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全国中学生物理竞赛集锦(光学)


全国中学生物理竞赛集锦(光学)

第 21 届预赛 2004.9.5 一、(15 分)填空

1.d.一个可见光光子的能量的数量级为_________J。 2.已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的 80%。试判断下列说法是否正确,并简述理由。

a.

反射光子数为入射光子数的 80%;

>
b.每个反射光子的能量是入射光子能量的 80%。

六、(15 分)有一种高脚酒杯,如图所示。杯内底面为一凸起的球面,球心在顶点

O 下方玻璃中的 C 点,球面的半径 R=1.50cm,O 到杯口平面的距离为 8.0cm。在杯
脚底中心处 P 点紧贴一张画片,P 点距 O 点 6.3cm。这种酒杯未斟酒时,若在杯口处 向杯底方向观看,看不出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向观 看,将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率 n1=1.56,酒的折射率 n2=1.34。试 通过分析计算与论证解释这一现象。

第 21 届复赛

四、 (20 分)目前, 大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的 长条状,通常称为激光二极管条.但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束,光能分布很不集中, 不利于传输和应用. 为了解决这个问题, 需要根据具体应用的要求, 对光束进行必需的变换 (或称整形) 如 . 果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束,对半导体激光的传输和应用将是非 常有意义的.为此,有人提出了先把多束发散光会聚到一点,再变换为平行光的方案,其基本原理可通过 如下所述的简化了的情况来说明. 如图,S1、S2、S3 是等距离(h)地排列在一直线上的三个点光源,各自向垂直于它们的连线的同一方 向发出半顶角为 a =arctan 的圆锥形光束. 请使用三个完全相同的、 焦距为 f = 1.50h、 半径为 r =0.

75 h 的圆形薄凸透镜,经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜,使三束光都能全部投射到这个 组合透镜上,且经透镜折射后的光线能全部会聚于 z 轴(以 S2 为起点,垂直于三个点光源连线,与光束中 心线方向相同的射线)上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点.(加工时可对透镜进行外形的改变,但不能改 变透镜焦距.) 1.求出组合透镜中每个透镜光心的位置.

2. 说明对三个透镜应如何加工和组装, 并求出有关 数据.

第 20 届预赛

一、 (20 分)两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置,如图所 示. 已知 L1 的焦距 f1=f , L2 的焦距 f2=—f, 两透镜 间距离也是 f. 小物体位于物面 P 上, 物距 u1 =3f.

(1)小物体经这两个透镜所成的像在 L2 的_______ ___边,到 L2 的距离为_________,是__________倍 (虚或实)、____________像(正或倒),放大率 为_________________。

(2)现在把两透镜位置调换,若还要给定的原物体在原像处成像,两透镜作为整体应沿光轴向_________ ___边移动距离_______________.这个新的像是____________像(虚或实)、______________像(正或倒) 放大率为________________。

第 20 届复赛

四、(20 分)如图所示,一半径为 率为

、折射

的玻璃半球,放在空气中,平表面 的区域被涂黑. 一平行光束

中央半径为

垂直入射到此平面上,正好覆盖整个表 面. 为以球心 为原点,与平而垂直 上玻璃半球右边有光线通过的各点(有光线段)和无光线通过的各

的坐标轴.通过计算,求出坐标轴 点 (无光线段) 的分界点的坐标.

第 19 届预赛

五、(20 分)图预 19-5 中,三 棱镜的顶角 为 60°, 在三棱镜

两侧对称位置上放置焦距均为

的两个完全相同的凸透镜 L1 和 L2.若在 L1 的前焦面上距主光轴下方 色点光源 ,已知其像 与 对该光学系统是左右对称的.试求该三棱镜的折射率.

处放一单

第 19 届复赛

五、(20 分)薄凸透镜放在空气中时,两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同, 其折射率分别为 等,其值分别为 现有一个薄凸透镜 和 和 ,则透镜两侧各有一个焦点(设为 。 和 ),但 、 和透镜中心的距离不相

,已知

此凸透镜对平行光束起会聚 作用,在其左右两侧介质的 折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。

1.试求出此时物距

,像距

,焦距



四者之间的关系式。

2.若有一傍轴光线射向透镜中心,已知它与透镜主轴的夹角为 角 多大?

