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志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修1-2全册课件 3.1.1 归纳推理


第三章

推理与证明

-1-

§1 归纳与类比

-2-

1.1 归纳推理

-3-

1.1 归纳推理

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1.理解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理,体会并认识归纳推理 在数学发展中的作用. 2.了解欧拉公式的概念.

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1.归纳推理
定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事 物中每一个事物都有这种属性,我们将这种推理方式 称为归纳推理 特征 归纳推理是由部分到 整体,由个别到一般的 推理

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2.欧拉公式:一个凸多面体中,多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点数(V),它们之间
的关系为V-E+F=2. 【做一做1】 关于归纳推理,下列说法正确的是( A.归纳推理是由一般到一般的推理 B.归纳推理是由一般到个别的推理 C.归纳推理的结论一定是正确的 D.归纳推理的结论不一定正确 解析:归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D. 答案:D )

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【做一做 2】 在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压的结果与 相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中 “ ”处.
年龄/岁 30 35 40 45 50 55 60 收缩压/ 110 115 120 125 130 135 毫米汞柱 舒张压/ 70 73 75 78 80 83 毫米汞柱 65 145 88

答案:140

85

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1.进一步理解归纳推理 剖析:归纳推理是根据已经知道的一类事物中个别事物具有的属性推断出所有 这类事物所具有的共性,有时结论正确,有时结论不正确.在归纳结论时,要对大量 的个体进行观察,其正确性还需要通过严格的证明,不正确的结论只需举出一个特 例说明即可.

2.归纳推理的一般步骤是什么?
剖析:(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出 一个明确表达的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有

代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠,学习中要通过实例去分析、归纳问题
的一般性命题,加强应用.特别注意,由归纳推理所获得的结论,仅仅是一种猜测,并 不一定可靠,其可靠性需要证明.

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题型一

题型二

题型三

题型一 归纳推理在数与式中的应用

【例 1】 已知 1> ,1+ + >1,1+ + + + + + > ,1+ +
1 1 +…+ >2…… 3 15

1 2

1 2

1 3

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

3 2

1 2

根据以上不等式的结构特点,请你归纳出一个一般性的结论. 分析:观察不等式左边最后一项的分母,其特点为 2n-1,不等式右边为 ,
2

由此可得一般性的结论. 解:因为 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,所以猜想不等式左边最后一 项的分母为 2n-1,而不等式右边依次分别为 , , , ,…, . 故归纳得到的一般性结论为
1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 1+ + +…+ > 2 3 2 -1 2 (n∈N+). 2

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反思根据给出的数与式,归纳一般性结论的思路: (1)观察数与式的结构特征,如数、式与序号的关系,代数式的相同或相 似之处等; (2)提炼出数、式的变化规律; (3)运用归纳推理写出一般性结论.

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【变式训练 1】 设函数 f(x)= 察:f1(x)=f(x)=

…,根据以上事实,由归纳推理可得:当 n∈N+,且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= . 解析:观察 f(x)的下标与右边式中分母的 x 的系数的关系可知 fn(x)= .
+1

,f2(x)=f(f1(x))= ,f3(x)=f(f2(x))= ,f4(x)=f(f3(x))= , +1 2+1 3+1 4+1

(x>0),观 +1

答案:

+1

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题型二 归纳推理在几何图形中的应用

【例 2】 将自然数 0,1,2,…,按照如下形式进行摆放: 根据以上规律判定,从 2 013 到 2 015 的箭头方向是( )

解析:本题中的数字及箭头方向都有一定的规律.箭头每经过四个数就 要重复出现,即以 4 为周期变化.2 012 恰好是 4 的倍数,从 2 013 到 2 015 的 箭头指向应与 1 到 3 的箭头指向一致. 答案:B

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题型二

题型三

反思归纳推理在图形中的应用策略

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【变式训练 2】 由两种花色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干 个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )

A.26

B.31

C.32

D.36

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解析:方法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 …

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项, 以 5 为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31. 方法二:由图案的排列规律可知,除第一个无纹的正六边形需 6 个有菱 形纹的正六边形围绕(第一个图案)外,每增加一个无纹的正六边形,只需增 加 5 个有菱形纹的正六边形(每两个相邻的无纹正六边形之间有一个“公共” 的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为 6+5×(6-1)=31. 答案:B

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题型三 易错辨析

易错点 忽视 n 与 an 的对应关系致误 【例 3】 若数列{an}的前 6 项依次为 ,2,4,8,16,32,试写出{an}的一个通 项公式. 错解:an=2· 2n-1=2n. 错因分析:{an}前 6 项中的后 5 项成等比数列,但前 6 项并非为等比数列. 正解:an=
1 ( 2 1 2

= 1),

2 -1 ( ≥ 2).

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1数列1,5,10,16,23,31,x,50,…中的x等于(
A.38 B.39 C.40 D.41

)

解析:前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8,由此规律可得 x=31+9=40. 答案:C

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2观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满

足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于(
A.f(x) 答案:D B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)

)

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3 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜想第 n 个图形中有 个点.

解析:观察图形中点的分布的变化规律,发现第一个图形中只有一个点,第二 个图形中除中心点外还有两边,每边一个点,第三个图形中除中心点外还有 三边,每边两个点……第 n 个图形中除中心点外有 n 边,每边有(n-1)个点,故 第 n 个图形中点的个数为 n(n-1)+1,即 n2-n+1. 答案:n2-n+1

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4 在如图所示的三角形数阵中,满足:(1)第 1 行的数为 1;(2)第 n(n≥2)行首尾 两数均为 n,其余的数都等于它肩上的两个数相加,则第 n(n≥2)行中第 2 个 数是 .(用 n 表示) 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 … … … … … … 解析:如题图,2=1+1,4=(1+2)+1,7=(1+2+3)+1,11=(1+2+3+4)+1. 归纳猜想,第 n 行第 2
2 -+2 答案: 2 2 -+2 个数为[1+2+3+…+(n-1)]+1= . 2

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