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2015海淀二模数学


海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习

数学
2015.6 1.本试卷共 8 页,共五道大题,29 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟 。 考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他

试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. .. 1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆,截止到今年初馆藏图书达 3119 万册,其中古籍善 本约有 2000000 册.2000000 用科学记数法可以表示为 A. 0.2 ? 10
7

B. 2 ? 10

6

C. 20 ? 10

5

D. 10 ? 2

6

2.若二次根式 A. x≤0

x ? 2 有意义,则 x 的取值范围是
C. x≤2 D. x≥2

B. x≥0

3.我国古代把一昼夜划分成十二个时段,每一个时段叫一个时辰,古时与今时的对应关系 (部分) 如下表所示. 天文兴趣小组的小明等 4 位同学从今夜 23:00 至明晨 7:00 将进行接力 观测,每人两小时,观测的先后顺序随机抽签确定,小明在子时观测的概率为 古时
[来源:学§科§网]

子时 23:0 0~1:00 B.

丑时 1:00~3:00

寅时 3:00~5:00 C.

卯时 5:00~7:00 D.

今时 A.

1 3

1 4

1 6

1 12

4.如图,小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分(虚线部分) ,得到了一个新多边形.若 新多边形的内角和为 540° ,则对应的是下列哪个图形

A

B

C

D

5.如图,根据计算正方形 ABCD 的面积,可以说明下列哪个等式成立
2 2 2 2 A. ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b B. ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b 2 2

A b b a B b

a

D b a

C. ? a ? b ?? a ? b ? ? a2 ? b2 D. a ? a ? b? ? a2 ? ab

a

C

6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛, 他们每天训练后投 10 个球测 试,记录命中的个数,五天后将记录的数据绘制成折线统计图, 如右图所示.则下列对甲、乙数据描述正确的是 A.甲的方差比乙的方差小 B.甲的方差比乙的方差大 C.甲的平均数比乙的平均数小 D.甲的平均数比乙的平均数大 7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时,教科书介绍如下:

对于“想一想”中的问题,下列回答正确的是: A.根据“边边边”可知,△ C ' O ' D ' ≌△ COD ,所以∠ A ' O ' B ' =∠ AOB B.根据“边角边”可知,△ C ' O ' D ' ≌△ COD ,所以∠ A ' O ' B ' =∠ AOB C.根据“角边角”可知,△ C ' O ' D ' ≌△ COD ,所以∠ A ' O ' B ' =∠ AOB D.根据“角角边”可知,△ C ' O ' D ' ≌△ COD ,所以∠ A ' O ' B ' =∠ AOB

8.小明家端午节聚会,需要 12 个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买 10 赠 1”的促销活 动,即顾客每买够 10 个粽子就送 1 个粽子.已知粽子单价是 5 元/个,按此促销方法,小明至 少应付钱 A.45 元 B.50 元 C.55 元 D.60 元

9.如图,点 A,B 是棱长为 1 的正方体的两个顶点,将正方体按图 中所示展开,则在展开图中 A,B 两点间的距离为 A . 2 B. 5 C. 2 2 D. 10 10.如右图所示,点 Q 表示蜜蜂,它从点 P 出发,按照着箭头所示的 方向沿 P→A→B→P→C→D→P 的路径匀速飞行,此飞行路径是一个 以直线 l 为对称轴的轴对称图形,在直线 l 上的点 O 处(点 O 与点 P 不重合) 利用仪器测量了∠POQ 的大小. 设蜜蜂飞行时间为 x, ∠POQ 的大小为 y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
A B A

AB

C

D

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11. 将函数 y=x2 ?2x + 3 写成 y ? a ? x ? h ? ? k 的形式为.
2

A

12. 点 A,B 是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点 A(2,5) ,写出一个满足条件的 B 点的坐标是. 13. 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙O, ∠BCD=100° , AC 平分∠BAD, 则∠BAC 的度数为.
O B D C

北 西 A

B 东

南 C

14.如图,在一次测绘活动中,某同学站在点 A 观测放置于 B,C 两处的标志物,数据显示 点 B 在点 A 南偏东 75° 方向 20 米处,点 C 在点 A 南偏西 15° 方向 20 米处,则点 B 与点 C 的距离为米.

