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第5章 第5节 数列的综合应用

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2009~2013 年高考真题备选题库 第 5 章 数列 第 5 节 数列的综合应用
考点 数列与其他知识的交汇
012=

nπ 1. (2012 福建,4 分)数列{an}的通项公式 an=ncos +1,前 n 项和为 Sn,则 S2 2 ________.

nπ 解析:∵an=ncos +1,∴a1+a2+a3+a4=6,a5+a6+a7+a8=6,…,a4k+1+a4k+2+ 2 a4k+3+a4k+4=6,k∈N,故 S2 012=503×6=3 018. 答案:3 018 2. (2013 安徽,13 分)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*,函数 f(x) π? =(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f′? ?2?=0. (1)求数列{an}的通项公式; 1 ? (2)若 bn=2? ?an+2a ?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n

解:本题主要考查函数的求导法则和求导公式,等差、等比数列的性质和计算等基础知 识和基本技能,并考查逻辑推理能力和运算求解能力. π? (1)由题设可得,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.对任意 n∈N*,f′? ?2?= an-an+1+an+2-an+1=0,即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差 d=1,所以 an=2+1· (n-1)=n+1. 1 1 1 an+ ?=2?n+1+ n+1?=2n+ n+2 知, (2)由 bn=2? 2an? ? 2 ? ? 2 1 ?1?n 1- n?n+1? 2 ?2? Sn = b1 + b2 +… + bn =2n+ 2· + = n2 + 3n+ 1 - 2 1 1- 2 1 . 2n 3.(2010 安徽,13 分)设 C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的 3 一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线 y= x 相 3 切.对每一个正整数 n,圆 Cn 都与圆 Cn+1 相互外切.以 rn 表示 Cn 的半径,已知{rn}为递增 数列. n (1)证明:{rn}为等比数列;(2)设 r1=1,求数列{ }的前 n 项和. rn 3 3 1 解:(1)证明:将直线 y= x 的倾斜角记为 θ,则有 tanθ= ,sinθ= . 3 3 2

rn 1 设 Cn 的圆心坐标为(λn,0)则由题意知 = ,得 λn=2rn;同理 λn+1=2rn+1,从而 λn+1=λn λn 2 +rn+rn+1=2rn+1,将 λn=2rn 代入,解得 rn+1=3rn. 故{rn}为公比 q=3 的等比数列. n - - (2)由于 r1=1,q=3,故 rn=3n 1,从而 =n· 31 n, rn 1 2 n Sn - - - - - 记 Sn= + +…+ ,则有 Sn=1+2×3 1+3×3 2+…+n×31 n, =1×3 1+2×3 r1 r2 rn 3 - - 2 +…+(n-1)×31 n+n×3 n. 两式相减得 2Sn - - - - =1+3 1+3 2+…+31 n-n· 3 n 3 - 1-3 n 3 3 -n - = -n· 3 n= -(n+ )· 3 . 2 2 2 3 - 31 n 9 1 3 1-n 9-?2n+3?· ∴Sn= - (n+ )· 3 = . 4 2 2 4


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