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经济数学基础( 上)期末复习题


经济数学期末复习题(期末复习 1)答案 一.填空题: 1.函数

y ? 4 ? x2

的定义域为 [-2,2]

求定义域的方法:偶次根号内≥0。 (还有 2 种其他方法,但是不会考。 ) 令4 ? 2 ≥ 0,即 2 ≤ 4,根据“大于号取两边小于号取中间” ,可以得出?2 ≤ x ≤ 2,再写成区间的形式 就可

以了。

1.5 p 和 2.已知某种商品的需求函数和供给函数分别为 Q?14.5?
衡价格为 4 令 Q=S,求 p.

S ??7.5?4 p ,则该商品的均

3.

3 lim(1 ? ) x ? e 3 x ?? x
x ??

两个重要极限中的一个,常考的结论为 lim 1 ? ( “期末复习 3”里的那道题就是“1-”的题。 4.已知某产品的总成本函数为

a bx?c a bx ) ? e ab ,或 lim 1 - ) ?c ? e -ab 。 ( x ?? x x

C (q) ? 100 ? 3q ? 2q 2 , q 为产量,则此产品的边际成本函数为

C(q) 3 ? 4q ' ?
边际成本函数就是 C ' )(成本函数的导数) (q ,

5.曲线

y ? x 2 在点(1,1)处的切线方程为

y ? 2x - 1

根据点斜式 y - y 0

? k(x - x 0) ( 。 ( ,先找出 x 0,y 0) k。坐标已给, k ? y' x 0) 和

∵y′ = 2x,∴k=y ′ 1 = 2,然后把(1,1)和 k=2 代入公式里。结果写成一般式和斜截式都对。 6.已知

y ? sin x ,则 y ?? ? -sinx

求二阶导数。先求一阶,再求二阶。 y' ? cosx y' ' ? -sinx ,

x ? 3 ,则 dy = 7. 设 y ?
求微分, dy ?

1 — ? dx或 x 2 ? dx 2 2 x

1

1

y'?dx 。

x 的导数有公式的,也可以不用公式做。

①用公式( x)? '
常数的导数为 0.

1 2 x

1

,②不用公式,直接做,化简 x ? x 2 。

8.已知

? f ( x)dx ? cos x ? C

,则

f ( x) ? -sinx

不定积分。根据公式,

? ' ? f(x)dx ? F(x) c,F(x)? f(x)

所以, cosx ' ? -sinx ( )

9.

?

2

?2

x s in2 xdx ? 0
?a

定积分。根据结论做。

x dx =

0,f x 为奇函数 2
0

x dx,f x 为偶函数

这 3 套题的结果都为 0,大家一看到这个如果不会的话直接写 0 吧。 方法就是判断题里边的那个式子是奇函数还是偶函数。x 是奇函数,sinx 是奇函数,但是sin2 就是偶函数 了(一平方就为正了) 。它俩一乘,是奇函数。

10.

?

??

1

1 ? x3

1 (17 周) 2
+∞ 1 1

广义积分根据结论,

dx =

>1 时,收敛于

1 ?1

≤ 1 时,发散于∞

这 3 套试题考的都是 n>1 的情况。

10.

? (e
0

1

x

? 1)dx ? e-2(14 周)

定积分。先拆开,然后分别算出来,会用到“积分公式” 。

根据公式,

?dx ? ? ?f(x) g(x) ? ? f(x)dx ? ? g(x)dx
a a 1 1 a

b

b

b

所以,

?

1

0

(e x ? 1)dx ? ? e x dx - ? 1 dx ? e x |10 -x |10 ? e - 2
0 0

此处的 “1”可以省略不写。 1. 1.根据公式 kdx = kx + C(k 为常数)(定积分中不+C) 。

2.用结论。结论是“1 对谁做积分,就是谁+C” 对 d 后边的 x 做积分,答案就是 x。 ,1 求结果时要用到的公式是


x dx = F x | = F b ? F(a)

二.选择题: 11.当

x ? 0 时,下面变量为无穷小量的是(
B.

