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安徽省阜阳市第一中学2013届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题


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安徽省阜阳市第一中学 2013 届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案) 2i 1、复数 的共轭复数为( ) 。 1? i A

?3?i

B

r />?1 ? i

C

?1? i

D

? 2 ? 2i

1 ? 1 则 p 是 q 的( ) 。 x A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要条件 D 既不充分也不必要 3、某几何体的三视图如下,则几何体的表面积为( ) 。

2、实数 x,条件 P: x 2 <x

条件 q:

A 28? 6 5

B

30? 6 5

C

56 ? 12 5

D 60 ? 12 5

4

2 2

3 3

4

4、 A

f ( x) ? 3 cos(?x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 则 f (1) ? (
?3
B 0 C 3 D

)。

?3
b ? c o sA ? c o s B
Da ? b 的范

5、 ?ABC 为锐角三角形,则 a ? sin 则 a 与 b 的大小关系为( ) 。 a?b a?b A B 6、动点 P(a, b) 在区域

A ? sin B
C a?b

x ? y ?2?0 x? y?0

? w ? a ?b1 3 上运动,则 a?

y?0

围(

) 。

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A

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C

(??,?1) ? (3,??)
2 2 3

B (??,?1] ? [3,??)

(?1,3)
11
D 12

D [?1,3] ) 。

7、四面体的五条棱长都是 2,另一条棱长为 1,则四面体的体积为( A B

2

C

11 6

8、已知: f ( x) ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上为减函数,则 a 的取值范围为( A
(0,1)

) 。

B (0,2)

C (1,2)

D (2,??)

9、 [x] 为 x 的整数部分。当 n ? 2 时,则 12 值为( ) 。 A 0 B 1 C 2 D

[1 ?
3

1 22

?

1 32

? ... ?

1 n2

]的

3 2 1 1 2 1 4 2 1 3 10、数列 1 、 1 、 2 、 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 、 4 ……依次排列
到第 a 2010 项属于的范围是( A
1 (0, ) 10

) 。 C

B

1 [ 10 ,1)

[1,10]

D

(10,??)

二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分)。

11、等比数列 {a n } 中,若 a3 a8

3

a13

a9 2 ? 243则 a10

? _____________。
2

12、 过点 P (1,2) 的直线 l , x 轴、 轴正半轴截距分别为 ? 、b , 4a 在 y 则 最小值为____________。 13、如图:矩形 ABCD 中,AB= 若 AB ? AF

? b2

2

BC=2

点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上。
F D C

? 2 则 AE ? BF ? _____________。

E

A

B

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14、函数 15、

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? f ( x) ? 7 x 3 ? 2x ? 1,则不等式 f ( x) ? f ( x - 1) 2 的解集_________。
当0 ?

f ( x) ? [ x](x ? [ x]) , [x] 为 x 的整数部分, g( x) ? x ? 1

x ? 2012

时,

f ( x) ? g ( x) 的解集为___________。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、 (12 分)已知向量 a ? (2 sin x, cos x) (1)求

b ? ( c oxs2 c o x) , s

f ( x) ? a ? b 并求 f (x) 的单调递增区间。

(2) c ? (2,1) , a ? b 与 若 且

c

共线,x 为第二象限角,求 (a ? b) ? c 的值。

17、 (12 分)函数

f (x) 为奇函数,且在 [?1,1] 上为增函数, f (?1) ? ?1

,若

f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ? [?1,1]、a ? [?1,1] 都成立,求 t

的取值范围。

18、 (12 分)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 M、N 分别为线段 A1 B、A1C1 的中点, 平面 A1 BC ? 侧面 A1 ABB1 (1)求证:MN//平面 BCC1 B1 (2)证明:BC ? 平面 AA1 B1 B

19、 (12 分)若

a ? 1 ? b ? 2 ? 5 ,证明: a ? b ?