,则与之相应的出射线与主轴的夹

3.







四者之间有何关系?

六、(20 分)在相对于实验室静止的平面直角坐标系 标原点 的电子.在

中,有一个光子,沿

轴正方向射向一个静止于坐 ,光速为 ,入射光子的能

轴方向探测到一个散射光子.已知电子的静止质量为

量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1/10.

1.试求电子运动速度的大小 为已知量)的 点所经历的时间

,电子运动的方向与 .

轴的夹角

;电子运动到离原点距离为

(作

2.在电子以 1 中的速度 开始运动时,一观察者 向运动(即 相对于电子静止),试求 测出的

相对于坐标系

也以速度

沿

中电子运动的方

的长度.

第 18 届预赛

三、(18 分)一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射后,会聚于透镜 的折射率 。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12 处,求最后所成象的位置。

处,透镜

第 18 届复赛

一、 22 分) ( 有一放在空气中的玻璃棒, 折射率 的凸球面.

, 中心轴线长

, 一端是半径为

1.要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望 远系统),取中心轴线为主光轴,玻璃棒另一端应磨成什么样的球面?

2.对于这个玻璃棒,由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度 的平行光束与主光轴成小角度,求

时,从棒射出

(此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率).

第 17 届预赛

三、(15 分)有一水平放置的平行平面玻璃板 射率 。在其下表面下 2.0 cm 处有一小物 , 其焦距

,厚 3.0 cm,折 ;在玻璃扳上方

有一薄凸透镜

, 透镜的主轴与玻璃板面垂直;

位于透镜的主轴上,如图预 17-3 所示。若透镜上方的观察者顺 着主轴方向观察到 为多少? 的像就在 处,问透镜与玻璃板上表面的距离

第 17 届复赛

二、(20 分)如图复 17-2 所示,在真空中有一个折射率为 ( 的质地均匀的小球。频率为 传播,直线 小球体表面的点 与小球球心 的细激光束在真空中沿直线 的距离为 ( ),光束于



为真空的折射率)、半径为

点经折射进入小球(小球成为光传播的介 点又经折射进入真空.设激光束的

质),并于小球表面的点

频率在上述两次折射后保持不变.求在两次折射过程中激光束 中一个光子对小球作用的平均力的大小.

六、(25 分)普通光纤是一种可传输光的 圆柱形细丝, 由具有圆形截面的纤芯 包层 组成, 的折射率小于 和

的折射

率,光纤的端面和圆柱体的轴垂直,由一 端面射入的光在很长的光纤中传播时,在 纤芯 和包层 的分界面上发生多次全 的折

反射. 现在利用普通光纤测量流体 射端)浸在流体

射率.实验方法如下:让光纤的一端(出 中.令与光纤轴平行的 单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入 射端面的中心 ,经端面折射进入光纤, 出发的光束为圆锥 ,

在光纤中传播. 由点

形,已知其边缘光线和轴的夹角为

如图复 17-6-1 所示.最后光从另一端面出射进入流体 璃屏 ,在 上出现一圆形光斑,测出其直径为 ,如图复 17-6-2 所示. 和 和 的折射率分别为 与

.在距出射端面

处放置一垂直于光纤轴的毛玻 处,再测出

,然后移动光屏

至距光纤出射端面

圆形光斑的直径 1.若已知 2.若 、

,求被测流体

的折射率

的表达式.

均为未知量,如何通过进一步的实验以测出

的值?

第 16 届预赛

五、(15 分)一平凸透镜焦距为 为

,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它

处,垂直于主轴放置一高

的物,其下端在透镜的主轴上(如图预 16-5)。

1.

用作图法画出物经镀银透镜所成的像,

并标明该像是虚、是实。

2.

