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§2.4 指数与指数函数


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高考理数
§2.4 指数与指数函数

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知识清单
1.根式的两个重要公式
n ? a n

=? ?

? a, n ? 2k ? 1(k ? Z), n ? 2k (k ? Z). ?| a |,

n n

n (? a ) =a(a必须使? a 有意义).

2.分数指数幂的意义
(1)? an =
m

a ?
n

m

(a>0,m、n∈N*,n>1);
1

(2)? a =

m ? n

??
1 a
m n

=

n

am

(a>0,m、n∈N*,n>1).

3.有理数指数幂的运算性质 (1)ar· as= ar+s (a>0,r、s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);

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(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 上述有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用. 4.指数函数的图象与性质

y=a

x

a>1
?

0<a<1
?

图象

定义域 值域 性质

R (0,+∞) 过定点(0,1) 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 在R上是单调增函数 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在R上是单调减函数

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5.指数函数在同一直角坐标系中的图象如图,其中图象的相对位置与底数大小有关,图中0<c< d<1<a<b.

?
在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. (无论在y轴的左侧还是右侧,底数都按逆时针方向变大)

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突破方法
方法1
等方法得到所需图象. 2.一些关于指数的方程、不等式问题的求解,往往利用相应的函数图象,数形结合求解. 3.对于图象问题的选择题,可以考虑特值法. 例1 (2015广东佛山第一中学期中,10)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中, 一定成立的是? ( )

指数函数的图象及其应用

1.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换

A.a<0,b<0,c<0
C.2-a<2c

B.a<0,b≥0,c>0

D.2a+2c<2

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解析 作出函数f(x)=|2x-1|的图象(如图中实线所示),又a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知f(a)<1,
a<0,c>0,∴0<2a<1,2c>1, ∴f(a)=|2a-1|=1-2a, f(c)=|2c-1|=2c-1. 又f(a)>f(c),即1-2a>2c-1, ∴2a+2c<2. 答案 D

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1-1 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是? (

)

?

?
答案 A
解析 由f(x)的图象知:0<a<1,b<-1,排除C,D,又g(0)=1+b<0,排除B,故选A.

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方法2

指数函数的性质及应用

1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
(1)函数y=af(x)(a>0且a≠1)的定义域与y=f(x)的定义域相同; (2)求y=af(x)(a>0且a≠1)的值域时,先确定f(x)的值域,再根据指数函数的性质确定y=af(x)的值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域; (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调区间; (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”). 3.对于含ax,a2x的函数表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围. 4.与指数型函数有关的恒成立问题的解法 解决与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,如: 当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≥g(x)恒成立?f(x)-g(x)≥0恒成立,一般地,在[f(x)-g(x)]min存在的情 况下,由上述推理可得出[f(x)-g(x)]min≥0,故可构造函数h(x)=f(x)-g(x),先求出h(x)的最小值,再进行

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相关求解. 当0<a<1时,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≤g(x)恒成立?f(x)-g(x)≤0恒成立,一般地,在[f(x)-g(x)]max存在 的情况下,由上述推理可得出[f(x)-g(x)]max≤0,故可先求函数y=f(x)-g(x)的最大值,再进行相关求 解. 例2 (2015天津期末,17)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明 理由. 解题导引 (1)根据导数判定单调性? 找f(-x)与f(x)的关系判定奇偶性

(2)根据奇偶性和单调性去掉“f”? 转化为一般的恒成立问题? 结论

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解析

?1? (1)∵f(x)=e - ? ? , ?e?
x

?

x

1? ∴f ‘(x)=e + ? ? ? ,∴f ’(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数. ?e?
x

?

x

∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则 f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立 ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立 ?x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立
1? 1 ? ?t +t≤x +x= ? x ? ? -? 对一切x∈R都成立 2? 4 ?
2 2

?

2

1 1 ? 1? ?t +t≤(x +x)min=-? ?t2+t+? = t ? ? ≤0, 4 4 ? ? 2?
2 2

?

2

1 ? 1 ? ≥0,∴? ? 1 ? =0,∴t=-? 又? , t? t?
2 2

? ?

? 2?

? ?

? 2?

2

∴存在t=-? ,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.

1 2

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2-1 (2016安徽江淮十校第一次联考,13)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|, e|x-2|},则f(x)的最小值为 答案 e 解析
?e x , x ? 1, f(x)=max{e ,e }= ? |x?2| ?e , x ? 1,
|x| |x-2|

.

?

当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;
当x<1时,f(x)>e. 故f(x)的最小值为f(1)=e. 2-2 求函数f(x)=? 3 x ?5x?4 的定义域、值域及单调区间. 解析 依题意知x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).
0 ∵? x2 ? 5x ? 4 ≥0,∴f(x)=? 3 x ?5x?4 ≥3 =1,
2 2

∴函数f(x)的值域是[1,+∞).

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5? 9 ? 令u=?x ? 5x ? 4 = ? x ? ? ? ,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), 2? 4 ?
2

?

2

x2 ? 5x ? 4 是减函数, 则当x∈(-∞,1]时,u=?

当x∈[4,+∞)时,u=? x2 ? 5x ? 4 是增函数. 又∵3>1,∴y=3u为增函数, ∴f(x)=? 3 x ?5x?4 的单调减区间为(-∞,1],单调增区间为[4,+∞).
2


§2.4 指数与指数函数

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2.4指数与指数函数2.4教学版

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