19 2

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20、 (13 分)设

f ( x) ? ln(x ? 1)
1 2

( x ? ?1)

(1)讨论函数 g ( x) ? af ( x) ?

x2

(a ? 0) 的单调性。
n?2 2

1 1 ( 1 1 1 (2)求证: 1 ? 1 )(1 ? 2 )(1 ? 3 )....( ? n ) ? e

(n ? N ? )

21、 (14 分)数列 {a n } 中,

a1 ? a

an?1 ? can ? 1 ? c

(n ? N ? )

a、c ? R c ? 0
(1)求证: a (2)设 a

? 1 时, {an ? 1} 是等比数列,并求 {an } 通项公式。

?

1 2

c?

1 2

b n ? n(1 ?a n )

(n ? N ? ) 求:数列 {bn } 的前

n 项

的和 S n 。

(3)设

a?

3 4



c??

1 4 、

cn ? 3? ann 。记 d n ? c2n ? c2n?1 2? a
? 5 (n ? N ? ) 。 3

,数

列 {d n } 的前 n 项和 Tn 。证明: Tn

阜阳一中高三第二次月考数学答案(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 B A B A C B C C B B 1

二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分) 11 3 12. 32 13.

2

14. ( 1 ,??) 2

15. [1,??)

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三、解答题: 16 、( 12 分 ) (1)

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f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 2 sin(2x ? ? ) ? 1 4

的增区间是

3 [k? ? 8 ? , k? ? ? ] K ? Z 8
(2) a ? b ? (2 sin x ? cos x,? cos x)

c ? (2,1) ?(a ? b) // c ? 2 sin x ? cos x ? ?2 cos x ? tan x ? ? 1 2
所以 sin x ? 5
5

由于 x 为第二象限角

c o s ? ? 2 5 5 ?(a ? b) ? c ? 2(2 s i nx ? c o s ) ? 3 c o s ? ? 5 65 x x x

17、 (12 分)? 函数

f (x) 为奇函数,且在 [?1,1] 上为增函数,
f (0) ? 0 ? f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为 f (1) .若

f (?1) ? ?1 ? f (1) ? 1

f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 ?t 2 ? 2at ? 1 ? f (1) max ? 1?t 2 ? 2at ? 0
. 令 ? ( x) ? t 2 ? 2at ? (?2t )a ? t 2 看成一条直线
a ?[?1,1] 上恒成立,?? (1) ? 0

且 ? (?1) ? 0

?t ? ?2 或 t=0 或 t ? 2

( 故 t 的范围 ? ?,?2] ? {0} ? [2,??)

18、 (12 分) (1)连 BC1

在 ?A1 BC1 中,M、N 分别为线段 A1 B、A1C1 的中点 故 MN//平面 BCC1 B1 三 棱 柱 ,

? MN // BC1
(2)

BC1 ? 平面 BB1CC1

?

ABC ? A1 B1C1





? BB1 ? 面ABC

?面BB1C1C ? 面ABC又面A1 BC ? 面A1 B1 BA
方法一: 取 ABA1 面上一点 P 作 PR ? AB

PQ ? A1 B .? PR ? 面ABB1 A1 又

平面 A1 BC ? 面 A1 ABB1 且交线为 AB? PR ? 面ABC? PR ? BC 同理 PQ ? BC ? BC ? 平面 AA1 B1 B 方法二:过 C 作 CS ? A1 B CT ? AB?面ABC ? 面AA1 B1 B 面ABC ? 面AA1 B1 B ? AB ?CT ? 面AA1 B1 B 同理

CS ? 面AA1 B1 B ? CS // CT ? CS 与 CT 重合为 CB? BC ? 平面 AA1 B1 B 方法三:在面 ABC 内,作 a ? AB ,在面 A1 BC中作b ? A1 B ?面ABC ? 面AA1 B1 B 面ABC ? 面AA1 B1 B ? AB ? a ? 面AA1 B1 B 同理 a ? 面ABC?b // 面ABC b ? 面AA1 B1 B ? a // b b ? 面A1 BC 面ABC ? 面A1 BC ? BC ?b // BC ?b ? 面AA1 B1 B ? BC ? 平面 AA1 B1 B
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19、 (12 分)证法一 ? a ? b ? 2ab?2(a ? b ) ? (a ? b)
2 2 2 2

2

? a ? b ? ( a ?b ) 2 2 2
2 2

?(

a ?1) 2 ? ( b ? 2 ) 2 2

?(

a ?1? b ? 2 2 2

) ? ( 5 ) 2 ? 25 2 4

? a?1?b?2 ? 25 2 4

?a ? b ? 3 ?

