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第1章 §4 数列在日常经济生活中的应用


第一章 数 列

§4 数列在日常经济生活中的应用

在当今社会经济日益繁荣,人民生活水平日益提高, 人民对生活设备的要求也提高了,往往需要购置更多 商品,这就要求人们必须懂得合理安排资金,使之得以 充分利用。而当前,随着住房、教育、买车 等贷款业务 逐渐深入家庭。我们经常遇到一些分期付款问题。如何 选择付款方式,关系到个人利益,也是一个

需要运用数 学知识来计 算的复杂过程。做为“热点“的分期付款成为 了一种趋势,在今后,更将被广大人民所接受并应用于 生活中。通过研究调查,了解人 们对分期付款的认识程 度及应用程度,使资源共享更好地应用于人民,使人们 增加对分期付款的了解,并使分期付款更好地服务于人 民。本单元的目的在于让学生通过学习和调查,对分期 付款有进一步认识 ,感受数学在实际生活中应用价值 。

我的同学小华与我一样是高一学生,由 于学习需要,今年春节,他准备花钱买一台 5000元左右的电脑,但他希望不要向父母借 钱,想自己独立购买。并采用分期付款方式 在一年内将款全部付清,向我征求意见。据 了解,苏宁电器允许采用分期付款方式进行 购物,在一年内将款全部付清,该店提供了 如下几种付款方案,以供选择。

2 每 : 期 每 应 月 付 利 款 息 多 按 少 复 , 利 总 计 共 算 应 方案 分几次 每期所 付 款 与一次性 , 付款方法 例如:月利率为 0.8%,款额 a元 付 类别 付清 付款额 总额 付款差额 是 款 指 购买后 4 个月第 1 次付款,再 过 1 个月就增值为 多 上 1 3 次 过 4 个月第 2 次付款,再过 4 少 月 个月第 3 次付款。 a(1+0.008)=1.008a(元) 利 , 息 购买后 2 个月第 1 次付款,再 这 要 2 再过 1个月又增值为:(经过 2个月) 样 6次 过 2 个月第 2 次付款,……购 计 才 买后 12 个月第 6 次付款。 2 入 便 a(1+0.008)=1.008 a(元) 购买后 1 1.008 个月第 1 次付款,过 下 于 3 12 次 1 个月第 2 次付款,……购买 月 比 …… 本 后 12 个月第 12 次付款。 较 经过n个月就增值为: 1.008na(元) 金 注 规定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算。 。 。

顾 说 客 在 明 从 : 表 中 1选 择 : 选 分 择 期 付 付 款 款 方 中 案 规 时 定 , 每 需 期 要 所 知 付 道 款 几 额 相 种 同 方 。 案 中

探究:采用方案 2,每期应付款多少,总共应付款多少。
(法一):各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的 利息之和,等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利 息之和。

第一步: 在商品购买后 1年货款全部付清时,其商品 售价增值到了多少?
由于月利率为0.008,在购买商品后1个月,
该商品售价增值为: 5000(1+0.008)=5000?1.008 (元) 又利息按复利计算,在商品购买后2个月,

商品售价增值为: 5000?1.008?(1+1.008)=5000?1.0082(元) …… 于是,在商品购买后12个月(即货款全部付清时), 商品售价增值为: 5000?1.00811?(1+1.008)=5000?1.00812(元)

第二步: 货款全部付清时,各期所付款额的增值情
况如何? (假定每期付款 x元) 第 6 期付款 x元后,款已全部还清,故这一期所付款没有 利息; 第 5 期付款 x元后,此款只有 2个月的利息, 到款全部付清 时连同利息之和为:1.008x(1+0.008) =1.0082x(元) 类似可以推得,笫 4. 3. 2. 1 期所付的款额到货款全部 付清时的本息和依次为:

1.0084x 元

1.0086x 元

1.0088x 元

1.00810x 元

所以,6期总共所付的款额的本息之和为:

x+1.0082x+ 1.0084x+? + 1.00810x 即:x(1+1.0082+ 1.0084+? + 1.00810)

于是: x(1 ? 1.008 ? 1.008 ? ? ? 1.008 ) ? 5000 ?1.008
2 4 10

12

? ? 12 x ? 1?1.008 ? 5000 ?1.008
1? 1.008
2 6 2

根据等比数列求和公式,得

1.008 ?1 算得 x?880.8 元

x?

5000?1.008 ? 1.008 ?1
12

12

?

2

? ? 880.8

即每次所付款额为880.8元,因此6次所付款额共为:
880.8?6=5 285 (元) 它比一次性付款多付285元。

(法二:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额)
设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则

A2 ? 5000 ? ?1 ? 0.008 ? ? x 2 A4 ? A2 ?1 ? 0.008? ? x
2

[[[[? 5000 ? ?1 ? 0.008? ? ?1.008? x ? x
4 2

A6 ? A4 ?1 ? 0.008 ? ? x
2

[[[[? 5000 ? ?1 ? 0.008 ? ? ?1.008 ? x ? ?1.008? x ? x
6 4 2

??

由题意年底还清,所以 A12 ? 0 解得:

x?

5000 ? ?1.008 ?
2 4

12 10

1 ? ?1.008 ? ? ?1.008 ? ? ? ? ?1.008 ?

[[? 880.8(元)
答:小华每次付款的金额为880.8元.

将所得结果填入表中,并探究方案 1和方案 3。
方案 类别 1 分几次 付清 付款方法 每期所 付 款 与一次性 付款额 总额 付款差额 购买后 4 个月第 1 次付款,再 3 此 过 4 个月第 2 次付款,再过 4 1775.8 5327 元 元 个月第 3 次付款。 购买后 2 个月第 1 次付款,再 6 次 过 2 个月第 2 次付款,……购 880.8 5285 元 元 买后 12 个月第 6 次付款。 购买后 1 个月第 1 次付款, 过1 12 次 个月第 2 次付款,……购买后 438.6 5263 元 12 个月第 12 次付款。 元 规定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算。

327 元

2

285
元 263 元

3 注

根据表中的结果,顾客就可对几种付款方式进行权衡, 然后从中选定一种付款方式。

购买一件售价为 a 元的商品,采用分 期付款时要求在 m 个月内全部付清,月利 率为 p,分 n 次( n 是 m 的约数)付款,那 么每次的付款数为:
m ? ? 1 ? [(a 1?? ) ? ] ? ?1? p ? n ?1?m 1?p p x? 1 ? p) ? m ? ? a( n m 1 ? (1 ? p?) 1? p ? ?1
m nm n

x?

最近由于朝阳洲中路进行拆迁, 某户人家准备购买新房。他想从银 行贷款。按照规定:政策性住房贷 款的年利率为9.6%,最长年限为10 年,他可以分期付款。这位户主根 据自己的实际情况估计每年最多可 以偿还5000元,打算平均10年还清, 如果银行贷款按复利计算,那么他 最大限额的贷款是多少?

这与之前研究买电脑的问 题有什么联系亦是区别?

通过比较我们很容易发现它与买电脑有许多相似点,因此我们 便可利用之前推导的公式:

x?

1 ? [(1 ? p ) ] 1 ? (1 ? p )
m n

m n

n

? a (1 ? p )

m

每次的付款数为 X 元,采用分期付款时要求在 m 年内全部付清,年利率为 p,分 n 次( n 是 m 的约数) 付款,那么为最大限额的贷款a =31258元

由此观之,分期付款在现 实生活中广泛存在。它满足了 人们的购物欲望,使高消费成 为可能,同时也给资金周转提 供了便利。因此,掌握好分期 付款对于我们处理好现实问题 有极大帮助。


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