15.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠BAC=30° ,BC=1,以 B 为圆心, BA 为半径画弧交 CB 的延长线与点 D,则 AC 的长为.

A

D
16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏,规则是:在正方形棋盘中,由黑方 先行,白方后行,轮流弈子,下在棋盘横线与竖线的交叉点上,直到某一 方首先在任一方向 (横向、 竖向或者是斜着的方向) 上连成五子者为胜. 如 图,这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图.观察棋盘,以点 O 为 原点,在棋盘上建立平面直角坐标系,将每个棋子看成一个点,若黑子 A 的坐标为 (7,5) ,则白子 B 的坐标为______________;为了不让白方获胜,此时 黑方应该下在坐标为______________的位置处. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
3 17.计算: ? 2 ? ?8 ? tan 45?+(? ) .

B

C

A

O

B

1 3

?1

2 18.解不等式 ( x ? 1) ? x ? 1 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 3

E A C D

19.如图,已知∠BAC=∠BCA,∠BAE=∠BCD=90° ,BE=BD. 求证:∠E=∠D.

x?3 1 2 ? 的值. 20.已知 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,求代数式 x?4 x

B

21.列方程或方程组解应用题: 小明坚持长跑健身.他从家匀速跑步到学校,通常需 30 分钟.某周日,小李与同学相 约早上八点学校见,他七点半从家跑步出发,平均每分钟比平时快了 40 米,结果七点五十 五分就到达了学校,求小明家到学校的距离.

22.已知关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? 3a ? 1 ? 0 有两个实数根. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 a 为正整数,求方程的根.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 23.已知,△ ABC 中, D 是 BC 上的一点, 且∠DAC=30° , 过点 D 作 ED⊥AD 交 AC 于点 E,

AE ? 4 , EC ? 2 .
(1)求证:AD=CD; (2)若 tanB=3,求线段 AB 的长.
B

A

E

D

C

24. 小明和小腾大学毕业后准备自主创业,开一个小店卖腊汁肉夹 馍.为了使产品更好地适合大众口味,他们决定进行一次抽样调查.在某商场门口将自己制 作的肉夹馍免费送给 36 人品尝,并请每个人填写了一份调查问卷,以调查这种肉夹馍的咸 淡程度是否适中.调查问卷如下所示: 调查问卷年月 你觉得这种肉夹馍的口味(单选) A. 太咸 B. 稍咸 C. 适中 D. 稍淡 E. 太淡

经过调查,他们得到了如下 36 个数据: BCBADACDB CBCDCDCEC CABEADECB CBCEDEDDC (1)小明用表格整理了上面的调查数据,写出表格中 m 和 n 的值; (2)小腾根据调查数据画出了条形统计图,请你补全这个统计图; (3)根据所调查的数据,你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗?. (填“适中”或者“不适 中”)

25. 如图, Rt△ABC 中, ∠A=90° , 以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D, 点 E 在⊙O 上,CE=CA, AB,CE 的延长线交于点 F. (1) 求证:CE 与⊙O 相切; (2) 若⊙O 的半径为 3,EF=4,求 BD 的长.
B F E D C O A

始化 规坐标系 角坐标系 示网格线 藏刻度值 藏坐标轴 示控制点

kx ? 2 ? x ? 0(k ? 0) 成立的 x 的 26.阅读下面材料:小明研究了这样一个问题:求使得等式 常规坐标系
三角坐标系 显示网格线 隐藏刻度值 kx ? 2 ? 个数.小明发现,先将该等式转化为 隐藏坐标轴 显示控制点

初始化

x ,再通过研究函数 y ? kx ? 2 的图象与函

x) = x

数 y ? x 的图象(如图)的交点,使问题得到解决.

f(x) = x

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 o –1 –2 –3 –4 –5

y
5

y

y = |x|

4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 o –1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

x

1

2

3

4

5

x

请回答: (1) 当 k=1 时,使得原等式成立的 x 的个数为_______; (2) 当 0<k<1 时,使得原等式成立的 x 的个数为_______;

(3) 当 k>1 时,使得原等式成立的 x 的个数为_______.

