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6.教师版:直线与圆方程解答题提高


直线与圆方程解答题 C 组练习 1.已知圆 x +y =16,A(2,0),若 P,Q 是圆上的动点,且 AP ? AQ ,求 PQ 的中点 M 的轨迹方程
2 2

解:设中点 M ( x, y ) ,如图 ∵ AP ? AQ, M 为PQ 的中点,∴ | MA |?| MP |?| MQ | 由垂径定理得 | MO |2 ? | MP |2 ?|

OP |2 , 而 ∴ 化简得 , , ,这就是动圆圆心的轨迹方程。 ,

2.已知 x, y ? R, 且x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,求:
(1) y 的最值; x

(2) x 2 ? y 2 的最值;

(3) x ? y 的最值;

(4) x-y 的最值。

【分析】数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 表示以点 C (2,3) 为圆心,1 为半径的圆。 (1)
y 表示圆 C 上的点 P ( x , y ) 与坐标原点 O(0,0)连线的斜率 k,故当 y ? kx 为圆 C 的切线时,k 得最值。 x
2

| 2k ? 3 | 1? k

? 1,? k ? 2 ?

2 2 2 y 3, 最小值为 2- 3. 3.? 的最大值为 2+ 3 3 3 x

(2)设 x 2 ? y 2 表示圆 C 上的点 P ( x , y ) 与坐标原点 O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识可知,当 P 为 直线 OC 与圆 C 的两交点 P1 , P2 时, OP12 , OP2 2 的最大值、最小值。
? x 2 ? y 2 的最大值为 ( 22 ? 32 ? 1)2 ? 14 ? 2 13, 最小值为 ( 22 ? 32 -1)2 ? 14-2 13,

(3)令 x ? y ? m,当直线l : x ? y ? m 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距 m 取得最值。
| 2?3?m| ? 1,? m ? 5 ? 2.? x ? y 的最大值为 5+ 2 ,最小值为 5- 2. 2

(4)令 x-y ? n,当直线l ? : x ? y ? n 与圆 C 相切时, l? 在 y 轴上截距的相反数 n 取得最值。
| 2-3 ? n | ? 1,? n ? ?1 ? 2.? x ? y 的最大值为 -1+ 2 ,最小值为 -1- 2. 2

3.已知圆 O 的方程是 x 2 ? y 2 ? 9, 求过点 A(1,2) 所作的圆的弦的中点 P 的轨迹。 【解法一】参数法(常规方法) 设过 A 的弦所在的直线方程是 y ? 2 ? k ( x ? 1) (k 存在时) ,P(x,y) 则?
? x2 ? y 2 ? 9 ? y ? kx ? (2 ? k ) . 消去 y 可得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (2 ? k ) x ? k 2 ? 4k ? 5 ? 0,? x1 ? x2 ?

2k (k ? 2) . k2 ?1

k ( k ? 2) ? x? 2 ? ? k ?1 利用中点坐标公式及中点在直线上, ? (k 为参数) ? ?y ? k ? 2 2 ? k ?1 ?
1

? 消去k 得P

点的轨迹方程 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0, 当 k 不存在时,中点 P(1,0)的坐标也适合方程。
1 2

所以 P 点的轨迹是以 ( ,1) 为圆心,

5 为半径的圆。 2

解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点 A 的弦 MN , M ( x1, y1), N ( x 2, y 2 ).
M,N

在圆 O 上, ? ?

2 2 ? y ? y2 ? x1 ? y1 ? 9 , ? 相减可得 ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ( y1 ? y2 ) ? 0( x1 ? x2 ) 2 2 x1 ? x2 x ? y ? 9 ? 2 ? 2

设 P( x, y), 则x ?
? 2x ?

x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 y ? 2 ,y ? 1 . ? M , N , P, A 四点共线, 1 ? ( x ? 1) 2 2 x1 ? x2 x ? 1

y?2 ? 2 y ? 0. 所以中点的轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0( x ? 1时亦正确) x ?1