D

) .

A.

ln( x ? e)

e x ?1

C.

1? x ? x

D.

2? x ? 1

方法就是分别把 0 代入下边的四个选项中,看看谁得 0,就选谁。

lne ? 1,e ? 2.717

12.已知函数

? sin 2 x ? , x?0 f ( x) ? ? x 在 x=0 点连续,则 a 为( ? x ? a, x ? 0 ?
B.1 C.2
0 0

C

) .

A.0

D.3

此题考查连续的条件。题里边有 3 个 0,先把 0 代入这两个式子,然后让这两个式子相等就可以了。 先把 0 代入到第一个式子,是 型,用洛必达法则算出来得 2cos2x,把 0 代入得 2.(不会算的就画图像) 再把 0 代入第二个式子里,得 a。 最后是让这两个式子相等,得 a=2。 13.下列函数在 x=0 处不可导的是( A.y=sinx B.y=x C)

C.y=|x| D.y = ln2

记住两个答案,选项里有哪个就选哪个,不解释。 ①y = (图像出尖点)②带根号的 14.函数

f (x) 在点 x 0 可导是函数 f (x) 在点 x0 连续的(
B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件

A

).

A.充分条件

记住下边的这个结论就行了。考过的最多的就是跟“连续”的关系,所以记住它的左边和右边哦。 可微?可导?连续?有极限,只有第一个是充分必要的,其他的都不是。 15.设函数 f(x)可微,则 A.f(x) ① ② B.df(x)

? df (x) =(D).
C.f(x)dx+C D.f(x)+C

不定积分的公式。记住答案就行了。 这个公式的结论叫做“1 对谁做积分,就是谁+C” 。 如果你不知道上面的结论,其实它是根据原公式推导出来的。原公式是 x dx = F x + C,F ′ x = f(x),一代换,不就是结果了嘛。 16.曲线

y ? x 2 , y ? 0, x ? 1 围成的面积是(
B.

A )

A.

1 3

1 4

C.

1 2

D.1

定积分。 做这题先画图,画个大概的就行了,见下图。 可知它们围城的面积就是蓝色的那部分。 用上面的函数的定积分 = 2 ) (y 减掉下面的函数的定积分 (y=0) 就可以了。函数 x=1 是用来求定积分的范围的,也就是 a~b。此题是要求 会列积分式。会用到“积分公式” 。
1 0

( 2 ? 0)dx =,知道范围,

1 1 ( 2 ? 0)dx = 3 |1 = 0 3 3
1 2

用排除法就知道不能是 1,正方形的面积才是 1 呢。也不能是 ,因为得是直线。 正确的结论为:平方的是 ,立方的是 。
3 4 1 1

三.计算题:

17.求极限

lim
x ?1

x2 ?1 x2 ? 4x ? 3
0 0

做任何计算题,第 1 步都是先代入,看它是属于什么类型的题。此题把“x=1”代入后发现它属于 型,有 两种方法。一种是用洛必达法则,另一种是先分解再约分。用洛必达法则就是分子分母都求导,然后再 代入。 ① 用洛必达法则:

x2 ?1 lim 2 x ?1 x ? 4 x ? 3
= lim 2 → 1 2?4

=-1

② 先约分再化简,一定要会十字相乘。

x2 ?1 lim 2 x ?1 x ? 4 x ? 3
= =
(x?1) lim (x+1) (x?3) → 1 (x?1)

lim +1 → 1 ?3

=-1 18.设

y ? x3 ? 3 sin x ? 2e x ? ln 2 ,求 y ?
y ′ = 3 2 + 3cosx ? 2e

分别求导就行了,注意 ln2 是常数,常数的导数为 0.

19.设

y ? (2 x ? 3)e x ,求 y ?