参考小明思考问题的方法,解决问题: 关于 x 的不等式 x2 ? a ?
4 ? 0 (a>0) 只有一个整数解,求 a 的取值范围. x

初始化 常规坐标系 五、解答题(本题共 22 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 三角坐标系 显示网格线 隐藏刻度值 2 ? mx ? 2mx ? m ? 4 与 隐藏坐标轴 显示控制点

27.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 交于点 B,C(点 B 在点 C 左侧).

,与 x 轴 y 轴交于点 A(0,3)

f(x) = x

(1)求该抛物线的表达式及点 B,C 的坐标; (2)抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D,若直线 y ? kx ? b 经过点 D 和点 E ( ?1, ?2) ,求直线 DE 的表达式; (3)在(2)的条件下,已知点 P( t ,0) ,过点 P 作垂直于 x 轴的直线交 抛物线于点 M,交直线 DE 于点 N,若点 M 和点 N 中至少有一个点在 x 轴 下方,直接写出 t 的取值范围.
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 o –1 –2 –3 –4 –5

y

1

2

3

4

5

x

28.如图 1,在 △ABC 中,AB=AC,∠ABC = ? ,D 是 BC 边上一点,以 AD 为边作 △ ADE , 使 AE=AD, . ?DAE + ?BAC =180° (1)直接写出∠ADE 的度数(用含 ? 的式子表示) ; (2)以 AB,AE 为边作平行四边形 ABFE,

①如图 2,若点 F 恰好落在 DE 上,求证:BD=CD; ②如图 3,若点 F 恰好落在 BC 上,求证:BD=CF.

A E

E A

B

D

C
A

B D

F

C

E

B D F

C

图1

图2

图3

29. 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 内,已知点 A(?1, 0) , B (?1,1) , C (1,0) , D(1,1) ,记线 段 AB 为 T1 ,线段 CD 为 T2 ,点 P 是坐标系内一点.给出如下定义:若存在过点 P 的直线 l 与

T1 , T2 都有公共点,则称点 P 是 T1 ? T2 联络点.
例如,点 P (0, ) 是 T1 ? T2 联络点. (1)以下各点中,__________________是 T1 ? T2 联络点(填出所有正确的序号) ; ① (0, 2) ;② (?4, 2) ;③ (3, 2) .
3 2

1 2

y

3 2

y

B A
–4 –3 –2 –1

1

D C O
1 2 3 4

B A x
–4 –3 –2 –1

1

D C O
1 2 3 4

x

–1 –2 –3

–1 –2 –3

图1

备用图

(2)直接在图 1 中画出所有 T1 ? T2 联络点所组成的区域,用阴影部分表示;

(3) 已知点 M 在 y 轴上, 以 M 为圆心, r 为半径画圆, ⊙M 上只有一个点为 T1 ? T2 联络点, ①若 r ? 1 ,求点 M 的纵坐标; ②求 r 的取值范围.

海淀区九年级第二学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
2015.6

一、 选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 A 7 A 8 C 9 B 10 D

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 题号 11 12 13 14 15 16

[来源:学§科§网 Z§X

§X§K]

答案

y ? ( x ? 1)2 ? 2

(1,10)
注:答案不唯一

(5,1) ;(1 分) 40?
20 2

4? 3

(3,7)或(7,3)
(2 分)答对 1 个给 1 分

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
17.(本小题满分 5 分)


? 2







……………………..… .. ? 3 ………………………………………………… ?2 ?1

.4 分
? 2 ? 4 . ……………………………………………………………………………

………...5 分
18. (本小题满分 5 分) 解 法 一









,



2 2 x ? ≤ x ? 1 .…………………………………………………………………..1 分 3 3









2 2 x ? x ≤1 ? .…………………………………………………………………..2 分 3 3









1 5 ? x ≤ .……………………………………………………………………3 分 3 3 系数化为 1,得 x ≥ ? 5 .…………………………………………………………...……4 分

