a( x ? a) 代入 S 中,得

S ? ( x ? 3) 2 ? 4a ( x ? a ) ? x 2 ? 2 ( 3 ? 2a ) x ? 9 ? 4 a 2 ? ? x ? (3 ? 2a )? ? 12a ? 8a 2
2

则 S 是 x 的二次函数,其定义域为 x ? a, ? ? ,对称轴方程为 x ? 3 ? 2a ,顶点坐 标为 (3 ? 2a,12a ? 8a ) ,图象开口向上。
2

?

?

若 3 ? 2a ? a ,即 0 ? a ? 1 则当 x ? 3 ? 2a 时, S最小 ? 12a ? 8a ? 4
2

此时, a ? 1,或 a ?

1 2
2

若 3 ? 2a ? a ,即 a ? 1

2 则当 x ? a 时, S最小 ? ?a ? ( 3 ? 2a )? ? 12a ? 8a ? 4

此时, a ? 5 ,或 a ? 1(因 a ? 1,a ? 1舍去) 综上讨论,参变数 a 的取值为 a ? 1,或 a ?

1 ,或 a ? 5 2

例 8. 已知

( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) ,且当 x ? 1 ? 2a 时, P ? ( x ? 4) 2 ? y 2 的最小值 4

为 1,求参变数 a 的值。

解:将 y ?
2

( x ? 1) 2 ? a 2 代入 P 中,得 4 ( x ? 1) 2 P ? ( x ? 4) 2 ? ? a2 4

5? 17 ? 9 ? ? x ? ? ? ? a2 4? 5? 5
则 P 是 x 的二次函数,其定义域为 x ? 1 ? 2a, ? ? ,对称轴方程为 x ? 坐标为 ?

?

?

?

17 ,顶点 5

? 17 9 ? , ? a 2 ? ,图象开口向上。 ? 5 ? 5 17 6 ? 1 ? 2a ,即 a ? 若 5 5 17 9 2 则当 x ? 时, P最小 ? ? a ? 1 5 5 2 此时, a ? 5 17 6 ? 1 ? 2a ,即 a ? 若 5 5 ? 5? 17 ? 9 则当 x ? 1 ? 2a 时, P ? 1 ? 2 a ? ? ? a2 ? 1 ? ? 最小 4? 5? 5 6 此时, a ? 2 ,或 a ? 1(因 a ? ,a ? 1 舍去) 5 2 ,或a ? 2 综上讨论, a ? 5
解后反思:例 7 中,二次函数的对称轴是变化的;例 8 中,二次函数的对称轴是固定

的。 另外,若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参 数一致,可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍。

年级 内容标题 分类索引号 主题词 供稿老师 录入

高中

学科 数学

版本 分类索引描述

期数 辅导与自学 栏目名称 审稿老师 专题辅导

闭区间上二次函数的最值 G.622.46 闭区间上二次函数的最值 韩素果 一校 胡丹 二校

审核


赞助商链接

《求闭区间上二次函数的最值的方法归纳》

《求闭区间上二次函数的最值的方法归纳》 - 闭区间上二次函数的最值 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函 数的载体。 二次...

二次函数在闭区间上的最值

二次函数闭区间上的最值问... 6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

闭区间上二次函数的最值

闭区间上二次函数的最值朱义华 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的 载体。二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数...

二次函数在闭区间上的最值教案

二次函数闭区间上的最值教案 - 专题课:二次函数闭区间上的最值 授课人:高一数学组——商丽君 【教学设计说明】 1.教材分析 《二次函数》是高中数学(...

二次函数在闭区间上最值

二次函数闭区间上的最值 1、已知函数 f(x)= x -2x-3.求函数在以下区间内的最值 2 (1)[-2,0] (2)[2,4] 解: f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4...

二次函数在闭区间上的最值2

二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般 分为:对称轴在区间的左边,中间,...

专题五 二次函数在闭区间上的最值

专题五 二次函数闭区间上的最值_高一数学_数学_高中教育_教育专区。专题五(一) 、正向型 二次函数闭区间上的最值 是指已知二次函数和定义域区间,求其最...

一元二次函数在闭区间上的最值问题

一元二次函数闭区间上的最值问题 - 摘要:针对部分中学生对二次函数最值问题的困惑,从方法上给予了归纳,结合具体的例题 讲解,希望能解除学生对这类问题的困惑,...

闭区间上二次函数的最值

闭区间上二次函数的最值二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。 二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的...

二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上的最值吴忠回民中学 马占华一、教学目标 (1)学会利用二次函数的图象和性质,解决在区间变化或对称轴变化时最值的 求法; (2)经历用多媒体...

更多相关标签