这个也是求导,但是要用到公式。 “前导后不导+后导前不导” 。 y ′ = 2x + 3 ′ + 2x + 3 20.求由方程


= 2 + 2x + 3 = (2x + 5)

e y ? 2 y ? 5 x 所确定的隐函数的导数 y ? (17 周)



隐函数的解法就是“方程两边都求导,给 y 求导时就写成y′,然后再解出y′” 。 + 2y ′ = (5x)′ + 2 y ′ = 5 y′ = 21.设 5 + 2 ·y ′ + 2y′ = 5

y ? ( x 3 ? 3) 5 ,求

y ? (14 周)

这个求导也要用到公式,这是一个复合函数的导数。 第一步,先分解复合函数。y = 5 ,u = 3 + 3 第二步,分别求导再相乘。y ′ = 5


·u′ = 54 ·3 2
4 4

第三步,中间变量代回,也就是把 u 换过来。 y ′ = 5( 3 + 3) ·3 2 = 15 2 ( 3 + 3) (此试卷中一共出了 3 种类型的求导题,你会了吗) 22.求函数

y ? 1 ? 3x 2 ? x3 的极值

求极值的方法 ① 先求定义域导②求导,让导数等于 0③画表④算极值 过程如下 解:该函数的定义域是(?∞, + ∞) 。 y ′ = ?6x + 3 2 = 3( ? 2x + 2 ) 令y ′ = 0,即3 ?2x + 2 = 0, ∴x = 0 或 x = 2 x y′(x) y (?∞, 0) + ↗ 0 0 极大值 (0,2) ↘ 2 0 极小值 (2, +∞) + ↗

∴该函数的极大值为 y(0)=0,极小值为 y(2)=-3 (表格中导数的那一栏是随便找个数代进去算的,知道它的正负就可以了。导数为正,函数就为增函数, 左增右减就为极大值。 ) 23.求不定积分

? cos(3x ? 2)dx

这个是利用“凑微分”法,把 d 后边的 x 变成前边函数的那样(积分变量和函数变量一样,看下边过程就 知道了) 不定积分后边要加 c。 , 运用的结论就是 “乘以一个除以一个, 除以一个乘以一个, 加一个白加, 减一个白减。 ”要用到“积分公式” 。

? cos(3x ? 2)dx
24.求定积分

=

1 3

cos 3x + 2 d 3x + 2 = sin 3x + 2 + c
3

1

?

2

1

(x ?

1 2 ) dx x

先把完全平方打开,然后再拆开做就行了。要用到“积分公式” 。

?
= =

2

1

(x ?

1 2 ) dx x

2 2 + 2 + ?2 dx 1 2 2 2 = 1 2 + 2 1 dx + 1 ?2 dx 1 3 2 1 2 2 = |1 + 2x|1 ? |1 3 29 6

四.应用题 25.某厂生产某种产品的可变成本为 18 元/件, 每天的固定成本为 2000 元,如果每件产品的出厂价为 28 元, 为了不亏本,该厂每天至少应生产多少件产品? 把“成本”的放一边,另一个放另一边,列个式子就行了。 设每天至少应生产 x 件产品,由题得 18x+2000=28x,x=200 26. 某厂生产某种产品,其固定成本为 30000 元,每生产一件产品,成本增加 200 元,其收入函数为

1 R ? 500q ? q 2 ,求达到最大利润时的产量。 2
先把函数写出来,然后求导、让导数等于 0,就 ok 了。 利润 L=收入 R-成本 C 成本=固定+可变·q。 C=30000+200q L=500q ? 2 ? 30000 ? 200q
2 1

L′ = 500 ? q ? 200 = 300 ? q 令L′ = 0,即300 ? q = 0, ∴q=300 27.某种商品的需求函数为 并解释其经济意义. 需求弹性,公式E = ·y′,经济意义:当自变量变化 1%时,函数变化的百分数。


Q?200e ?0.2 p ,其中 p 为商品的价格,求价格为 10 时的需求弹性值,

这题的计算过程很简单,约分就可以了。 ∵Q′ = 200 · ?0.2 ?0.2p = ?40 ?0.2p ∴E =
200 ?0.2p

·?40 ?0.2p = ?