不等式的解集在数轴上表 示如下:

[来源:学科网 ZXXK]

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6



……………………………………………

……………5 分
解 法 移 二
















2 x ? ≤ x ? 2 .…………………………………………………………………1 3 3 分 2 x ? 3 x ≤ 3 ? 2 .……………………………………………………………………2 分

合并,得 ? x ≤ 5 .……………………………………………………… ………..3 分 系数化为 1,得 x≥ ? 5 .…………………………………………………………………..4 分

不等式的解集在数轴上表示如下:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6



………

…………………………………………………5 分
19.(本小题满分 5 分) 证明:在△ABC 中 ∵∠BAC=∠BCA, ∴AB=CB.……………………………………………1 分 ∵∠BAE=∠BCD=90° , 在 Rt△EAB 和 R t△DCB 中,
? AB ? CB, ? ? BE ? BD,

E A C D

B

∴Rt△EAB≌Rt△DCB.……………………………………4 分 ∴∠E=∠D.…………………………………………5 分 20.(本小题满分 5 分) 解
? x ? x ? 4? x ? x ? 3? ?







x?4 ……………………………………………………………………… x ? x ? 4?

.1 分
? x 2 ? 3x ? x ? 4 ……………………………………………..……………………… x ? x ? 4?
x2 ? 4 x ? 4 . ……………………………………………………………………… x2 ? 4 x

………2 分
?

………3 分
∵ x ? 4x ? 1 ? 0 ,
2



x2 ? 4 x ? 1 . …………………………………………………………………………………
……4 分







?


1? 4 ? 5 . ………………………………………………………………………………..5 1

21. (本小题满分 5 分) 解 : 由 设 小 明 题 家 到 学 意 校 的 距 , 离 为 x 得 米.……………………………………………………………………..1 分

x x ? 40 ? .………………………………………………………………………..3 分 30 25 解得 x ? 6000 .……………………………………………………………………..4 分
答 :
小 明 家 到 学 校 的 距 离 为 6000 米.………………………………………………………………….5 分 22. (本小题满分 5 分) 解: (1)∵关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? 3a ? 1 ? 0 有两个实数根, ∴
? ? (?4)2 ? 4(3a ?1)≥0 . …………………………………………………………………

…..1 分
解 得

5 a≤ . ……………………………………………………………………………………2 3


5 ∴ a 的取值范围为 a≤ . 3 5 (2)∵ a≤ ,且 a 为正整数, 3


a ? 1 . ……………………………………………………………………………………

……3 分
∴方程 x 2 ? 4 x ? 3a ? 1 ? 0 可化为 x2 ? 4 x ? 2 ? 0 . ∴ 此 方 程 的 根 为

x1 ? 2 ? 2, x2 ? 2 ? 2 .………………………………………………………5 分
四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 23. (本小题满分 5 分) (1)证明: ∵ED⊥AD, ∴∠ADE=90° . 在 Rt△ADE 中,∠DAE=30° ,AE=4, ∴
∠DEA ? 60o
B D E A

C



DE ?

1 AE ? 2 .………………………………………………………………1 分 2

∵ EC ? 2 , ∴ DE ? EC . ∴ ∠EDC ? ∠C . 又 Q ∠EDC ? ∠C ? ?DEA ? 60o ,
o ∴ ∠C ? 30 =∠DAE .

∴ AD=DC . ………………….………………………………………………………………

…2 分

(2)解:过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,如图. ∴∠AFC=∠AFB=90° . ∵AE=4,EC=2, ∴AC=6. 在 Rt△AFC 中,∠AFC =90° ,∠C=30° , ∴
B

A

E

F

D

C

AF ?

1 AC ? 3 …………………………………………………………………………3 分 2

在 Rt△AFB 中,∠AFB=90° ,tanB=3, ∴

BF ?

AF ? 1 . ……….………………………………………………………………………4 tan B




AB ? AF 2 ? FB2 ? 10 . ……….……………………………………………………………5



24. (本小题满分 5 分) ( 1 )
m?8



n ? 5 ;………………………………………………………………………………...2 分

(2)

………………………………………………………… ……...4 分
( 3 ) 适

中.………………………………………………………………………………….5 分 25.(本小题满分 5 分) 证明:连接 OE,OC. 在△OEC 与△OAC 中,
?OE ? OA, ? ?OC ? OC , ?CE ? CA, ?

