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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 专题六 高考中的概率与统计问题


数学

R B(理)

专题六 高考中的概率与统计问题
第十二章 概 率

考点自测

自我检测 查缺补漏

题号
1 2 3 4 5

答案 C C A

解析

C
3 5
<

br />考点自测

高考题型突破

练出高分

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题型一 求事件的概率

【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进 行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩 均合格方可获得证书,现某人参加这项考试,科目 A 每次 2 考试成绩合格的概率均为 ,科目 B 每次考试成绩合格的 3 1 概率均为 ,假设各次考试成绩合格与否互不影响. 2 (1)求他不需要补考就可获得证书的概率. (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求 他分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率.
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题型一 求事件的概率

【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进 行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩
思维启迪 准确地分析事件类型,正确地运用概率公式,是解决 这类问题的关键. 均合格方可获得证书,现某人参加这项考试,科目 A 每次 解 设“科目 A 第一次考试合格 ”为事件 A1,“科目 A 补考合 2 考试成绩合格的概率均为 ,科目 B 每次考试成绩合格的 3 格”为事件 A2,“科目 B 第一次考试合格”为事件 B1,“科目 1 概率均为 ,假设各次考试成绩合格与否互不影响. B 补考合格 2 ”为事件 B2,则 A1,A2,B1,B2 相互独立.

(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率. (1) 设“不需要补考就可获得证书”为事件 M, (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求 2 1 1 他分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率.
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则 P(M)=P(A1B1)=P(A1)P(B1)=3×2=3.

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题型一 求事件的概率

【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进 行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩 均合格方可获得证书,现某人参加这项考试,科目 A 每次 2 1 1 1 4 2 =P(A1)P(B1)+P( A1 )P( A2 )= ×2+3B ×每次考试成绩合格的 =9, 考试成绩合格的概率均为 ,科目 3 3 3 1 P(C)=P(A,假设各次考试成绩合格与否互不影响. 概率均为 1 B1 B2+A1 B1 B2 + A1 A2B1) 2 (1) 求他不需要补考就可获得证书的概率. = P(A1)P( B1 )P(B2)+P(A1)P( B1 )P( B2 )+P( A1 )P(A2)· P(B1) (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求 2 1 1 2 1 1 1 2 1 4
3 2 2 2 3 次、 2 3 2 次、 3 4 3 次考试的概率. 2 9 他分别参加
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(2)设“参加考试次数为 2 次、3 次、4 次”

分别为事件 E,C,D.则 P(E)=P(A1B1+ A1 A2 )

= × × + × × + × × = ,

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题型一 求事件的概率

【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进 行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩 均合格方可获得证书,现某人参加这项考试,科目 A 每次 2 考试成绩合格的概率均为 B =P( A1 )P(A2)P( B1 )P(B2)+3 P,科目 ( A1 )P(A2 )P每次考试成绩合格的 ( B1 )P( B2 ) 1 概率均为 1 2 2 1,假设各次考试成绩合格与否互不影响. 1 1 2 1 1 1 = × × × + × × × = . (1)求他不需要补考就可获得证书的概率.
4 4 1 (2) 在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求 (另解:P(D)=1-P(E∪C)=1-P(E)-P(C)=1- - = ).

P(D)=P( A1 A2 B1 B2+ A1 A2 B1 B2 )

3 3 2 2 3 3 2 2 9

他分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率.
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9 9 9

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题型一 求事件的概率

【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进 行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩 思维升华 (1)一个复杂事件若正面情况较多, 反面情况较 均合格方可获得证书,现某人参加这项考试,科目 A 每次 少,则一般利用对立事件进行求解.尤其是涉及到 “至 2 考试成绩合格的概率均为 ,科目 B 每次考试成绩合格的 3 多”、“ 至少”等问题时常常用这种方法求解. 1 概率均为 ,假设各次考试成绩合格与否互不影响. 2 (2)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂 (1)求他不需要补考就可获得证书的概率. 事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为 (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求 几个相互独立事件同时发生的积事件, 然后用概率公式求解. 他分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率.
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跟踪训练 1 某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛 两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手 最多有 5 次选题答题的机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题 即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题 1 者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为 (已知 9 甲回答每个问题的正确率相同,并且相互之间没有影响 ). (1)求选手甲回答一个问题的正确率; (2)求选手甲可进入决赛的概率.
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解 (1)设选手甲答对一个问题的正确率为 P1,
2

1 则(1-P1) =9,

2 故选手甲答对一个问题的正确率 P1=3.

23 8 (2)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为(3) =27;

选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为
选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为

2 2 212 C3( ) ··=

8 3 3 3 27;
3 3 3 81

16 2 2 2 1 22 C4( ) · ( ) ·= .