5

∴E(10) = ?2 它的经济意义是:当价格为 10 时,若价格增加 1%,则需求减少 2%.

Ps:如果你没有时间看完期末复习 1~3, 请务必看完期末复习 1, 和期末复习 2 的 13、14、25、 和期末复习 3 的 23、24 题。 以及“期末复习必备” ! 期末复习 2 答案

一.填空题: (每题 3 分,共 30 分) 1.函数 y

? 4? x

的定义域为 ?2,2

2. 已知某种商品的需求函数和供给函数分别为 价格为
x ??

Q ?12?2.5 p 和 S ??3? 2.5 p ,则该商品的均衡

3.

3. lim(1 ?

2.5 x 2.5 . ) ? x

4.已知某产品的总成本函数为 5+10q 5.曲线 .

C (q) ? 28 ? 5q ? 5q2 , q 为产量,则此产品的边际成本函数为

y ? x 2 在点(2,4)处的切线方程为 y=4x-4
y ? cos x ,则 y ?? ?
-cosx
1



6.已知 7. 设



y ? ln x ? 3 ,则

dy = ·dx.
6x+1 .

8.已知 9.
?

? f ( x)dx ? 3x
3

2

? x ? C ,则 f ( x) ?

??x
?

dx ?

0

10.

? (e
0

1

x

? x)dx ?
1

=
0

dx +

1

dx
0

1 = |1 + 2 |1 0 0 2 1 = 1 ? 0 + ? 0 2 =e?1+ =e+ 1 2 1 2

二.选择题: (每题 3 分,共 15 分) 11.当

x ? 0 时,下面变量为无穷小量的是(

B

) .

A.

x 3 ? 1B. 2? x ? 1

C.

x ?1

D.

e x ?1

12.已知函数 A.2 C.0 13.函数

? x2 ? 1 x ? 0 f ( x) ? ? 在 x=0 点连续,则 a 为( ?x?a x?0

D

) .

B.-1 D.1

y ? 3 x 在 x=0 点处有(C)

A.有极限但不连续 B.无极限也不连续 C.连续但不可导 D.不连续也不可导 它只有 1 个式子,把 0 代入如果有值则说明有定义、有极限,也连续。 连续的三个条件:①有定义②有极限(左极限=右极限)③函数值和极限值相等,也就是①=② 带根号的都不可导。 14. 已知函数

f ( x) 在 x0 点有二阶导数, f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 , 且 则函数 f ( x ) 在 x0 点处有 (B) .
D.最大值

A.极小值 B.极大值 C.最小值

(极值判别法)设函数 f(x)在点0 处有二阶导数,且f ′ 0 = 0, ① 若f ′′ x < 0,则函数 f x 在点0 处取得极大值; ② 若f ′′ x > 0,则函数 f x 在点0 处取得极小值; ③ 若f ′′ x = 0,则无法判断 f 0 是否有极值。 15.求曲线 A.1 C.1/3

y ? x 3 与 x 轴,直线 x=1 所围成的图形的面积
1 4 1 4

( D ).

B.1/2 D.1/4
1 0

见下图,

3 ? 0 dx = 4 |1 = 0

三.计算题: (每小题 5 分,共 35 分)

16.求极限

x2 ? 9 lim 2 x ?3 x ? 5 x ? 6

①洛必达

lim
x ?3

x2 ? 9 x2 ? 5x ? 6
2 ?5

= lim =6

→3 2

②先分解,再约分

lim
x ?3

x2 ? 9 x2 ? 5x ? 6
(x + 3) ? 3) (x 2) ? 3) (x + 3 ?2

= lim = lim =6

→3 (x ?