25 2

a ?b ?

19 2

证法二:令 a ? 1 ? x

b ? 2 ? y ?a ? 1 ? x 2

b ? 2 ? y 2 ? P( x, y) 满足

x?0

的区域,

y?0
x? y?5

目标函数 Z= a ? b ? x 2 ? y 2 ? 3 ,由线性规划可求 x 2 ? y 2 的最小值为
25 2

?Z ? 25 ? 3 ? 19 2 2

' x ? x ?a 20、 分) (13 (1)g ( x) ? ? x ?1 令 x
2

2

? x ? a ? 0 ? ? ? 1 ? 4a ? 0

g ' ( x) ? 0 两

根为 x1与x 2 且x1 ? x 2

x1 ? ?1? 21?4a

x2 ? ?1? 21?4a

a ? 0时x1 ? ?1, x2 ? 0

?当a ? 0时g ( x)在(- 1 x2 )上递增,在( 2 ,??)递减 , x
(2)原命题等价于证明 ln(1 ? 1 ) ? ln(1 ? 1 ) ln(1? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? n?2 ? 1 2 3 n n 方法一用数学归纳法证明 方法二由(1)知 2 ln(1 ? x) ? 1 x 2 ? 2 ln 2 ? 1 ?ln(x ? 1) ? 4 x 2 2
1 2

? (ln 2 ? 1 ) 4

令 x ? 1 得 ln(1 ? n ) ? 4 ? n2 n
1 1 1

? ln 2 ? 1 4

1 ln(1 ? 1) ? ln(1 ? 1 ) ln(1? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? ( ? 212 ? 312 ? 412 ? ? ? ? ? n12 ) ? (ln 2 ? 1 )n ? 1 1 2 3 n 4 4

1 1 1 ? ( ? 1?12 ? 213 ? 3?4 ? ? ? ? ?(n-1)n ) ? (ln 2 ? 1 )n 1 4 ? 4

? 1 (2 ? 1 )(ln 2 ? 1 )n ? 1 ? (ln 2 ? 1 )n ? 4 n 4 2 4
只需证 ln 2 ? 1 ? 1 即可,即 ln 2 ? 3 ?ln 2 ? ln 4 2 4 ? ln 4 16 4 2 4
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3

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? ?ln 2 ? 3 ? 1 ? (ln 2 ? 1 )n ? n21 ? n?2 2 4 2 4

3 4

? ln e 4 ? ln 4 e 3 ? ln 4 2.7 3 ? ln 4 19.68
1 1 1

1 1 ? 1 ? ln( ? 1 ) ? ln( ? 2 ) ln(1? 3 ) ? ? ? ? ? ln( ? n ) ? n
1
1 1 1 ( 1 1 ? 1 ? 1 )(1 ? 2 )(1 ? 3 )....( ? n ) ? e

n?2
n?2 2

21、 (14 分) (1)证明: an?1 ? can ? 1 ? c an?1 ? 1 ? c(an ? 1)

a ? 1时, n - 1}等比数列。 a1 ? 1 ? a ? 1 ?an?1 ? (a ? 1)c n?1 ?an ? (a ? 1)c n?1 ? 1 {a
(2)由(1)的 a n ? ? 1 ( 1 ) 2 2 由错位相减法得 S n (3)
n?1

n n ? 1 ? ?( 1 ) ? 1 ?b n ? n( 1 ) 2 2

? 2 ? n2?n2

Cn ? 4 ? (?45)n ?1
25?16 n (16 n ?1)(16 n ? 4 )

dn ?

