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闭区间上二次函数的最值


闭区间上二次函数的最值
朱义华 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。 二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定 或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高考数学中的热点。 一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数 在定区间上

的最值”。 例 1. 函数 y ? ? x 2 ? 4x ? 2 在区间 0 , 3 上的最大值是_________,最小值是_______。 解:函数 y ? ? x2 ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 是定义在区间 0 , 3 上的二次函数,其对 称轴方程是 x ? 2 ,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3] 上,如图 1 所示。函数的最大值为 f ( 2) ? 2 ,最小值为 f ( 0) ? ?2 。

?

?

?

?

图1
2 例 2. 已知 2 x ? 3x ,求函数 f ( x) ? x ? x ? 1 的最值。
2 2 解:由已知 2 x ? 3x ,可得 0 ? x ?

3 3? ? ,即函数 f ( x ) 是定义在区间 ?0, ? 上的二次 2 2? ?
2

1 1? 3 ? 函 数 。 将 二 次 函 数 配 方 得 f ( x) ? ? x ? ? ? , 其 对 称 轴 方 程 x ? ? , 顶 点 坐 标 ? 2 2? 4 3? ? 1 3? ? ? ? , ? ,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 ?0, ? 内,如图 2 所示。函 ? 2 4? 2? ? ? 3? 19 数 f ( x ) 的最小值为 f ( 0) ? 1 ,最大值为 f ? ? ? 。 ? 2? 4

图2 解后反思:已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (不妨设 a ? 0 ),它的图象是顶点为
2

? b b 4ac ? b2 ? 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在 m , n ?? , ? 、对称轴为 x ? ? 2a 4a ? ? 2a 上 f ( x ) 的最大值或最小值:

?

?

( 1)当 ?

2 b ? b ? 4ac ? b ? m,n 时, f ( x ) 的最小值是 f ? ? ? ? ,f ( x ) 的最大值 ? 2a ? 2a 4a

?

?

是 f (m) 、f (n) 中的较大者。 (2)当 ? 若?

b ? m,n 时 2a

?

?

b ? m ,由 f ( x ) 在 m, n 上是增函数 2a 则 f ( x ) 的最小值是 f (m) ,最大值是 f ( n) b 若n ? ? ,由 f ( x ) 在 m , n 上是减函数 2a 则 f ( x ) 的最大值是 f (m) ,最小值是 f ( n)

?

?

?

?

二. 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数 a 的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我 们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例 3. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 的最值。
2

解: 由已知有 ?1 ? x ? 1,a ? 2 , 于是函数 f ( x ) 是定义在区间 ?1,1 上的二次函数, 将 f ( x ) 配方得:

?

?

a? a ? f ( x) ? ? x ? ? ? 3 ? ? 2? 4

2

2

二次函数 f ( x ) 的对称轴方程是 x ? ? 顶点坐标为 ? ?

a 2

? a a2 ? ,3 ? ? ,图象开口向上 4? ? 2 a 由 a ? 2 可得 x ? ? ? ?1 ,显然其顶点横坐标在区间 ?1,1 的左侧或左端点上。 2 函数的最小值是 f ( ?1) ? 4 ? a ,最大值是 f (1) ? 4 ? a 。

?

?

图3
2 2 例 4. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? 4ax ? a ? 1 在区间 ?4 ,1 上的最大值为 5, 求实数 a

?

?

的值。

解:将二次函数配方得 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? a 2 ? 4a ? 1,其对称轴方程为 x ? ?2 ,顶 点坐标为 (?2,a 2 ? 4a ? 1) ,图象开口方向由 a 决定。很明显,其顶点横坐标在区间

??4,1? 上。

若 a ? 0 ,函数图象开口向下,如图 4 所示,当 x ? ?2 时,函数取得最大值 5 即 f (?2) ? a 2 ? 4a ? 1 ? 5 解得 a ? 2 ? 10 故 a ? 2 ? 10 (a ? 2 ? 10舍去)

图4 若 a ? 0 时,函数图象开口向上,如图 5 所示,当 x ? 1时,函数取得最大值 5 即 f (1) ? 5a ? a 2 ? 1 ? 5 解得 a ? 1或a ? ?6 故 a ? 1(a ? ?6舍去)

综上讨论,函数 f ( x ) 在区间 ?4 ,1 上取得最大值 5 时, a ? 2 ? 10或a ? 1 解后反思:例 3 中,二次函数的对称轴是随参数 a 变化的,但图象开口方向是固定的; 例 4 中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数 a 变化的。 三. 定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数 t 而变化的,我们称这种情况是“定函 数在动区间上的最值”。
2 2 例 5. 如果函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 定义在区间 t, t ? 1 上,求 f ( x ) 的最小值。

?

?

图5

?

?

解:函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 ,其对称轴方程为 x ? 1,顶点坐标为(1,1),图象开 口向上。

如图 6 所示,若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 左侧时,有 1 ? t 。当 x ? t 时,函数取得 最小值

?