8 8 16 64 ∴选手甲可以进入决赛的概率 P=27+27+81=81.
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题型二 求离散型随机变量的均值与方差

【例 2】 李先生家在 H 小区,他在 C 科 技园区工作, 从家开车到公司上班有 L1, L2 两条路线(如图), 路线 L1 上有 A1, A2, 1 A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线 L2 上有 B1, 2 3 3 B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5 (1)若走路线 L1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求, 请你帮助李先生 分析上述两条路线中, 选择哪条路线上班更好些, 并说明理由.
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题型二 求离散型随机变量的均值与方差

【例 2】 李先生家在 H 小区,他在 C 科 技园区工作, 从家开车到公司上班有 L1, L 路线 L1 上有 A1, A2, 思维启迪 走 L) 或 L2 遇到红灯的次数都是独立重复试验问 2 两条路线(如图 1, 1 A 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线 L2 上有 B1, 3 题,可结合二项分布求其概率,选何条路线是要利用均值 2 3 3 的大小判定.注意三个转化: B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5 (1) 若走路线 L1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (1) 转化为 P +P 的值;
3(1) 3(0)

(2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望;

(2) X 可取 0,1,2 转化为独立事件的积事件的概率; (3) 按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求, 请你帮助李先生
分析上述两条路线中, 选择哪条路线上班更好些, 并说明理由.

(3)转化为比较 E(X)、E(Y)的大小.
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题型二 求离散型随机变量的均值与方差

【例 2】 李先生家在 H 小区,他在 C 科 技园区工作, 从家开车到公司上班有 L1,

解 (1)设“ L1 最多遇到 L (走路线 如图), 路线 L1 上有 1 A次红灯 A2,”为事件 A, 2 两条路线 1, 1 ?1? ? 1? 1 1 A 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线 L2 上有 B1, 3 P(A)=C0×? ?3+C1× ×? ?2= . 则 2 3 3 2 ? 2? 2 ?2? 3 3 B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 1 4,5. 所以走路线 L1 最多遇到 1 次红灯的概率为2. (1)若走路线 L1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (2)依题意,知 X 的可能取值为 0,1,2. (2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望;
? (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求, 请你帮助李先生 3? ? 3? 1 P(X=0)=?1-4?×?1-5?=10, ? ? ? ? 分析上述两条路线中, 选择哪条路线上班更好些, 并说明理由.

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题型二 求离散型随机变量的均值与方差

【例 2】 李先生家在 H 小区,他在 C 科 技园区工作, 从家开车到公司上班有 L1, ? ? ? 3 3? 3A , 3 9 , L2P 两条路线 ( 如图 ) , 路线 L 上有 1 ?× = 1 A, 2 (X=1)=4×?1-5?+?1- 4 5 20 ? ? ? ? 1 A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线 L2 上有 B1, 2 3 3 9 3 3 P(X=2)=4×5=20. B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5 随机变量 XL 的分布列为 (1) 若走路线 1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; X 0 1 2 (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求, 请你帮助李先生 1 9 9 P 分析上述两条路线中, 选择哪条路线上班更好些, 并说明理由. 10 20 20
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题型二 求离散型随机变量的均值与方差

【例 2】 李先生家在 H 小区,他在 C 科 技园区工作, 从家开车到公司上班有 L1, 1 ), 9 L 上有 9 A, 27 L所以 两条路线 ( 如图 路线 A 2 1+ 1 = 2, E(X)=10×0+20×1 × 2 20 20. 1 A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线 L2 上有 B1, 2 (3)设选择路线 L1 遇到红灯的次数为 Y, 随机变量 3 3 Y 服从二项分 B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5 ? 1? 1 3 ?3 ? (1) 若走路线 L ,求最多遇到 1 次红灯的概率; , 布,即 Y~B ,所以 E ( Y ) = 3 × =2. 1 2 2 ? ? (2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (3) 按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求, 因为 E(X)<E(Y),所以选择路线 L2 上班更好.请你帮助李先生 分析上述两条路线中, 选择哪条路线上班更好些, 并说明理由.
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题型二 求离散型随机变量的均值与方差

【例 2】 李先生家在 H 小区,他在 C 科 技园区工作, 从家开车到公司上班有 L1, L2 两条路线注意此题中独立重复试验与独立事件的区别,如 (如图), 路线 L1 上有 A1, A2, 思维升华 1 A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线 L2 上有 B1, 2 走 L1 是独立重复试验,而走 L2 是一般地独立事件问题,不可 3 3 B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5 按二项分布求均值.

