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任意角的三角函数 (修复的)


1.2.1

任意角的三角函数

(一) 角的三角函数,有六个: 三角函数 正弦 余弦 正切 符号 sin cos tan 三角函数 正割 余割 余切 符号 sec csc cot 常用的是前三个:正弦、余弦、正切,这 也是我们要学习研究的。 (二) 在初中阶段,研究定义角的正弦、余弦及 正切,以直角三角形为背景,以角的对边、 邻边及斜边的

关系来表示,即: A 角 A 的正弦: sinA = 余弦: cosA = C B 正切: tanA =
对边 邻边 邻边 斜边 对边 斜边

(四) 将角的三角函数用角的终边与单位圆交 点的横、纵坐标来表示,与之前的用对边、 邻边、斜边来研究正弦、余弦、正切,并不 矛盾,反而是统一的;前者是一般情形,后 者是特殊具体的。 y A P(x,y) O M C x

= AB

BC

将直角三角形的锐角顶点与坐标原点重 合,一条直角边与 x 轴非负半轴重合,斜边 OA 交单位圆于 P(x,y) ,由相似性可知: sin∠AOC = AC PM = = PM = y OA OP
OC OM OP PM

=

AC AB

cos∠AOC = OA =
AC

= OM = x
y

=

BC AB

tan∠AOC = OC = OM = x

通过角的对边、 邻边及斜边的关系定义角 的三角函数,往往要求角是锐角;现在将角 的范围扩充为任意角----正角、负角、零角, 单纯从钝角考察, 三角形做背景已不再适用. 任意角作为研究对象, 要求角的三角函数适 应它作相应的调整. (三) 单位圆 任意角的终边 以坐标原点为圆心 以坐标原点为顶 以 1 为半径做圆 点,以 x 轴非负 (单位圆) 半轴为始边,画出 角α的终边. y 角α的终边与单位 P(x,y) 圆交于 P,利用几 α 何知识求交点 P 的 O x 坐标为(x,y)

(五) 角α终边交单位圆于 P(x,y) M(x0 ,y0 )为终边上的任意一点 作PQ ⊥ x 轴于 Q,MN ⊥ x 轴于 N y P M M y P O x O x sinα = y = PQ = OM sinα = y = OP = OM = cosα = x = =
y0
2 x2 0 +y 0

OP

MN

PQ y0

MN

=

2 x2 0 +y 0

OQ OP x0

= OM cosα = x = ? OP = ? OM = ? =
x0
2 x2 0 +y 0

ON

OQ

ON

(?x 0 )
2 x2 0 +y 0

2 x2 0 +y 0

定义: (1)y 叫做角的正弦,即 = (2)x 叫做角的余弦,即=x (3) 叫做角的正切值,即 =


tanα = =
x

y

PQ OQ y

=

MN ON

tanα = = ?
x

y

PQ OQ

= x0
0

= ? ON = x 0
0

MN

y

y O P M sinα = y = ? = ? OM =
MN PO OP

y x O P M sinα = y = ? = ? OM = cosα = x = = OM =
y OQ MN PQ OP

y x O P

T MA x 在有向线段的 规定情况下,有 sinα = y = MP cosα = x = OM A x tanα = x = AT T 其中 OM 以 O 始点,M 为终点 MP 以 M 为始点 P 为终点; A x AT 以 A 为始点 T 为终点.
y

y0
2 x2 0 +y 0

y0
2 x2 0 +y 0

y P M O

cosα = x = ? = ? OM = tanα = x = OQ =
MN ON y PQ ON

OQ OP x0
2 x2 0 +y 0

OQ OP x0

2 x2 0 +y 0

tanα = x = ? OQ = ? ON = x 0
0

PQ

y T M P O

= x0
0

y

MN

y

规律:任意角的三角函数并不取决于 终边上点的位置,可以是终边与单位圆 交点,也可以是终边上的任意一点. 定义:设点 P( , )是角终边上任意 一点,R 是 P 点到坐标原点的距离,则 =


y O MA P T x

=



=



已知任意角终边 已知任意角位置 上任意一点坐标 可判断任意角三角 可求任意角的三 函数正负号.即: 角函数值. ①第一象限角,终边 在第一象限,点的横纵坐标均为正,第一 象限角的正弦、余弦、正切均为正; ②第二象限角,正弦> 0,余弦、正切< 0; ③第三象限角,正弦、余弦< 0,正切> 0; ④第四象限角,正弦、正切< 0,余弦> 0. (六) 任意角的三角函数可以通过终边与单位 圆的交点坐标或者终边上任意一点的坐标 定量研究;在给定一些初始条件的情况下, 我们也可以定性的研究任意角的三角函数. 初始条件: ①P 为终边与单位圆的交点,PM ⊥ x 轴于 M;过点 A(1,0)作单位圆的切线 AT 交终边 或终边的反向延长线于 T; ②OM、MP、AT 为带有方向的线段,其中, OM 与 x 轴同向时,有正方向,取值为正; MP 与 y 轴同向时,有正方向,取值为正;

(七) 任意角的三角函数 ? ? 定量计算 定性比较 ? ? ? 求终边与 已知终边 三角函数线 单位圆交 上任意一 正弦线 点坐标 点坐标 余弦线 正切线 ? ? 优点: 优点: 层次鲜明 计算量少 缺点: 缺点: 计算繁琐 多解 ? 求正弦 余弦 正切值 (考试重点) 或判断正 负号


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