1 5 为半径的圆。 ? 点 P 的轨迹是以点 ( ,1) 为圆心, 2 2

解法三:数形结合(利用平面几何知识) 由垂径定理可知 OP ? PA, 故P 点的轨迹是以 AO 为直径的圆。 (下略) 本题涉及求轨迹方程的三种间接方法。思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即 ?
? f ( x, y) ? 0 消去 ? g ( x, y) ? 0

y(或 x)可得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax 2 ? Bx ? C ? 0 ,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解。思路 二, 又叫平方差法, 要求弦的中点的轨迹方程时, 用此法比较简单。 基本思路是利用弦的两个端点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得 x1 ? x2 , y1 ? y2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 , 等。再由弦 MN 的中点 P(x,y)的坐标满足 x ?
x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 ,y ? 1 . 以及直线 MN 的斜率 k ? 1 ( x1 ? x2 ) 等,设法消去 x1 , x2 , y1 , y2 2 2 x1 ? x2

即可得弦 MN 的中点 P 的轨迹方程。用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论。思路三,数形结合,利用平面 几何知识等,有时能使求解过程变得非常简捷。 学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合: (1)数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形; (2)动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质; (3)特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; (4)理论与实际相结合:学以致用,创造开拓。 4. (一中)已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l ,使直线 l 被圆 C 截得的弦 AB
2 2

为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由。 解:方法一:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3
2 2 2

假设存在满足题意的直线 l,则可设此直线方程为 y ? x ? b ,则
?y ? x ? b , 消元可得方程 2 x 2 ? (2b ? 2) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ?

设此方程的两根为 x1 , x2 , 则x1 ? x2 ? ?(b ? 1), x1x2 ?

b2 ? 4b ? 4 , y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2b ? b ? 1, 2

2

则 AB 中点 M (?

b ?1 b ?1 , ) ,又弦长为 k 2 ? 1 | x1 ? x2 |? 2(?b2 ? 6b ? 9), 2 2

由题意可知 | OM |?| AM |,即(-

2(?b2 ? 6b ? 9) 2 b ? 1 2 b ?1 2 ) ?( ) ?( ), 2 2 2

解得 b=1,或 b=-4. 又 ? =(2b ? 2)2 ? 8(b2 ? 4b ? 4), 经检验当 b=1 或 b=-4 时, ? ? 0 成立。 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 方法二:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32 假设存在满足题意的直线 l,则可设此直线方程为 y ? x ? b ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则
?y ? x ? b , 消元可得方程 2 x 2 ? (2b ? 2) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ?

设此方程的两根为 x1 , x2 , 则x1 ? x2 ? ?(b ? 1), x1x2 ?

b2 ? 4b ? 4 , y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2b ? b ? 1, 2

y1 y2 ?

b2 ? 2b ? 4 2

由于圆的直径为 AB,且圆过原点,所以 OA ? OB ? 0,? x1x2 ? y1 y2 ? 0, 代入可得b2 ? 3b ? 4 ? 0,?b ? ?4, b ? 1 又 ? =(2b ? 2)2 ? 8(b2 ? 4b ? 4), 经检验当 b=1 或 b=-4 时, ? ? 0 成立。 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 5.(07 年全国 II 卷,理 20)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切。 (1)求圆 O 的方程;

| PO | 、 | PB | 成等比数列,求 PA ? PB 的取值范围。 (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 | PA | 、
解: (1) 依题设, 圆 O 的半径等于 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即r ?

4 1? 3

? 2, 得圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4

| PO | 、 | PB | 成等比数列,得 (2)由已知可得 A(-2,0),B(2,0) 设 P(x,y),由 | PA | 、
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,即 x 2 ? y 2 ? 2

PA? PB ? (?2 ? x,? y) ? (2 ? x,? y) ? x 2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1)
由于点 P 在圆 O 内,故 ?
2 2 ? ?x ? y ? 4 2 ,由此得 y ? 1 ,所以 PA ? PB 的取值范围是[-2,0). 2 2 ? ?x ? y ? 2

6.(08 年宁夏银川模拟)已知圆 C: x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A、B. (2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线? (3)若定点 P(1,1)分弦为 PB ? 2 AP ,求 l 的方程。

3

解: (1)证明:圆心 C(0,1) ,半径 r ?

