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两道数学联赛题的另解

时间:2015-06-17


2007 年第 12 期

中学数学研究

两 道 数 学 联 赛 题 的 另 解
江西省高安二中 (3 3 0 8 0 )
题 1:(2007 年高中 数学联赛江西省预赛第
2 题 ) 将各位数码不大于 3 的全体正整数 n 按 1

张克勤

自 小到大的顺序排成一个

数列{a , , }, 则 aZ 0: = ) (
简称这种数为“ 好数” , 则一位好数有 3 个 ; 两位好数有 3 K4 = 12 个 ; 三位好数有 3 又 护 = 48 个 ; …, k 位好数有 3 只 4走 个, k = 1, 2,

一 解

为此只须证若 A 是 }1 , 2, …, 49} 的任一个 3 4 元子集, 则必存在 , 2任A , 使得 Zn + 2 任A . 证
明如下 :

将{1, 2, …, 49 {分成如下 3 个集合: {1, 4}, {3 , 8}, {5 , 12}, …, {23 , 48}共 12 个; {2 , 6},
{10 , 22 }, {14 , 30 }, {18 , 38}共 4 个; {25 }, {27 {, {29 {, …, {49 }共 13 个; {26 {, {34 }, {42 {, {46 } 共 4 个 由于 A 是{1, 2, …, 49}的 34 元子集,
从而由抽屉原理可知上述 33 个集合 中至少有

4关 , … 记 凡, = 3全 因 5 5< 2007< 5 6 , 2007 一
= 1

个好数为第 984 个六位好 5; = 984 , 即第 2007 数 首位为 1 的共有 45= 0 1 24 ; 而六位好数 中, 个 , 前两位为 1() , 11, 12 , 13 的各有 44= 256 个,
因此第 2007 个好数的前两位数是 1 3 , 且是前 而 两位数为 1 3 的第 9 8 4 一3 x 2 5 6= 2 1 6 个数 ; 的 前三位数 130 , 13 1 , 3 2 的各 64 个, 1 则 aZ 07 ) ( 前三位为 1 3 3, 且是前三位数为 1 3 3 的第 2 1 6一 3火 64 = 24 个数 ; 而前四位为 1 3 30 , 133 1, 1332且 , 是前四位数为 133 1 的第 24 一16 = 8 个数 ;

一个 2 元集合中的数均属于 A , 即存在 n 任A , 使得 2 , 2+ 2 任A . 如取 A = {1 , 3, 5, …, 23 , 2, 10 , 14 , 18 , 25 , 27 , 29 , …, 49 , 26 , 34 , 42 , 46{, B = {2 二 + 2 1;: 任 A {, 则A , 召满足题设且 }A U 召}= 66. 以上命题者提供的解法是先提出结论再论 证, 用集合的划分和抽屉原理求解, 思维的跳跃
性比较大, 给人一种很突然的感觉.

133 3 的 各1 6 个, 则a2 0 : 的前四位为 1 33 1 , 则

另解: 根据题意, }A }= }召}, A 自B = 中,
“ 若, , 任A 时总有 Zn + 2 任召 ” , 则 B 中的元素 一定为偶数, 要使 A 的元素个数最多, 首先 A 的元素最大限度地取奇数, 2 二+ 2毛 1 0 0, , , 镇 49 , 有 25 个 . 如表一:
续表一 :
八 ]J 27 56 29 60 3l 64

aZ 即 7的前五位为 13 3 11, 且是前四 位数为 1331 1 的第8 一 4= 4 个数, 则 aZ , , : = 133113
以上命题者提供 的解法条理清晰, 但分类 繁多, 运算量大 . 分析: 由数字 0 , ,2 , 1 3 组成的全体正整数 7 , , 按从小到大的顺序排列, 第 2007 个数是多 少? 等价于将 2007 化成四进制数, 这个四进制 数就是数列的第 2007 个数.

3 3一 }35
68 72

37 76

39 80

41 84

43 88

45 92

47 96


1《 )0

另 解: 丫 2007 = 1 又 45+ 3 火 44 、 3火 43+ 1 K42+ l x 4 十 一 3, 即2007= (133113)4, ’ aZ 、 、 , :=
133 113 .

体偶数, 作为 A 的元素. 如表二:
A 月 2 6 6 l4

再考虑在 刀中没有出现的不大于 48 的全
) 14 } 18 { l
22 26 3O

34 1 }3 8

42

46

另解巧用 四进制数, 解法简洁.

题 2: (2007 年全国高中数学联赛一试第6
题) 已知 A 与召是集合 {1 , 2, 3, …, 0 叫 的两个 1 子集, 满足: A 与拐的元素个数相同, 且 A 自月

{78 8 6 9 4 一 丽}3 5 4 6 5 4 6 2 70 1 表二中元素 6 , 14 , 22 , 30 , 38 , 46 在 A 、 1 3 中重复出现再作调整. 如表三 : . 引 2 4 4 6 一 一 _ 组 全_ 牡 世坦创 二一 引 6 竺 8
22



刀 一6

1 22 一 30 一 3

为空集. 若 , , 呀A 时总有2 , , 十 3 呀召, 则集合 A 口召的元素个 最多为( ).
A . 62 召. 6 6 C . 68
1) . 7 4

由 表一、 表三可得 A

,乙 9 4 {1, 3, 5, …,


解 : 先证 }A 日召{镇6 , 只须证 }川 簇 3 ,
5 ()

13 = {2 , ; * 2 }, , 10 , 14 , 18 , 26 , 34 , 42 , 46 }, A {, 则 }八日1; 1二 66 , 选 刀. 另解边推理边求出满足条件的元素个 最 ‘ 多的集合 A , 解法 自然流畅.


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