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《对数函数》复习教学课件


1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式 能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了

解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性, 掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反

函数(a>0,且a≠1).

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1.对数的概念 (1)对数的定义. 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对

数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫
做真数.

(2)几种常见对数.
对数形式 一般对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 记法 logax

常用对数
自然对数

底数为 10
底数为 e

lgx
lnx

2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质: ①alogaN= N ; ②logaaN= N (a>0且a≠1). (2)对数的重要公式: logab= ①换底公式: 大 于零且不等于1); ②logab= ,推广logab· logbc· logcd= logad .

(c>0,且c≠1)

(a,b均

(3)对数的运算法则: 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)= logaM+logaN ; ②loga = logaM-logaN ;

③logaMn= nlogaM (n∈R); ④logamMn= logaM.

3.对数函数的图象与性质 y=logax 图 象 a> 1 0<a<1



(1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)恒过定点 (1,0) ,即x= 1 时,y= 0 y> 0 y< 0 (4) 当 x > 1 时, (4) 当 x > 1 时, 质 y< 0 y> 0 当0<x<1时, 当0<x<1时,
(5)是(0,+∞)上的 增函数 (5)是(0,+∞)上的 减函数

[思考探究]

如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系?

提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横 坐标即为它们相应的底数.∴0<c<d<1<a<b.

4.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 y=logax互 为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.

1.对于a>0且a≠1,下列结论正确的是 ①若M=N,则logaM=logaN; ②若logaM=logaN,则M=N; ③若logaM2=logaN2,则M=N;

(

)

④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①③ C.② B.②④ D.①②④

解析:当M=N=0时,①、④均错误;当M=2,
N=- 2时,排除③. 答案:C

2.已知a=log2 c=log2

+log2

,b=

log25, ( )

- log2

,则

A.a<b<c
C.b<c<a

B.b<a<c
D.a<c<b

解析:a=log2
B= c=log2 ∴c>a>b. 答案:B

+log2


=log2



log25=log2 -log2

=log2

=log2

. .

∵函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,且

3.若函数y=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过两点(-1,0)

和(0,1),则
A.a=2,b=2 C.a=2,b=1 B.a= D.a= ,b=2 ,b=

(

)

解析:由条件可知


∴a=b=2.
答案:A

4.已知loga(3a-1)有意义,那么实数a的取值范围是

.

解析:要使loga(3a-1)有意义,则
∴ a> 且a≠1.

答案:a>

且a≠1

5.2lg

+log25· lg2=

.
· lg2

解析:2lg

+log25·lg2=lg2+

=lg2+lg5=1. 答案:1

对数的化简与求值的基本思路 1.利用换底公式及logamNn= 的和、差、积、商运算; 2.利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转 化为对数真数的积、商、幂再运算; logaN,尽量地转化为同底

3.利用约分、合并同类项,尽量求出具体值.

[特别警示] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子

中所有的对数符号有意义的前提下才成立.
(1)计算:

2(lg

)2+lg

· lg5+



(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值; (3)已知2lg =lgx+lgy,求log(3-
)

.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)原式=lg

(2lg

+lg5)+

=lg
=lg

(lg2+lg5)+|lg
+(1-lg )=1.

-1|

(2)法一:∵loga2=m,∴am=2. ∵loga3=n,∴an=3. 故a2m+n=(am)2· an=4×3=12.

法二:∵loga2=m,loga3=n,
∴a2m+n=a2loga2+loga3=aloga12=12.

(3)由已知得lg(

)2=lgxy,

∴(
∴( ∴ ∵

)2=xy,即x2-6xy+y2=0.
)2-6 =3± +1=0. .



>1,∴
)

=3+2
=log(3-

.
)(3+

∴log(3-

)

=log(3-

)

=-1.

在解决形如y=logaf(x)的定义域、值域问题时,应转化

为求f(x)>0的解集以及f(x)的值域问题,然后利用对数函数
的相关性质解决.

已知函数f(x)=log

(x2-2ax+3),

(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的定义域为R值域为R,求实数a的取值范围.

[思路点拨]

[课堂笔记] 设u=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2. (1)因为u>0,对x∈R恒成立,所以umin=3-a2>0.解得



< a<


, ). 或a≥ .所以

所以实数a的取值范围是(-

(2)函数f(x)的值域为R等价于u=x2-2ax+3能取遍(0,+∞) 上的一切值,所以只要umin=3-a2≤0?a≤- 实数a的取值范围是(-∞- ]∪[ ,+∞).

保持例2中的函数不变, (1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实 数a的值;

(2)若函数f(x)的定义域为R值域为(-∞,-1],求实数
a的值.

解:(1)由题意得不等式x2-2ax+3>0的解集为(-∞,1) ∪(3,+∞),即1,3是方程x2-2ax+3=0的两根, 所以 解得a=2.所以a的值是2. (2)由对数函数的性质知u=x2-2ax+3的值域是[2,+∞),因 为u=x2-2ax+3的值域为[3-a2,+∞),

所以3-a2=2,a=±1,即实数a的值为±1.

