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吉林省东北师范大学附属高中数学人教A版必修一学案:1.3.1函数的单调性

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1.3.1 函数的单调性
学习目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法.

1.单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I?A. 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1,x2 当 x1<x2 时, 都有__________,那么就说 y=f(x) 在区间 I 上是单调______,I 称为 y=f(x)的单调_

_______. 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 y=f(x) 在区间 I 上是单调________,I 称为 y=f(x)的单调________. 2.a>0 时,二次函数 y=ax2 的单调增区间为________. 3.k>0 时,y=kx+b 在 R 上是____函数. 1 4.函数 y= 的单调递减区间为__________. x

一、填空题

1.定义在 R 上的函数 y=f(x+1)的图象如右图所示. 给出如下命题:①f(0)=1; ②f(-1)=1;③若 x>0,则 f(x)<0;④若 x<0,则 f(x)>0,其中正确的是________.(填 序号) 2. 若(a, b)是函数 y=f(x)的单调增区间, x1, x2∈(a, b), 且 x1<x2, 则 f(x1)________f(x2). (填 “>”、“<”或“=”) 3. f(x)在区间[a, b]上单调, 且 f(a)· f(b)<0, 则方程 f(x)=0 在区间[a, b]上________. (填 序号) ①至少有一个根;②至多有一个根;③无实根;④必有唯一的实根. 4.函数 y=x2-6x+10 的单调增区间是________. 5.如果函数 f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的 x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结 论中正确的是______________________________________. f?x1?-f?x2? ① >0; x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ③f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b); x1-x2 ④ >0. f?x1?-f?x2? 6.函数 y= x2+2x-3的单调递减区间为________.

7. 设函数 f(x)是 R 上的减函数, 若 f(m-1)>f(2m-1), 则实数 m 的取值范围是________. 2 8.函数 f(x)=2x -mx+3,当 x∈[2,+∞)时是增函数,当 x∈(-∞,2]时是减函数, 则 f(1)=________. 二、解答题 9.画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,并指出函数的单调区间.

10.已知 f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且 a<g(x)<b, 求证:f(g(x))在(a,b)上也是增函数.

11.已知 f(x)= x2-1,试判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.

能力提升 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n 总有 f(m+n)=f(m)· f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1. (1)试求 f(0)的值;

(2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论.

1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函 数的定义域. 1 2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数 f(x)= 在(-∞,0)和(0, x 1 +∞)上都是减函数,但不能说函数 f(x)= 在定义域上是减函数. x 3.求单调区间的方法:(1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性. 4.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤: 即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤. 若 f(x)>0,则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决,即“取值——作比变形 ——与 1 比较——判断”.


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