→3

17.设

y ? x 3 ? 3sin 2 x ? 2e 2 x ? ln ? ,求 y ?
(3sin2x) = 6cos2x


y ′ = 3 2 + 6cos2x ? 4 2 ,注意 lnπ 为常数,它的导数为 0. 复合函数的导数, 1、 常数相乘带着走,不用管 3,做 sin2x 的导数就行了 2、 分解复合函数:y=sinu,u=2x 3、 分别求导再相乘,再把中间变量代回:y ′ = sinu ′ · 2x ′ = 2cosu = 2cos2x 4、 再乘以它前边的那个 3 就行了 18.设

y ? ( x 2 ? 3 x )e 3 x ,求

y?
= (3 2 + 11x + 3) 3

y ′ = 2 + 3x ′ 3 + ( 2 + 3x) 3 )′ ( = 2x + 3 3 + 3( 2 + 3x) 3

19.设

y ? (2 x 3 ? 3 x )5 ,求 y ?
y = 5 ,u = 2 3 + 3x y ′ = 5


·u′ = 54 · 6 2 + 3 = 5(2 3 + 3x ) · 6 2 + 3

4

20.求函数

y ? 2 x3 ? 3x 2 ? 12 x ? 14 的极值
y ′ = 6 2 ? 6x ? 12 = 6 2 ? x ? 2

解:该函数的定义域是(?∞, + ∞) 。 令y ′ = 0,即6 2 ? x ? 2 = 0, ∴x = ?1 或 x = 2 x y′(x) y (?∞, ?1) + ↗ -1 0 极大值 (?1,2) ↘ 2 0 极小值 (2, +∞) + ↗

∴该函数的极大值为 y(-1)=21,极小值为 y(2)=-5

21.求不定积分

? sin(2 x ? 5)dx
= 1 1 sin 2x + 5 d 2x + 5 = ? cos 2x + 5 + C 2 2
2

22.求定积分

?

1

( x2 ? 5x ?
2

1 )dx x
2 1

=
1

2 dx + 5

2

dx ?
1

1 1 5 59 2 2 2 dx = 3 |1 + 2 |1 ? lnx|1 = ? ln2 3 2 6

四.应用题 23.某厂生产某种产品的可变成本为 28 元/件,每天的固定成本为 3000 元,如果每件产品的出厂价为 33 元,为了不亏本,该厂每天至少应生产多少件产品?(6 分) 设该厂每天至少应生产 x 件产品 28x+3000=33x x=600

24.某厂生产某种产品,其成本函数为 C=2+3q,收入函数为 R (q 是产量,单位:件) ,求达到最大利润时的产量(8 分)

1 ? 12 q ? q 3 3

1 1 L = R ? C = 12q ? 3 ? 2 ? 3q = 9q ? 3 ? 2 3 3 L′ = 9 ? 2 令L′ = 0,即 9 ? 2 = 0 ∴q=3 25.某种商品的需求函数为 q ?200( 释其经济意义. 分) (6 1 q = 200 · = 200 ·2?p 2 q′ = 200 ·2?p ·ln2 E=
200· ?p 2

1 p ) ,其中 p 为商品的价格,求价格为 2 时的需求弹性值,并解 2

·200 ·2?p ·ln2 = pln2 E 2 = 2ln2

经济意义:当价格为 2 时,若价格增加 1%,则需求增加 2ln2%。 (此处的结果可以化简也可以不化简,2ln2 北京的没学过,外地的同学会做。 ) 记住这个公式,幂函数的求导公式: a


= lna

期末复习 3 一.填空题: (每题 3 分,共 30 分)

1.函数

y ? 1 ? x 2 的定义域为 ?1,1

2.已知某种商品的需求函数和供给函数分别为 Q ?10? 2 p 和 S ??8? 4 p ,则该商品的均衡价格为 3 .

3. lim(1 ?
x ??

3 x ?3 ) ? . x

4.已知某产品的收入函数为 函数为 5.曲线 100+6q .

R(q) ? 100q ? 3q 2 ? 500 , q 为产量,则此产品的边际收入本
1 2 1 2

y ? x 在点(1,1)处的切线方程为y =
y ? e2x ,则 y ?? ? 4
2 .

+ .