解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题,正确理
(2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望;

(1)若走路线 L1,求最多遇到 1 次红灯的概率;

解随机变量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生 (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求, 请你帮助李先生
分析上述两条路线中, 选择哪条路线上班更好些, 并说明理由. 的概率.
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跟踪训练 2 (2012· 福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,

企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某 轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年.现从该 厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 首次出现故障 时间 x(年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 甲 0<x≤1 1<x≤2 2 1 3 2 乙 x>2 0<x≤2 45 3 5 1.8 x>2 45 2.9

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将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现 故障发生在保修期内的概率. (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利 润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制, 只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑, 你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.
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解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 则 2+3 1 P(A)= = . 50 10

(2)依题意得,X1 的分布列为

X1 P

1 1 25

2 3 50

3 9 10

X2 的分布列为

1.8 2.9 1 9 P 10 10 1 3 9 143 (3)由(2)得 E(X1)=1×25+2×50+3×10= 50 =2.86(万元), 1 9 E(X2)=1.8× +2.9× =2.79(万元). 10 10
因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.
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X2

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题型三 概率与统计的综合应用 【例 3】 (2013· 课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品, 在一个销售季
度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏 损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农 产品.以 X(单位: t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场 需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

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题型三 概率与统计的综合应用

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3) 在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该 思维启迪 利润 T 是由两部分构成的,一个是获得 组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区

利润,另一个是亏损,是否亏损与 x 的取值范围有 间中点值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X= 关,因此,T 关于 x 的函数要用分段函数表示. 105, 且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率). 求
T 的数学期望.
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题型三 概率与统计的综合应用

(1)将 T 表示为 X 的函数;
解根据直方图估计利润 (1)当 X∈[100,130)时, (2) T 不少于 57 000 元的概率;
T= 500X-300(130-X)=800X-39 000. (3) 在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该

当 X∈[130,150] 时,T=500×130=65 000. 组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区
? 间中点值的概率 例如:若需求量 X ∈[100,110),则取 X= 39 000,100≤X<130 , ?800X-(

000 ,130≤X≤150. ?65 105, 且 X= 105 的概率等于需求量落入 [100,110)的频率). 求
?

所以 T=?

由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. T(2) 的数学期望.
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题型三 概率与统计的综合应用

(1)将 T 表示为 X 的函数;

由直方图知需求量 X∈[120,150] 的频率为 0.7, 所以下一个销售 (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; 季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各 (3)依题意可得 T 的分布列为 个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概 T 45 000 53 000 61 000 65 000

P 0.1 X∈[100,110) 0.2 0.3 X= 0.4 率(例如:若需求量 ,则取 105,且 X=105 的概
率等于需求量落入 [100,110) ).求 T61 的数学期望. 所以 E(T)=45 000 ×0.1+的频率 53 000× 0.2+ 000×0.3+65 000

×0.4=59 400.
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题型三 概率与统计的综合应用

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体, 已

成为近几年高考的一大亮点和热点. 它与其他知识融合、 渗透, (3) 在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各 情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.统计以 个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概 考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主,概 率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概 率以考查概率计算为主,往往和实际问题相结合,要注意理解 率等于需求量落入[100,110)的频率).求 T 的数学期望. 实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来,只有这样 才能有效地解决问题.
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跟踪训练 3 以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学的植树棵 数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这 两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望. 1 2 (注:方差 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数)
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解 (1) 当 X = 8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是

8+8+9+10 35 8,8,9,10,所以平均数 x = = ; 4 4 1 35 2 35 2 35 2 35 2 11 2 方差 s = [(8- ) +(8- ) +(9- ) +(10- ) ]= . 4 4 4 4 4 16
(2)当 X=9 时, 由茎叶图可知, 甲组同学的植树棵数是 9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学,共有 4×4=16(种)可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出 的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所以该事件有 2 2 1 种可能的结果,因此 P(Y=17)= = . 16 8
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1 1 1 1 同理可得 P(Y=18)= ,P(Y=19)= ,P(Y=20)= ,P(Y=21)= . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为 Y P 17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8

1 1 1 1 1 E(Y)=17× +18× +19× +20× +21× =19. 8 4 4 4 8

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1.(2013· 广东)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某 日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为 个位数.

(1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎 叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人 的概率.
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17+19+20+21+25+30 132 (1)样本平均值为 = =22. 6 6

2 1 (2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为6=3,
1 故推断该车间 12 名工人中有 12×3=4 名优秀工人.