1.对数函数的性质是每年高考必考内容之一,其中单调 性和对数函数的定义域是热点问题.单调性取决于底 数与“1”的大小关系. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问 题,其基本方法是“同底法”. 即把不同底的对数式化

为同底的对数式,然后根据单调性来解决.

3.与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)确定定义域; (2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将 复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数, 若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.

(1)对于0<a<1,给出下列四个不等式:
①loga(1+a)<loga(1+ );

②loga(1+a)>loga(1+
③a1+a< ④a1+a> A.①与③ ;

);

,其中成立的是 B.①与④

(

)

C.②与③

D.②与④

(2)已知函数f(x)=loga(3-ax). ①当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; ②是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减 函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不 存在,请说明理由.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)∵0<a<1,

∴ a<

,1+a<1+


),a1+a> ,

∴loga(1+a)>loga(1+ 即②④正确. [答案] D

(2)①由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,a>0且a≠1,

∵a>0,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,
从而g(2)=3-2a>0,∴a< ,

∴a的取值范围为(0,1)∪(1,

).

②假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1, 即loga(3-a)=1,∴a= 此时f(x)=log (3- ,

x),

当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.

对数函数和指数函数是高考的常考内容,多考查 指数与对数的互化、指数函数与对数函数图象、比较 大小、分段函数求值问题,09年辽宁高考试题将指数 函数、

对数函数与方程相结合,考查函数图象在求方程 根中的应用以及数形结合思想,是高考命题的一 个新方向.

[考题印证] (辽宁高考)若x1满足2x+2x=5,x2满足

2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=
A. C. 【解析】 B.3 D.4

(

)

由2x+2x=5得2x=5-2x,作出草图,数形 ;由2x+2log2(x-1)=5得log2(x-1)= .所以3<x1+x2<4,结合选项

结合可知1<x1<

-x,同理可知2<x2<

可知选C.

[自主体验] 不等式x2-logax<0在(0, )上恒成立,则a的取值

范围是
A. ≤a< 1 B. < a< 1

(

)

C.0<a≤

D.0<a<

解析:由题意可知,x2<logax,x∈(0,

)恒成立.

当a>1时,logax<0,显然不成立;当0<a<1时, 借助函数图象可知loga ∴a ≥( ∴ )4= ≤a<1. ≥ ,即 ≤

答案:A

1.(湖南高考)若log2a<0,( A.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0

)b>1,,则 ( B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0

)

解析:由log2a<0?0<a<1,由( 答案:D

)b>1?b<0.

2.设f(x)=lg(

+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取

值范围是
A.(-1,0) C.(-∞,0) 解析:∵f(x)为奇函数, B.(0,1)

(
D.(-∞,0)∪(1,+∞)

)

∴f(-x)=-f(x)即lg(

ax ? a ? 2 1? x ∴lg( )=lg( ), 1? x 2 ? a ? ax ∴ ax ? a ? 2 ? 1 ? x 1? x 2 ? a ? ax

+a)=-lg(

+a),

∴4+4a+a2-a2x2=1-x2,

2 ? ? 4 ? 4a ? a ? 1 ∴? 2 ,解得a=-1. ? ?a ? 1

∴f(x)=lg ∴-1<x<0. 答案:A

,由f(x)<0得,0<

<1,

3.函数y=log
A.( C.(-∞,

(x2-5x+6)的单调增区间为
B.(3,+∞) D.(-∞,2)

(

)

,+∞) )

解析:令x2-5x+6>0得x>3或x<2.
又∵y= ∴y= 答案:D x在(0,+∞)为减函数, (x2-5x+6)在(-∞,2)为增函数. u=x2-5x+6在(-∞,2)为减函数,

4.已知f(x)=|log2x|,则f(

)+f(

)=

.

解析:f(
=log2 答案:2

)+f(
-log2

)=|log2
=log24=2.

|+|log2

|

5.已知函数f(x)=

,则使函数f(x)的图象位
.

于直线y=1上方的x的取值范围是

解析:当x≤0时,由3x+1>1,得x+1>0,即x>-1. ∴-1<x≤0. 当x>0时,由log2x>1,得x>2.

∴x的取值范围是{x|-1<x≤0或x>2}
答案:{x|-1<x≤0或x>2}

6.(济南模拟)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函

数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)写出函数g(x)的解析式; (2)求不等式2f(x)+g(x)≥0的解集A; (3)是否存在m∈R+,使不等式f(x)+2g(x)≥logam的解集 恰好是A?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

解:(1)设P(x,y)为y=g(x)图象上任意一点, 则P关于原点的对称点Q(-x,-y)在y=f(x)的图象上,

所以-y=loga(-x+1),即g(x)=-loga(1-x)
(2)由 ?-1<x<1,原不等式可化为

Loga
∵a>1,∴ 即A=[0,1).

≥0,
≥1,且-1<x<1?0≤x<1,

(3)假设存在m∈R+使命题成立,则

由f(x)+2g(x)≥logam,得loga(1+x)≥loga[m(1-x)2].
∵a>1,∴不等式组 的解集恰为

A=[0,1),只需不等式1+x≥m(1-x)2,
即mx2-(2m+1)x+m-1≤0的解集为A=[0,b),且b≥1,

易得m=1即为所求,故存在实数m=1使命题成立.


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