6.已知 7. 设

y ? x 2 ? ln x ? e 2 x ,则

dy =

2x + + 2 2 ·dx.


1

8.已知

? f ( x)dx ? e

?x

? x 3 ? C ,则
0

f ( x) ? ??x + 3 2 .

9.

?

2

?2

x( x2 ? | x |)dx ?
x

10.

? (e
0
e-2

1

? 1)dx ?
1

=
0

dx ?

1

1dx
0

二.选择题: (每题 3 分,共 15 分) 11.当

x ? 0 时,下面变量为无穷小量的是( D ) .
B.

A.

ln( x 2 ? e)
1 ? x ? 2x

e 2 x ?1
?x

C.

D. 3

?1
在 x=1 点连续,则 a 为( A ) .

12.已知函数

? ax, x ? 1 f ( x) ? ? 3 2 ? x ? x ,x ?1
B.-1

A.2 C.0

D.1 C )

13.下列函数在 x=0 处不可导的是( A.y=sinx B.

y ? x2

C.

y?3 x

D.y = lnx ( A ).

14.函数

f (x) 在点 x 0 可导是函数 f (x) 在点 x0 连续的
B.必要条件 D.无关条件

A.充分条件 C.充要条件

15.求曲线 A.1 C.1/3

y ? x 2 与 x 轴,直线 x=1 所围成的图形的面积
B.1/2 D. 1/4

(

C

).

三.计算题: (每小题 5 分,共 35 分)

16.求极限 lim
x ?1

x2 ? 1 x2 ? 5x ? 4

①洛必达

x2 ? 1 lim 2 x ?1 x ? 5 x ? 4
= ②先化简再约分 2 2 lim =? → 1 2 ? 5 3

lim
x ?1

x2 ? 1 x2 ? 5x ? 4
(x lim (x + 1) ? 1) → 1 (x ? 1) ? 4) (x = lim + 1 → 1 ? 4

=?

2 3

y ? x 2 ? 2sin 2 x ? 2e 2 x ? ln 3 ,求 y ? 17.设
y ′ = 2x + 4cos2x ? 4 2 ,ln3 为常数。 18.设

y ? (2 x 2 ? 3 x )e 2 x ,求 y ?
′ 2

y ′ = 2 2 + 3x 19.设

+ 2 2 + 3x 2



= 4x + 3 2 + 2 2 2 + 3x 2 = (4 2 + 10x + 3) 2

y ? (2 x 4 ? x )3 ,求

y?
y = 3 ,u = 2 4 + x


y ′ = 3 20.求函数

·u′ = 32 ·8 3 = 24(2 4 + x) 3

2

y ? 4 ? 3x 2 ? x3 的极值
y ′ = ?6x + 3 2 = 3( ? 2x + 2 )

解:该函数的定义域是(?∞, + ∞) 。

令y ′ = 0,即3( ? 2x + 2 ) = 0, ∴x = 0 或 x = 2 x y′(x) y (?∞, 0) + ↗ 0 0 极大值 (0,2) ↘ 2 0 极小值 (2, +∞) + ↗

∴该函数的极大值为 y(0)=4,极小值为 y(2)=0

21.求不定积分

? sin(2 x ? 1)dx
= 1 1 sin 2 + 1 2x + 1 = ? cos 2x + 1 + C 2 2

22.求定积分

?

3

1

(x ?

1 2 ) dx x
3 1

3

=
1

2 + 2 + ?2 dx =

2 dx + 2

3

3

dx +
1 1

1 1 3 40 3 3 ?2 dx = 3 |1 + 2x|1 ? |1 = 3 3

四.应用题 23.某种产品的总成本函数为 C (q)?200?9q?10 意义? (6 分) 边际成本,就是总成本的导数。 经济意义:当产量为 q 时,再多增加一个单位时所增加的成本。 5

q ,试求:当 q=100 时的边际成本,并解释其经济

C′ q = 9 +

C′ 100 = 9 +

1 19 = 2 2
19 2

经济意义:当产量为 100 时,再多增加一个单位时,成本会增加 。 24. 设 某 商 品 的 需 求 量 为

Q ? 1 2 0 0 0 8p , 其 中 ? 0

p 为商品的单价.而这些商品的成本

C1 ? 2 5 0 0 0 5 0,求:每单位商品定价 p 为多少时,获得的总利润最大?(8 分) ? Q
L=R-C,R=pQ,Q 为自变量。 ∵Q=12000-80p, ∴p =
12000 ?Q 80 2 80 2 80

= 150 ?