(3)设事件 A:“从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名
1 1 C4 C8 16 优秀工人”,则 P(A)= 2 = . C12 33

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2. 在 10 件产品中, 有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品. 从 这 10 件产品中任取 3 件,求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

3 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C10 ,从 10

件产品中任取 3 件,
3-k 其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck C 3 7 (k=0,1,2,3),那么从

10 件产品中任取 3 件,
k 3-k C3 C7 其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10

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2. 在 10 件产品中, 有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品. 从 这 10 件产品中任取 3 件,求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120

7 21 7 1 9 X 的数学期望 E(X)=0×24+1×40+2×40+3×120=10.
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2. 在 10 件产品中, 有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品. 从 这 10 件产品中任取 3 件,求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事 件 A, “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1, “恰 好取出 2 件一等品”为事件 A2,“恰好取出 3 件一等品”为 事件 A3,由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3,
2 C1 C 3 7 3 3 而 P(A1)= C3 =40.P(A2)=P(X=2)=40. 10

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2. 在 10 件产品中, 有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品. 从 这 10 件产品中任取 3 件,求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

1 P(A3)=P(X=3)=120,
所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 3 7 1 31 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=40+40+120=120.
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3.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照 规则,甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作 答,然后由乙回答剩余 3 题,每人答对其中 2 题就停 止答题,即闯关成功.已知在 6 道备选题中,甲能答 2 对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是 . 3 (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为 ξ,求 ξ 的分布列.
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1 2 C4 C2 4 1 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A,B,则 P( A )= 3 = = , C6 20 5

23 2221 1 2 7 2 P( B )=(1-3) +C3(1-3) (3) =27+9=27,

则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1 7 128 1-P( A B )=1-P( A )P( B )=1-5×27=135.
(2)由题意知 ξ 的可能取值是 1,2.
2 C1 1 4C2 P(ξ=1)= C3 =5, 6 1 3 C2 4 4C2+C4 P(ξ=2)= C3 =5, 6

则 ξ 的分布列为 ξ P 1 1 5 2 4 5
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4.如图,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位: 吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看做有放回的 抽样),求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望.
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(1)依题意及频率分布直方图知 1×(0.02+0.1+x+0.37

+0.39)=1,解得 x=0.12.
(2)由题意知,X~B(3,0.1).
0 因此 P(X=0)=C3 ×0.93=0.729,

1 P(X=1)=C3 ×0.1×0.92=0.243,

2 P(X=2)=C3 ×0.12×0.9=0.027,
3 P(X=3)=C3 ×0.13=0.001.

故随机变量 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P 0.729 0.243 0.027 0.001 X 的数学期望为 E(X)=3×0.1=0.3.
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5.某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区.设每位申请人只 申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是 等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望. 解 (1)方法一 所有可能的申请方式有 34 种, 恰有 2 人申请
2 A 片区房源的申请方式有 C2 · 2 种, 从而恰有 2 人申请 A 片区 4 2 C2 · 2 8 4 房源的概率为 4 = . 3 27 方法二 设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立

重复试验. 1 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)=3.
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5.某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区.设每位申请人只 申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是 等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式 ? ? ? ? 8 2 1 2 2 2 ? ? ? ? 知, 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2)=C4 3 3 =27. ? ? ? ? 3 1 (2)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又 P(ξ=1)=34=27,
1 3 2 2 2 4 C2 ? C C + C C ?2 -2? 14? 14? 3 2 4 4C2? 3 ? ? P(ξ=2)= = ?或P?ξ=2?= , 4 = 4 3 27? 3 27? ?

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5.某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区.设每位申请人只 申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是 等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.
3 2 1 C2 4? C1 4? 4A3 3C4C2 P(ξ=3)= 34 =9?或P?ξ=3?= 34 =9?. ? ? 综上知,ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 1 14 4 P 27 27 9 1 14 4 65 从而有 E(ξ)=1×27+2×27+3×9=27.

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6.一次考试共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项, 其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选 一个选项,答对得 5 分,不答或答错得零分”.某考生已 确定有 8 道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可 判断两个选项是错误的, 有一道题可以判断一个选项是错 误的, 还有一道题因不理解题意只好乱猜. 请求出该考生: (1)得 60 分的概率; (2)所得分数 ξ 的分布列和数学期望.
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(1)设“可判断两个选项是错误的 ”两道题之一选对为

事件 A, “有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事 件 B,“有一道题不理解题意”选对为事件 C,
1 1 1 ∴P(A)=2,P(B)=3,P(C)=4,

1 1 1 1 1 ∴得 60 分的概率为 P=2×2×3×4=48.

(2)ξ 可能的取值为 40,45,50,55,60.

1 1 2 3 1 P(ξ=40)= × × × = ; 2 2 3 4 8
1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 P(ξ=45)=C2× × × × + × × × + × × × = ;

2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48
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1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 P(ξ=50)= × × × +C2× × × × +C2× × × × 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 1 1 1 1 17 + × × × = ; 2 2 3 4 48 7 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 P(ξ=55)=C2×2×2×3×4+2×2×3×4+2×2×3×4=48; 1 1 1 1 1 P(ξ=60)= × × × = . 2 2 3 4 48 ξ 的分布列为 ξ 40 45 50 55 60 1 17 17 7 1 P(ξ) 8 48 48 48 48

1 17 17 7 1 575 E(ξ)=40× +45× +50× +55× +60× = . 8 48 48 48 48 12
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