?

f ( x) m i n? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 1 。

如图 7 所示, 若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 上时, 有 t ? 1? t ? 1, 即 0 ? t ? 1。 当 x ?1 时,函数取得最小值

?

图6

?

f ( x) m i n? f (1) ? 1 。

如图 8 所示, 若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 右侧时, 有 t ? 1 ? 1, 即 t ? 0。 当 x ? t ?1 时,函数取得最小值

?

图7

?

f ( x) m i n? f (t ? 1) ? t 2 ? 1
综上讨论, f ( x ) min

?( t ? 1) 2 ? 1, t ? 1 ? ? ?1, 0? t ?1 ?t 2 ? 1 t?0 ?

图8
2 例 6. 设函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 的定义域为 t ? 2 ,t ? 1 , 对任意 t ?R , 求函数 f ( x )

?

?

的最小值 ? ( t ) 的解析式。 解:将二次函数配方得:

f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 8

其对称轴方程为 x ? 2 ,顶点坐标为 (2, ? 8) ,图象开口向上 若顶点横坐标在区间 t ? 2 ,t ? 1 左侧,则 2 ? t ? 2 ,即 t ? 4 。当 x ? t ? 2 时,函 数取得最小值

?

?

f (t ? 2) ? (t ? 4) 2 ? 8 ? t 2 ? 8t ? 8
若顶点横坐标在区间 t ? 2 ,t ? 1 上,则 t ? 2 ? 2 ? t ? 1,即 3 ? t ? 4 。当 x ? 2 时, 函数取得最小值

?

?

f (2) ? ?8
取得最小值

若顶点横坐标在区间 t ? 2 ,t ? 1 右侧,则 t ? 1 ? 2 ,即 t ? 3。当 x ? t ? 1 时,函数

?

?

f (t ? 1) ? (t ? 3)2 ? 8 ? t 2 ? 6t ? 1
?t 2 ? 8t ? 8( t ? 4) ? 综上讨论,得 ? ( t ) ? ??8( 3 ? t ? 4) ?t 2 ? 6t ? 1( t ? 3) ?
四. 动二次函数在动区间上的最值 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函 数在动区间上的最值”。 例 7. 已知 y 2 ? 4a( x ? a)(a ? 0) ,且当 x ? a 时, S ? ( x ? 3) 2 ? y 2 的最小值为 4, 求参数 a 的值。 解:将 y 2 ? 4a( x ? a) 代入 S 中,得

S ? ( x ? 3) 2 ? 4a ( x ? a ) ? x 2 ? 2 ( 3 ? 2a ) x ? 9 ? 4 a 2 ? ? x ? (3 ? 2a )? ? 12a ? 8a 2
2

则 S 是 x 的二次函数,其定义域为 x ? a, ? ? ,对称轴方程为 x ? 3 ? 2a ,顶点坐 标为 (3 ? 2a,12a ? 8a ) ,图象开口向上。
2

?

?

若 3 ? 2a ? a ,即 0 ? a ? 1 则当 x ? 3 ? 2a 时, S最小 ? 12a ? 8a ? 4
2

此时, a ? 1,或 a ?

1 2
2

若 3 ? 2a ? a ,即 a ? 1

2 则当 x ? a 时, S最小 ? ?a ? ( 3 ? 2a )? ? 12a ? 8a ? 4

此时, a ? 5 ,或 a ? 1(因 a ? 1,a ? 1舍去) 综上讨论,参变数 a 的取值为 a ? 1,或 a ?

1 ,或 a ? 5 2

例 8. 已知

( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) ,且当 x ? 1 ? 2a 时, P ? ( x ? 4) 2 ? y 2 的最小值 4

为 1,求参变数 a 的值。

解:将 y ?
2

( x ? 1) 2 ? a 2 代入 P 中,得 4 ( x ? 1) 2 P ? ( x ? 4) 2 ? ? a2 4

5? 17 ? 9 ? ? x ? ? ? ? a2 4? 5? 5
则 P 是 x 的二次函数,其定义域为 x ? 1 ? 2a, ? ? ,对称轴方程为 x ? 坐标为 ?

?

?

?

17 ,顶点 5

? 17 9 ? , ? a 2 ? ,图象开口向上。 ? 5 ? 5 17 6 ? 1 ? 2a ,即 a ? 若 5 5 17 9 2 则当 x ? 时, P最小 ? ? a ? 1 5 5 2 此时, a ? 5 17 6 ? 1 ? 2a ,即 a ? 若 5 5 ? 5? 17 ? 9 则当 x ? 1 ? 2a 时, P ? 1 ? 2 a ? ? ? a2 ? 1 ? ? 最小 4? 5? 5 6 此时, a ? 2 ,或 a ? 1(因 a ? ,a ? 1 舍去) 5 2 ,或a ? 2 综上讨论, a ? 5
解后反思:例 7 中,二次函数的对称轴是变化的;例 8 中,二次函数的对称轴是固定

的。 另外,若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参 数一致,可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍。

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学科 数学

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闭区间上二次函数的最值 G.622.46 闭区间上二次函数的最值 韩素果 一校 胡丹 二校

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