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§18.4.1直线与圆锥曲线相交问题


§18 圆锥曲线
4.1直线与圆锥曲线相交问题

?直线与圆有几种位置关系?
直线与其他 圆锥曲线的 位置关系会 怎样?

相离 相切 相交 ?直线与圆位置通过什么判断? 代数法:通过公共点的个数判断; 几何法:通过圆心到直线的距离与半径的关系判断. ?如果给定直线和圆的方程,怎样判断公共点个数? 先联立方程组,再消元

得一元二次方程 △= 0 △>0 △<0 一个交点 两个交点 没有交点 相交 相离 相切

猜测:椭圆与直线的位置关系有哪些?
y y y

几何法? 代数法?

O

x

O

x

O

x

相离

相切

相交

?如果给定直线和椭圆方程,怎样判断公共点个数? 先联立方程组,再消元得一元二次方程 △= 0 △>0 △<0 一个交点 两个交点 没有交点 相交 相离 相切

猜测:双曲线与直线的位置关系有哪些?
y y y

O

x

O

x

O

x

相交 相切 相离 ?如果给定直线和双曲线方程,怎样判断公共点个数? 先联立方程组, 若消元得一元一次方程,则相交; 若消元得一元二次方程, △= 0 △>0 △<0 一个交点 两个交点 没有交点 相交 相离 相切

猜测:抛物线与直线的位置关系有哪些?
y O O y x O y

x

x

相交 相切 相离 ?如果给定直线和抛物线方程,怎样判断公共点个数? 先联立方程组, 若消元得一元一次方程, 则相交; 若消元得一元二次方程, △= 0 △>0 △<0 一个交点 两个交点 没有交点 相交 相离 相切

x2 y 2 ? 1有公共点, 直线 y=x+1与椭圆 ? 5 m 求m的取值范围. ? y ? x ?1 解: 由方程组 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? ?5 m 消去 y,并整理得 (5 ? m) x2 ? 10x ? (5 ? 5m) ? 0

∵直线与椭圆有公共点, ∴△≥0, 即m2 ? 4m≥0,解之,m≤? 4或m≥0, 考虑到m>0且m ? 5, 故m的取值范围是m>0且m ? 5.

x2 直线 y=x+m与双曲线 ? y 2 ? 1 相切,求m的值. 4

3 求直线 y ? x ? 被抛物线 x2 ? 2 y 截得的弦长. 2 解: 设直线与抛物线交点为A(x1, y1),B(x2, y2).
3 ? ?y ? x ? 由方程组 ? 2 ? x2 ? 2 y ? 1 9 ? A(?1, ), B(3, ) 2 2
2

? x1 ? ?1 解得 ? ? 1 ? y1 ? 2 ?

? x2 ? 3 ? ? 9 ? y2 ? 2 ?

1 9 2 ? AB ? (?1 ? 3) ? ( ? ) ? 4 2 2 2

你有几 个办法?

y2 求直线 y ? x ? 1 被椭圆 ? x 2 ? 1截得的弦的中点坐标. 4

若抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? m 和直线 y ? 2 x 相交于不同的 两点A、B,求m的取值范围和弦AB的长. ? y ? ? x2 ? 2x ? m 由方程组 ? 解: ? y ? 2x 消去 y,得 x2 ? 4 x ? m ? 0 由△>0,得 16 ? 4m>0, 解得 m> ? 4. 设A(x1, y1),B(x2, y2),则 x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? ?m.
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 5( x1 ? x2 ) 2 ? 5[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 5m ? 20.

一般地,弦长公式为:d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 . 其中k为直线斜率,x1、x2为直线与曲线的交点.

若抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? m 和直线 y ? 2 x 相交于不同的 两点A、B,求m的取值范围和弦AB的长. ? y ? ? x2 ? 2x ? m 由方程组 ? 解: ? y ? 2x 消去 y,得 x2 ? 4 x ? m ? 0 由△>0,得 16 ? 4m>0, 解得 m> ? 4. 设A(x1, y1),B(x2, y2),则 x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? ?m.
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 5( x1 ? x2 ) 2 ? 5[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 5m ? 20.

△ 弦长也可以用公式:d ? 1 ? k . a 其中k为直线斜率,△为所得方程根的判别式.
2

若抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? m 和直线 y ? 2 x 相交于不同的 两点A、B,求m的取值范围和弦AB的长. ? y ? ? x2 ? 2x ? m 由方程组 ? 解: ? y ? 2x 消去 y,得 x2 ? 4 x ? m ? 0 由△>0,得 16 ? 4m>0, 解得 m> ? 4. 设A(x1, y1),B(x2, y2),则 x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? ?m.
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 5( x1 ? x2 ) 2 ? 5[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 5m ? 20.

B,求a的取值范围和弦AB的长.

a 若曲线 y ? 和直线 2 x ? y ? 3 ? 0 相交于不同的两点A、 x

使该点到直线的距离最小?最小距离是多少? y 解: 设直线4x-5y+m=0与椭圆相切, ? x2 y2 ?1 ? ? 由方程组 ? 25 9 O x ? 4x ? 5 y ? m ? 0 ? 消去 y,得 25x2 ? 8mx ? m2 ? 225 ? 0 因为相切,则△=0,解得 m ? ?25. 不求切点 41 坐标行吗? 当m=25时,切点坐标为 (?4, ) 5 4 x0 ? 5 y0 ? 40 15 41 ?d ? ? . 2 2 41 4 ?5 如何求最大距离.

x2 y 2 已知直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,在椭圆 ? ? 1求一点, 25 9

本节课 学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?

何处还需要注意?

指导书 P028 第1、2、3、6、8题


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