?

25?16 n 2 (16 n ) ? 3?16 n ? 4
1 16 1 16 2

?
1 163

25?16 n (16 n ) 2

25 ? 16 n
1 16 n
1 1 25?16 (1?( 16 ) n ) 1 1?16

?Tn ? d1 ? d 2 ? ? ? ? ? d n ? 25( ?

?

? ??? ? ) ?

? 5 (1 ? 161n ) ? 5 3 3

阜阳一中高三第二次月考数学答案(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 B A B A C B C C B B 1

二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分) 11 3 12. 32 13.

2

14. ( 1 ,??) 2

15. [1,??)

三、解答题:

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16 、( 12 分 ) (1)

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的增区间是

f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 2 sin(2x ? ? ) ? 1 4

3 [k? ? 8 ? , k? ? ? ] K ? Z 8
(2) a ? b ? (2 sin x ? cos x,? cos x)

c ? (2,1) ?(a ? b) // c ? 2 sin x ? cos x ? ?2 cos x ? tan x ? ? 1 2
所以 sin x ? 5
5

由于 x 为第二象限角

c o s ? ? 2 5 5 ?(a ? b) ? c ? 2(2 s i nx ? c o s ) ? 3 c o s ? ? 5 65 x x x

17、 (12 分)? 函数

f (x) 为奇函数,且在 [?1,1] 上为增函数,
f (0) ? 0 ? f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为 f (1) .若

f (?1) ? ?1 ? f (1) ? 1

f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 ?t 2 ? 2at ? 1 ? f (1) max ? 1?t 2 ? 2at ? 0
. 令 ? ( x) ? t 2 ? 2at ? (?2t )a ? t 2 看成一条直线
a ?[?1,1] 上恒成立,?? (1) ? 0

且 ? (?1) ? 0

?t ? ?2 或 t=0 或 t ? 2

( 故 t 的范围 ? ?,?2] ? {0} ? [2,??)

18、 (12 分) (1)连 BC1

在 ?A1 BC1 中,M、N 分别为线段 A1 B、A1C1 的中点 故 MN//平面 BCC1 B1 三 棱 柱 ,

? MN // BC1
(2)

BC1 ? 平面 BB1CC1

?

ABC ? A1 B1C1





? BB1 ? 面ABC

?面BB1C1C ? 面ABC又面A1 BC ? 面A1 B1 BA
方法一: 取 ABA1 面上一点 P 作 PR ? AB

PQ ? A1 B .? PR ? 面ABB1 A1 又

平面 A1 BC ? 面 A1 ABB1 且交线为 AB? PR ? 面ABC? PR ? BC 同理 PQ ? BC ? BC ? 平面 AA1 B1 B 方法二:过 C 作 CS ? A1 B CT ? AB?面ABC ? 面AA1 B1 B 面ABC ? 面AA1 B1 B ? AB ?CT ? 面AA1 B1 B 同理

CS ? 面AA1 B1 B ? CS // CT ? CS 与 CT 重合为 CB? BC ? 平面 AA1 B1 B 方法三:在面 ABC 内,作 a ? AB ,在面 A1 BC中作b ? A1 B ?面ABC ? 面AA1 B1 B 面ABC ? 面AA1 B1 B ? AB ? a ? 面AA1 B1 B 同理 a ? 面ABC?b // 面ABC b ? 面AA1 B1 B ? a // b b ? 面A1 BC 面ABC ? 面A1 BC ? BC ?b // BC ?b ? 面AA1 B1 B ? BC ? 平面 AA1 B1 B
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19、 (12 分)证法一 ? a ? b ? 2ab?2(a ? b ) ? (a ? b)
2 2 2 2

2

? a ? b ? ( a ?b ) 2 2 2
2 2

?(

a ?1) 2 ? ( b ? 2 ) 2 2

?(

a ?1? b ? 2 2 2

) ? ( 5 ) 2 ? 25 2 4

? a?1?b?2 ? 25 2 4

?a ? b ? 3 ?