A O B F E D C

∴△OEC≌△ OAC.………………………………………………………………………………..1


∴∠OEC=∠OAC.

∵∠OAC=90° ,

∴∠OEC=90° . ∴OE⊥CF 于 E. ∴ CF 与 ⊙ O 相

切.………………………………………………………………………………...2 分

(2)解:连接 AD.
∵∠OEC=90° , ∴∠OEF=90° . ∵⊙O 的半径为 3, ∴OE=OA=3.
F 在 Rt△OEF 中,∠OEF=90° ,OE= 3,EF= 4, B E D C O A



OF ? OE 2 ? EF 2 ? 5 , …………………………………………………………………

……3 分
tan F ? OE 3 ? . EF 4

在 Rt△FAC 中,∠FAC=90° , AF ? AO ? OF ? 8 , ∴
AC ? AF ? tan F ? 6



……………………

……………………………………………………4 分
∵AB 为直径, ∴AB=6=AC,∠ADB=90° . ∴BD=

BC . 2

在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° , ∴ BC ? AB2 ? AC 2 ? 6 2 . ∴ BD=
3 2



……………………………………

……………………………………………….5 分
26. (本小题满分 5 分) 解 :( 1 ) 当 1 k = 1 时 , 使 得 原 等 式 成 立 的 x 的 个 数 为

;…………………………………….………1 分 ( 2 ) 当 0 < k < 1 时 , 使 得 原 等 式 成 立 的 x 的 个 数 为

2

;…………………………………………2 ( 3 ) 当 k > 1

初始化 常规坐标系 三角坐标系 显示网格线 隐藏刻度值 隐藏坐标轴 显示控制点 分

f(x) = x

时 , 使 得 原 g( x ) = x2 等 式 成 立 的
4

x

的 个 数 为
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 o –1 –2 –3 –4 –5

1

h( x ) = .…..…………………………………………3 分x

y A C
1 2

解决问题:将不等式 x2 ? a ?

4 4 ? 0 (a>0) 转化为 x2 ? a ? (a>0) , x x

q( x ) = x 2 + 3

D B
3 4 5

研究函数 y ? x2 ? a(a ? 0) 与函数 y ?

4 的图象的交点. x

x

4 ∵函数 y ? 的图象经过点 A(1,4),B(2,2), x

函数 y ? x 的图象经过点 C(1,1),D(2,4),
2







y ? x2 ? a(a ? 0)







A(1,4)





a ? 3 ,……………………………………………………4 分

4 结合图象可知,当 0 ? a ? 3 时,关于 x 的不等式 x2 ? a ? (a ? 0) 只有一个整数解. x

也 就 是 当 0 ? a ? 3 时 , 关 于 x 的 不 等 式 x2 ? a ? 解. ……………………5 分

4 ? 0 x

> a ( 0 只 ) 有一个整数

五、解答题(本题共 22 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分)
27. (本小题满分 7 分) 解: (1)∵抛物线 y ? mx2 ? 2mx ? m ? 4 与 y 轴交于点 A(0,3) , ∴m? 4 ? 3. ∴ m ? ?1 . ∴ 抛 物 线 的 表 达 式 为

y ? ? x2 ? 2 x ? 3 .…………………………………………………………………1 分

∵抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 与 x 轴交于点 B,C, ∴令 y ? 0 ,即 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .

解得 x1 ? ?1 , x2 ? 3 . 又∵点 B 在点 C 左侧, ∴ 点 B 的 坐 标 为

(?

1

,, 0 点 )

C









(3,0) .…………………………………………………...……3 分
(2)∵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)2 ? 4 , ∴抛物线的对称轴为直线 x ? 1 . ∵抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D, ∴ 点 D 的 坐 标 为

(

1 , 0 ) .………………………………………………………………………… ...………4 分
∵直线 y ? kx ? b 经过点 D (1,0) 和点 E ( ?1, ?2) ,

?k ? b ? 0, ∴? ??k ? b ? ?2.