80

R=150QL=150Q-

2 80

? 25000 ? 50 = 100Q ?

? 25000 L′ = 100 ? 40

令L′ = 0,即 100 ? ∴Q=4000,

40

=0

∴p=100

25.某种商品的需求函数为 解释其经济意义. 分) (6

Q?50e ?0.3 p ,其中 p 为商品的价格,求价格为 10 时的需求弹性值,并
Q′ = ?0.3 ·50 ?0.3p = ?15 ?0.3p
3 10

E=

50 ?0.3p

·?15 ?0.3p = ?

E 10 = ?3

经济意义:当价格为 10 时,若价格增加 1%,则需求减少 3%。 期末复习必看!!! !!(数学) 注:如果你只想考 60 分,可以看 期末复习 1 的 1~9,,11,13,~15,17,18,22,25,27,27 期末复习 2 的 1~9,11~14,16,17,20,23~24 期末复习 3 的 1~8,11~17,20,23,25 其他的就不用看了。。。。 。。。

Ps:如果你没有时间看完期末复习 1~3, 请务必看完期末复习 1, 和期末复习 2 的 13、14、25、 和期末复习 3 的 23、24 题。 以及“期末复习必备” !

期末复习 1~3 的所有题型及解题方法 一、填空 1. 2. 3. 求定义域:偶次根号内≥0 求均衡价格:Q=S

( 求极限: lim 1 ?
x ??

a bx?c a bx ) ? e ab ,或 lim 1 - ) ?c ? e -ab ( x ?? x x

4. 5.

(q , 边际成本函数就是 C ' )(成本函数的导数) 。还有边际收入函数R′(q)。
求切线方程: 根据点斜式 y - y 0 结果写成一般式和斜截式都对。

( ( 。 ? k(x - x 0) 先找出 x 0,y 0) k。 , 和 坐标已给,k ? y' x 0)

6. 7. 8. a)

求二阶导数。先求一阶,再求二阶。 (会背导数公式) 求微分, dy ? 不定积分公式:

y'?dx 。
? ' ,此题让求 f(x) 。 ? f(x)dx ? F(x) c,F(x)? f(x) ? ? f(x)dx ? f(x) c ,就是由它推导出来的。

还有一题是让填一个公式是

9.

定积分。根据结论做。

?a

x dx =

0,f x 为奇函数 2
0

x dx,f x 为偶函数
1 ?1

这 3 套题的结果都为 0,大家一看到这个如果不会的话直接写 0 吧。 (会判断奇函数和偶函数) 10. 广义积分。根据结论,
+∞ 1 1

dx =

>1 时,收敛于

≤ 1 时,发散于∞

这 3 套试题考的都是 n>1 的情况。 11. 定积分。先拆开,然后分别算出来,会用到“积分公式” 。 公式

?dx ? ? ?f(x) g(x) ? ? f(x)dx ? ? g(x)dx
a a


b

b

b

a

求结果时要用到的公式是 二、选择题

x dx = F x | = F b ? F(a)