5 ,则圆心到直线 l 的距离 d ?

| ?m | 1 ? m2

? 1,

? d ? r,? 对m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点。
,? l : m( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 0 恒过定点 P(1,1) (2)设中点 M(x, y) ,? k AB ?
y ?1 y ?1 y ?1 , k AB k MC ? ?1,? ? ? ?1 x x ?1 x 1 2 1 2 整理得 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 即 ( x ? ) ? ( y ? 1) ? , 2 4 1 1 所以 M 的轨迹表示圆心坐标是 ( ,1) ,半径是 的圆。 2 2
又 k MC ? (3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 解方程组 ?

y ?1 x ?1

?mx ? y ? 1 ? 0 ? x ? ( y ? 1) ? 5
2 2

,得 (1 ? m 2 ) x 2 ? 2m 2 x ? m 2 ? 5 ? 0

2m 2 ? x1 ? x 2 ? ① 又 PB ? 2 AP ,? ( x2 ? 1, y 2 ? 1) ? 2(1 ? x1 ,1 ? y1 ) 即 2 x1 ? x2 ? 3 ② 1 ? m2
联立①②解得 x1 ?

3 ? m2 (m ? 1) 2 3 ? m 2 (m ? 1) 2 , 则 y ? , 即 A ( , ). 1 1 ? m2 1 ? m2 1 ? m2 1 ? m2

将 A 点的坐标代入圆的方程得 m ? ?1 ,所以直线方程为 x ? y ? 0和x ? y ? 2 ? 0 7.(09 年天津汉沽一中)已知圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P( x1 , y1 ) 向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有 | PM |?| PO | ,求使得 | PM | 取 得最小值的点 P 的坐标。 解:(佳一)(1)将圆 C 配方得 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

① 当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 y ? kx, 由直线与圆相切得

| ?k ? 2 | k 2 ?1

? 2,即k ? 2 ? 6,

从而切线方程为 y ? (2 ? 6) x. ② 当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,由直线与圆相切得 x ? y ? 1 ? 0 或

x ? y ?3 ? 0
2 (2)由 | PO |?| PM | 得 x1 ? y12 ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 2)2 ? 2 ? 2x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0

即点 P 在直线 l : 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上,当 | PM | 取最小值时即 | OP | 取得最小值,直线 OP ? l ,
4

?2 x ? y ? 0 3 3 , 5) . , 得 P 点的坐标为 (? 10 ? 直线 OP 的方程为 2x+y=0,解方程组 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ?
8.(2009 江苏高考)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 , 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截 得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 【解析】(1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 结合点到直线距离公式,得:

4?(

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1

77 2 24 24 k 2k? 7 ?k 7? k? 0,0, k? k? 0,0, or or , k, k ?? ?? 或 ? 1, 化简得: 24 24

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得: :圆心 C1 到 直线 l1 与 C2 到直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km | ? k 2 ?1 化简得: (2-m-n)k=m-n-3 或(m-n+8)k=m+n-5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

4 1 | ? ?5? n? m| k k , 1 ?1 k2

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 解之得:点 P 坐标为 ( 5 , ? 1 ) 或 (? 3 , 13 ) 。 ,或? m ? n ? 3 ? 0 m+n-5=0 2 2 2 2 ? ?

9.(10 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,直线 l1 被圆所截得的弦的中点为 P(5,3). ①求直线 l1 的方程.②若直线 l2 : x ? y ? b ? 0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. ③是否存在常数 b ,使得直线 l2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上?若存在,求出 b 的值;若不存在,说明 理由. 解:① 圆 C 的方程化标准方程为: ?x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9
2 2

于是圆心 C ?3,2? ,半径 r ? 3 .若设直线 l1 的斜率为 k 则: k ? ?

1 1 ? ? ? ?2 . 1 k PC 2

5

∴ 直线 l1 的方程为: y ? 3 ? ?2?x ? 5? ② ∵圆的半径 r ? 3 ∴ b?5 ?3 2

即 2x ?

y ?13 ? 0 .
3? 2?b 2 ?3

∴要使直线 l 2 与圆 C 相交则须有: 于是 b 的取值范围是: - 3

2- 5<b<3 2 ? 5 .

③ 设直线 l 2 被圆 C 解得的弦的中点为 M ?x? , y? ? ,则直线 l 2 与 CM 垂直,于是有:

y? ? 2 ? 1 ,整理可得: x? ? y? ? 1 ? 0 .又∵点 M ?x? , y? ? 在直线 l 2 上 x? ? 3
? x? ? y ? ? 1 ? 0 ∴由 ? ? x? ? y ? ? b ? 0

∴ x? ? y? ? b ? 0

1? b ? x? ? ? ? 2 解得: ? ?y ? ?1? b ? ? 2 ?

代入直线 l1 的方程得:

1? b ?

25 1? b ? 13 ? 0 于是 b ? ? ? (?3 2 3

2 ? 5,3 2 ? 5) ,故存在满足条件的常数 b .

6


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