?k ? 1, 解得 ? ?b ? ?1.
∴ 直 线 DE 的 表 达 式 为

y ? x ? 1 . ………………………………………………………………………5 分
( 3 )
t ?1



t ? 3 ……………………………………………………………………………………………7 分

28.(本小题满分 7 分) ( 1 ) ∠ ADE =

90? ? ? .…………………………………………………………………………………….…1 分

(2)①证明:∵四边形 ABFE 是平行四边形,
E

∴AB∥E F.

A

B D

F

C

∴ ?EDC ? ?ABC ? ? .…………………………….……2 分 由(1)知,∠ADE = 90? ? ? , ∴ ?ADC ? ?ADE ? ?EDC ? 90? .…………………...……3 分 ∴AD⊥BC. ∵AB=AC, ∴ BD=CD . ……………………………………………………………………………………..…… ………4 分

②证明: ∵AB=AC,∠ABC = ? , ∴ ?C ? ?B ? ? . ∵四边形 ABFE 是平行四边形,
B C D F A E

∴AE∥BF, AE=BF. ∴

?EAC ? ?C ? ? . …………………………………………………………………………………

…………5 分 由(1)知, ?DAE ? 2? , ∴
?DAC ? ? . ………………………………………………………………………………………

…………6 分 ∴ ?DAC ? ?C . ∴AD=CD. ∵AD=AE=BF, ∴BF=CD. ∴ BD=CF . …………………………………………………………………………………………… …………7 分

29. (本小题满分 8 分) ( 1 ) ② , ③ 是

T1 ? T2





点.…………………………………………………………………………2 分 (2)所有 T1 ? T2 联络点所组成的区域为图中阴影部分(含边界) .
3
[来源:Z§xx§k.Com]

y

2

B A
–4 –3 –2 –1

1

D C O
1 2 3 4

x

–1

…………………………………………………………

……………4 分

–2 –3

(3)① ∵点 M 在 y 轴上,⊙M 上只有一个点为 T1 ? T2 联络点,阴影部分关于 y 轴对称, ∴⊙M 与直线 AC 相切于(0,0), 或与直线 BD 相切于(0,1),如图所示. 又∵⊙M 的半径 r ? 1 , ∴点 M 的坐标为(0, ?1)或(0,2).………………6 分
–4 –3 –2 3 2

y

B A
–1

1

D C O
1 2 3 4

x

–1 –2 –3

经检验:此时⊙M 与 直线 AD,BC 无交点,⊙M 上只有一个点为 T1 ? T2 联络点, 符合题意. ∴点 M 的坐标为(0, ?1)或(0,2).∴点 M 的纵坐标为 ?1或 2. ② 阴影部分关于直线 y ?

1 对称,故不妨设点 M 位于阴影部分下方. 2
3 2

y

∵点 M 在 y 轴上,⊙M 上只有一个点为 T1 ? T2 联络点,
B

阴影部分关于 y 轴对称, ∴⊙M 与直线 AC 相切于 O(0,0),且⊙M 与直线 AD 相离. 作 ME⊥AD 于 E,设 AD 与 BC 的交点为 F,
1 ∴MO=r,ME>r,F(0, ). 2
–4 –3 –2

1

D F O
1

A E
–1 –1 –2 –3

C
2 3 4

x

M

在 Rt△AOF 中,∠AOF=90°,AO=1, OF ? ∴ AF ? AO 2 ? OF 2 ?

1 , 2

5 AO 2 5 ? , sin ?AFO ? . 2 AF 5
2 5 1 sin ?EFM ? sin ?AFO ? , , 5 2

在 Rt△FEM 中, ∠FEM=90°, FM=FO+OM=r+ ∴ ME ? FM ? sin ?EFM ? ∴ ∴
5(2r ? 1) . 5

5(2r ? 1) ? r .又∵ r ? 0 , 5

0 ? r ? 5 ? 2 . ………………………………………………………………………………

……8 分


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