12. 无穷小量,方法就是分别把 0 代入下边的四个选项中,看看谁得 0,就选谁。

lne ? 1,e ? 2.717
13. 连续,求 a。 14. 不可导。记住两个答案,选项里有哪个就选哪个,不解释。 ? y = (图像出尖点)②带根号的 15. 充分必要的条件。记住下边的这个结论就行了。考过的最多的就是跟“连续”的关系,所以记住它的 左边和右边哦。 可微?可导?连续?有极限,只有第一个是充分必要的,其他的都不是。 16. 3 个函数围城的面积。定积分。 做这题先画图,画个大概的就行了。 用上面的函数的定积分—下面的函数的定积分就可以了。知道范围,会列积分式。会用到“积分公式” 。用 排除法就知道不能是 1,正方形的面积才是 1 呢。也不能是 ,因为得是直线。 正确的结论为:平方的是 ,立方的是 。 (三个函数:x 轴、x=1、y = 2 或 y = 3 ) 17. 连续的三个条件:①有定义②有极限(左极限=右极限)③函数值和极限值相等,也就是①=② 带根号的都不可导。 18. (极值判别法)设函数 f(x)在点0 处有二阶导数,且f ′ 0 = 0, 若f ′′ x < 0,则函数 f x 在点0 处取得极大值; 若f ′′ x > 0,则函数 f x 在点0 处取得极小值; 若f ′′ x = 0,则无法判断 f 0 是否有极值。 三、计算题 19. 做任何计算题,第 1 步都是先代入,看它是属于什么类型的题。
0 0 3 4 1 1 2 1

型,有两种方法。一种是用洛必达法则,另一种是先分解再约分(一定要会十字相乘) 。用洛必达法则就

是分子分母都求导,然后再代入。 (20、21、23 都是求导题) 20. 求导(直接求) 。分别求导就行了,注意 ln2、lnπ都是常数,常数的导数为 0. 21. 求导,要用到公式。 “前导后不导+后导前不导” 。 22. 隐函数。解法就是“方程两边都求导,给 y 求导时就写成y′,然后再解出y′” 。 23. 求导。要用到公式,复合函数的导数。

a) b) c)

第一步,先分解复合函数。 第二步,分别求导再相乘。 第三步,中间变量代回,也就是把 u 换过来。

24. 求极值。 求极值的方法 ① 先求定义域导②求导,让导数等于 0③画表④算极值 25. 求不定积分。 这个是利用“凑微分”法,把 d 后边的 x 变成前边函数的那样(积分变量和函数变量一样,看下边过程就 知道了) ,不定积分后边要加 c。运用的结论就是“乘以一个除以一个,除以一个乘以一个,加一个白加, 减一个白减。 ”要用到“积分公式” 。 26. 求定积分。有完全平方的先打开完全平方。 (公式见知识点 11) 四、应用题 27. 每天至少应生产多少件产品? 先设 x,然后把“成本”的放一边,另一个放另一边,列个式子就行了。 28. 求达到最大利润时的产量。 先把函数写出来,然后求导、让导数等于 0,就 ok 了。 利润 L=收入 R-成本 C,成本 C=固定+可变〃q,R=pq 29. 求需求弹性值,并解释其经济意义. 需求弹性,公式E = ·y′,经济意义:当自变量变化 1%时,函数变化的百分数。


这题的计算过程很简单,约分就可以了。 30. 边际成本,就是总成本的导数。 经济意义:当产量为 q 时,再多增加一个单位时所增加的成本。

必备公式 一、导数公式 P65 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. C ′ = 0(c 为常数) lnx
′ ′ ′ ′

= n ?1 = lna(幂函数) = =
1

sinx cosx

′ ′

= cosx = ?sinx
1 2



=

二、导数的四则运算 1. 2. 三、 常数相乘带着走:(Cu)


= C ·u′


前导后不导+后导前不导: u ·v

= u′ v + uv′

1. 2.

常见的奇函数:y = 奇 、y = sinx 常见的偶函数:y = 偶 、y = cosx、y = c(常数函数)

四、积分公式 p134 注意:求不定积分时要+C,求定积分时不+C。 2. 3. 4. 5. 6. 7. kdx = kx + C(k 为常数) dx =
1 1 +1

+1 + C(n ≠ ?1)

dx = lnx + C(咱们考试那题不需要加绝对值,就不加了) = +



sinxdx = ?cosx + C cosxdx = sinx + C


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