25 2

a ?b ?

19 2

证法二:令 a ? 1 ? x

b ? 2 ? y ?a ? 1 ? x 2

b ? 2 ? y 2 ? P( x, y) 满足

x?0

的区域,

y?0
x? y?5

目标函数 Z= a ? b ? x 2 ? y 2 ? 3 ,由线性规划可求 x 2 ? y 2 的最小值为
25 2

?Z ? 25 ? 3 ? 19 2 2

' x ? x ?a 20、 分) (13 (1)g ( x) ? ? x ?1 令 x
2

2

? x ? a ? 0 ? ? ? 1 ? 4a ? 0

g ' ( x) ? 0 两

根为 x1与x 2 且x1 ? x 2

x1 ? ?1? 21?4a

x2 ? ?1? 21?4a

a ? 0时x1 ? ?1, x2 ? 0

?当a ? 0时g ( x)在(- 1 x2 )上递增,在( 2 ,??)递减 , x
(2)原命题等价于证明 ln(1 ? 1 ) ? ln(1 ? 1 ) ln(1? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? n?2 ? 1 2 3 n n 方法一用数学归纳法证明 方法二由(1)知 2 ln(1 ? x) ? 1 x 2 ? 2 ln 2 ? 1 ?ln(x ? 1) ? 4 x 2 2
1 2

? (ln 2 ? 1 ) 4

令 x ? 1 得 ln(1 ? n ) ? 4 ? n2 n
1 1 1

? ln 2 ? 1 4

1 ln(1 ? 1) ? ln(1 ? 1 ) ln(1? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? ( ? 212 ? 312 ? 412 ? ? ? ? ? n12 ) ? (ln 2 ? 1 )n ? 1 1 2 3 n 4 4

1 1 1 ? ( ? 1?12 ? 213 ? 3?4 ? ? ? ? ?(n-1)n ) ? (ln 2 ? 1 )n 1 4 ? 4

? 1 (2 ? 1 )(ln 2 ? 1 )n ? 1 ? (ln 2 ? 1 )n ? 4 n 4 2 4
只需证 ln 2 ? 1 ? 1 即可,即 ln 2 ? 3 ?ln 2 ? ln 4 2 4 ? ln 4 16 4 2 4
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3

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? ?ln 2 ? 3 ? 1 ? (ln 2 ? 1 )n ? n21 ? n?2 2 4 2 4

3 4

? ln e 4 ? ln 4 e 3 ? ln 4 2.7 3 ? ln 4 19.68
1 1 1

1 1 ? 1 ? ln( ? 1 ) ? ln( ? 2 ) ln(1? 3 ) ? ? ? ? ? ln( ? n ) ? n
1
1 1 1 ( 1 1 ? 1 ? 1 )(1 ? 2 )(1 ? 3 )....( ? n ) ? e

n?2
n?2 2

21、 (14 分) (1)证明: an?1 ? can ? 1 ? c an?1 ? 1 ? c(an ? 1)

a ? 1时, n - 1}等比数列。 a1 ? 1 ? a ? 1 ?an?1 ? (a ? 1)c n?1 ?an ? (a ? 1)c n?1 ? 1 {a
(2)由(1)的 a n ? ? 1 ( 1 ) 2 2 由错位相减法得 S n (3)
n?1

n n ? 1 ? ?( 1 ) ? 1 ?b n ? n( 1 ) 2 2

? 2 ? n2?n2

Cn ? 4 ? (?45)n ?1
25?16 n (16 n ?1)(16 n ? 4 )

dn ?

?

25?16 n 2 (16 n ) ? 3?16 n ? 4
1 16 1 16 2

?
1 163

25?16 n (16 n ) 2

25 ? 16 n
1 16 n
1 1 25?16 (1?( 16 ) n ) 1 1?16

?Tn ? d1 ? d 2 ? ? ? ? ? d n ? 25( ?

?

? ??? ? ) ?

? 5 (1 ? 161n ) ? 5 3 3

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