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江苏省盐城中学2009-2010学年高二下学期期末考试文科数学试题


江苏省盐城中学 09-10 学年高二下学期期末考试 数学(文科)试题
试卷说明: 本场考试 120 分钟。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.将正确答案填入答题纸的相应横 ....... 线上) .. 1.设 U = ?0,1,2,3? , A = x ?U x ? mx ? 0 ,若 CU A ? ?1, 2? ,则实数 m ?

/>2

?

?

.

2.若命题 p : ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 ,则该命题的否定是

. . . . .

3. 已知幂函数的图象过点(3, 3 ),则幂函数的表达式是 f ( x) ? 4.若复 数 z ? 3 ? 4i ( i 为虚数单位) 则 z ? z ? z ? , 5.函数 y ? 2 sin 2 x 的最小正周期为___________ 6.若 sin ? ? sin ? ?

1 1 , cos ? ? cos ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值 为 2 3

7. 已知函数 f ( x ) = ?

?3x ? 2, x ? 1,
2 ? x ? ax, x ? 1,

若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a ?

.

8.若函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?

.

2 9.已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (7) ?



10.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ?

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为



x2 (5) 11.函数 F ( x) ? f ( x) ? 的图象在点 x ? 5 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ? 的 5
值等于 .

x 2 ? 12 . 已 知 f ( x ) ? s i n ? x x , ? [
. 13.下列几个命题:

? ?
2 2

, 且 , f (1 ? a) ? f (2a) ? 0 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ]

①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个 负实根,则 a ? 0 ;
2

②函数 y ?

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f ( x ) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] ; ④设函数 y ? f ( x) 定义域为 R,则函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 y 轴对称;
科|网]

[来源:学|

⑤一条曲线 y ?| 3 ? x2 | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是 1 . 其中正确的有 .

2 2 14 . 若 不 等 式 x2 ? 2 2 xy≤ a( x ? y )对 于 一 切正 数 x 、 y 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 最 小 值



.

二、解答题(本大题计 80 分) 15. (本题满分 12 分)已知 cos ? ? (Ⅰ)求 sin ? ? ?

3 ? ?? , ? ? ? 0, ? . 5 ? 2?

? ?

??

? 的值; 3?

(Ⅱ)求 tan 2? 的值 . 16. (本题满分 12 分)
2 2 已知命题 p :“ ?x ??1, 2? , x ? a ? 0 ”,命题 q :“ ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”

(Ⅰ)求实数 a 的取值范围,使命题 p 为真命题; (Ⅱ)若“ p 或 q ”是真命题, p 且 q ”是假命题,求实数 a 的取值范围. “

17. (本题满分 13 分)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边, 已知 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc,
[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,内角 B 等于 x ,周长为 y ,求 y ? f (x) 的最大值.
[来源:Zxxk.Com]

18. (本题满分 13 分)已知三次函数 f ?x? ? x 3 ? ax2 ? bx ? 2 在 x ? 1 取得极值 (Ⅰ)求 a与b 的关系式; (Ⅱ)若函数 y ? f ?x ? 的单调减区间的长度不小于 2, 求 a 的取值范 围(注:区间 ?m, n ? 的 长度为 n ? m ) ; (Ⅲ)若不等式 f ?x ? ? x ? 2 对一切 x ? 3 恒成立,求 a 的取值范围.

[来源:]

[来源:Zxxk.Com]

19. (本题满分 15 分)如图:某污水处理厂要在一个矩形 污 水 处 理 池 (ABCD) 的 池 底 水 平 铺 设 污 水 净 化 管 道 ( Rt? FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺 F 设管道的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中 点, E, F 分 别落在线段 BC, AD 上.已知 AB ? 20 米,

D

C E

AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? .
(Ⅰ)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数, 并写出定义域;

A

θ
H

B

3 ?1 ,求此时管道的长度 L ; 2 (Ⅲ)问:当 ? 取何值时,铺设管道的 成本最低?并 求出此时管道的长度.
(Ⅱ)若 sin ? ? cos ? ?

[来源:Zxxk.Com]

[来源:ZXXK]

20. (本题满分 15 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) , f ( x ? 2) 是偶
2

函数,函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? 2 x 相切,且切点位于第一象限. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若对一切 x ? [?1,1] , 不等式 f ( x ? t ) ? f ( ) 恒成立,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x) ?

x 2

k |x| ? x ? 1 有三个不同的实数解,求实数 k 的值. x?2
参考答案

1.

3 .

2. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0
1

3.

x2

4. 22 ? 4i 5. ? 6.

59 72

7. 2 8.

? 6 ? 6
[?

9. -2. 10.

11. -5 12.

?

1 ,? ) 4 3

13. ①⑤ 14. 2

二.解答题(本大题计 80 分) 15.解(1) 由题设知

sin ? ?

