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2006年上海市高中数学竞赛试卷含参考答案

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2006 年上海市高中数学竞赛试卷 题 号 (2006 年 3 月 26 日 一 1~8 得 分 评 卷 复 核 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1 .设 x , y , z 是正实数,满足 xy ? z ? ( x ? z )( y ? z ) ,则 xyz 的最大值 是 . 2.设从正

整数 k 开始的 201 个连续正整数中,前 101 个正整数的平方和等 于后 100 个正整数的平方和,则 k 的值为 3. 设 n (n ? 2 ) 是给定的整数, x1 , x2 , . 9 星期日 上午 8:30~10:30) 二 10 11 12 总分 则 sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? , xn 是实数, ? sin xn cos x1 的最大值是 . 4.在△ABC 中,已知 ?A ? 30?, ?B ? 105? ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE, 与边 AB 或者 BC 相交于点 E, 使得 ?CDE ? 60? , 且 DE 将△ABC 的面积两等分, ? CD ? 则? ? ? ? AC ? 2 . 5.对于任意实数 a,b,不等式 max ? a ? b , a ? b , 2006 ? b ? ? C 恒成立,则 常数 C 的最大值是 6. 设 f( x) ? x 2? a x b ? c o x s . (注:max ? x, y, z ? 表示 x, y, z 中的最大者. ) , ? x f ( x) ? 0, x ? R? ? ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R? ? ? , . 则满足条件的所有实数 a,b 的值分别为 n 平方米,p 平方米,则它的体积为 8.已知函数 f : R ? →R 满足:对任意 x, y ? R ? ,都有 7.在直三棱柱中,已知底面积为 s 平方米,三个侧面面积分别为 m 平方米, 立方米. ?1 1 ? f ( x) f ( y) ? f ( xy) ? 2006 ? ? ? 2005 ? , ?x y ? 则所有满足条件的函数 f 为 二、解答题 9.(本题满分 14 分) 已知抛物线 y . y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F,一条过焦 点 F,倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 的直线交抛 物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标原 点),交准线于点 B? ,连接 BO,交准线 于点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积. O F x 10.(本题满分 14 分) 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, ? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? ? 2 an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? ? an ?1 已知 an ? 30 ,求正整数 n. 19 11.(本题满分 16 分) 对一个边长互不相等的凸 n (n ? 3) 边形的边染色, 每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜 色.问:共有多少种不同的染色方法? … … … … … 密 封 线 … … … … … 12.(本题满分 16 分) 设 a, b ? [0, 1] ,求 S ? 的最大值和最小值. a b ? ? (1 ? a)(1 ? b) 1? b 1? a 2006 年上海市高中数学竞赛答案 一、填空题(本题满分 60 分

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