4 3 3 4?3 3 ?? ? ? 1 4 ? ,? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin = ? ? ? ? 5 10 3? 3 3 2 5 2 5 ?

(2)由上得

tan ? ?

sin ? 4 5 4 ? ? ? cos ? 5 3 3

4 2 tan ? 3 ? 8 ? ? ? 9 ? ? ? 24 tan 2? ? ? ? ? 2 2 1 ? tan ? 3 ? 7? 7 ?4? 1? ? ? ?3? 2?
16. (Ⅰ) a ? 4

(Ⅱ ) (??, ?2] ? [1, 4) 17 解: (1)由 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc得 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?bc

b2 ? c2 ? a2 1 ? ?A? ? 又0 ? A ? ? 3 2bc 2 AC BC BC 2 3 ? , ? AC ? (2)? ? sin x ? ? sin x ? 4 sin x ? sin x sin A 3 sin 3 2 BC 2? 2? ? sin C ? 4 sin( ? x) ? y ? 4 sin x ? 4 sin( ? x) ? 2 3 同理: AB ? sin A 3 3 ? ? 2? ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3 ? A ? ?0 ? B ? x ? 6 3 3 ? ? 5? ? ? ? ) ? 故x ? ? ? x ? 时, y max ? 6 3 故 x ? ?( , 6 6 6 6 2 3 ? cos A ?

(Ⅲ)若不等式 f ?x ? ? x ? 2 对一切 x ? 3 恒成立,求 a 的取值范围.

19.解: (1) EH ?

10 10 , FH ? cos ? sin ?

EF ?

10 sin? cos?

由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 , AF ?

10 ? 10 3 tan ?

? ? 3 ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] 6 3 3 10 10 10 ? ? L? ? ? , ? ?[ , ] cos ? sin ? sin ? ? cos ? 6 3
(2) sin ? ? cos ? ?

3 ?1 3 时, sin ? cos ? ? , 2 4 L ? 20( 3 ? 1) ;

(3) L ?

10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? ) = 10( cos ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? t 2 ?1 设 sin ? ? cos ? ? t 则 sin ? ? cos ? ? 2
[来源:Z+xx+k.Com]

由于 ? ? [

? 3 ?1 , ] ,所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ , 2] 6 3 4 2 20 ? 3 ?1 L? 在 [ . , 2] 内 单 调 递 减 , 于 是 当 t ? 2 时 ? ? t ?1 4 2
? ?
L 的最小值 20( 2 ? 1) 米.

答:当 ? ?

?
4

时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为 20( 2 ? 1) 米

20.解(1)由题设知, 4a ? 2b ? c ? 0 . 令 2x ?



1 2 1 x ? 2 , 解 得 x ? 2 , 由 题 意 可 得 2 ? 2 ? f ( 2) ? ? 2 2 ? 2 , 即 2 2

4 ? f (2) ? 4 ,
所以 f (2) ? 4 ,即 4a ? 2b ? c ? 4 . 由①、②可得 c ? 2 ? 4a, b ? 1 .
2 又 f ( x) ? 2 x 恒 成 立 , 即 ax ? (b ? 2) x ? c ? 0 恒 成 立 , 所 以 a ? 0 , 且



? ? (b ? 2) 2 ? 4ac ? 0 ,
2 即 (1 ? 2) ? 4a(2 ? 4a) ? 0 ,所以 a ?

1 ,从而 c ? 2 ? 4a ? 1 . 4

因此函数 f (x) 的解析式为

f ( x) ?

1 2 x ? x ? 1. 4
2

x 1 1? x? x (2)由 f ( x ? t ) ? f ( ) 得 ( x ? t ) 2 ? ( x ? t ) ? 1 ? ? ? ? ? 1 , 2 4 4? 2? 2

整理得 ( x ? 2t )( x ? 当 ? 2t ? ?

2t ? 8 2t ? 8 即 t ? 2 时, ? 2t ? x ? ? , 3 3 ?? 2t ? ?1 ? 此不等式对一切 x ? [?1,1] 都成立的充要条件是 ? 2t ? 8 ,此不等式组无解. m ? ?1 ? 3 ? 2t ? 8 当 ? 2t ? ? 即 t ? 2 时, ( x ? 2t ) 2 ? 0 ,矛盾. 3 2t ? 8 2t ? 8 ? x ? ?2t , 当 ? 2t ? ? 即 t ? 2 时, ? 3 3

2t ? 8 ) ? 0. 3

? 2t ? 8 5 1 ?? ? ?1 此不等式对一切 x ? [?1,1] 都成立的充要条件是 ? , 解得 ? ? t ? ? . 3 2 2 ?? 2t ? 1 ?
[来 源:ZXXK]

综合可知,实数 t 的取值范围是 ? ? (3) k ?

? 5 1? , ? ?. ? 2 2?

1 4

[来源: Z§xx§k.Com]


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