用计算法求出此像的位置和大小。

第 16 届复赛

二、(25 分)两个焦距分别是



的薄透镜



,相距为

,被共轴地安置在光具座上。 1. 若 2. 根据所得结果,分别

要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该入射光线应满足什么条件? 画出各种可能条件下的光路示意图。 全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案 第 21 届预赛 2004.9.5
-19

一、1. d. 10

2. a 正确,b 不正确。理由:反射时光频率 n 不变,这表明每个光子能量 hn 不变。 评分标准:本题 15 分,第 1 问 10 分,每一空 2 分。第二问 5 分,其中结论占 2 分,理由占 3 分。

六、把酒杯放平,分析成像问题。 1.未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为 n1 和 n0=1。在图 1 中,P 为画片中心,由 P 发 出经过球心 C 的光线 PO 经过顶点不变方向进入空气中;由 P 发出的与 PO 成 a 角的另一光线 PA 在 A 处折 射。设 A 处入射角为 i,折射角为 r,半径 CA 与 PO 的夹角为 q ,由折射定律和几何关系可得

n1sini=n0sinr q =i+a
在△PAC 中,由正弦定理,有

(1)

(2)

(3) 考虑近轴光线成像,a、i、r 都是小角度,则有

(4)

(5)

由(2)、(4)、(5)式、n0、nl、R 的数值及

cm 可得 (6) (7)

q =1.31i r =1.56i
由(6)、(7)式有

r >q

(8)

由上式及图 1 可知,折射线将与 PO 延长线相交于 P?,P? 即为 P 点的实像.画面将成实像于 P? 处。 在△CAP? 中,由正弦定理有

(9) 又有

r=q +b

(10)

考虑到是近轴光线,由(9)、(l0)式可得

(11)

又有

(12) 由以上各式并代入数据,可得

cm

(13)

由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距 O 点 7.9 cm 处。已知 O 到杯口平面的距离为 8. 0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画片上的景物。

2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为 n1 和 n2,如图 2 所示,考虑到近轴 光线有

(14) 代入 n1 和 n2 的值,可得

r=1.16i
与(6)式比较,可知

(15)

r <q

(16)

由上式及图 2 可知,折射线将与 OP 延长线相交于 P?,P? 即为 P 点的虚像。画面将成虚像于 P? 处。计算 可得

(17)

又有

(18)

由以上各式并代入数据得

cm

(19)

由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于 P?处,距 O 点 13cm.即距杯口 21 cm。虽然该虚像还要因酒液 平表面的折射而向杯口处拉近一定距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处向杯底方向观看时, 可以看到画片上景物的虚像。

评分标准:

本题 15 分.求得(13)式给 5 分,说明“看不出”再给 2 分;求出(l9)式,给 5 分,说明“看到”再给 3 分。

第 21 届复赛

四、 考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 1. 3 个透镜都成实像于 P 点的要求,组合透镜所 在的平面应垂直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光源的连线, 2 位于 z 轴上, O 如图 1 所示. 图中 、 表示组合透镜的平面,



为三个光束中心光线与该平面

的交点. 像公式

= u 就是物距.根据透镜成

(1)

可解得

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点,来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉,必须有 2ut ana ≤h 即 u≤2h.在上式中取“-”号,代入 f 和 L 的值,算得

≈1.757h (2)

此解满足上面的条件.

分别作 3 个点光源与 P 点的连线.为使 3 个 点光源都能同时成像于 P 点,3 个透镜的光心 O1、

O2、O3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1).由几
何关系知,有

(3) 即光心 O1 的位置应在 之下与 的距离为

(4) 同理,O3 的位置应在 之上与 的距离为 0.146h 处.由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离

必须等于 0.854h,才能使 S1、S2、S3 都能成像于 P 点. 2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3 加工组装成组合透镜.

因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它们的光心分别放置到 O1、O2、O3 处时,由于



=0.

854h<2r,透镜必然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,然后再将它们粘起来,才能满足 (3)式的要求.由于对称关系,我们只需讨论上半部分的情况. 图 2 画出了 L1、L2 放在
2

平面内时相互交叠的情况(纸面为

平面).图中 C1、C2 表示 L1、L

的边缘,



为光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别为 C1、C2 与 O1O2 的交点.

为圆心的圆 1 和以 其半径均为

(与 O2 重合) 为圆心的圆 2 分别是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,

(5)

根据题意,圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜.首先,圆 1 的 K 点(见图 2)是否落在 L1 上?由几 何关系可知

(6)

故从 S1 发出的光束能全部进入 L1.为了保证全部光束能进入透镜组合,对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分.

下面举出一种对透镜进行加工、 组装的方法. O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的 在 切线 和 . 若沿位于 和 之间且与它们平行的任意直线 对透镜 L1 和 L2 进行切割, 去

掉两透镜的弓形部分,然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部.同理,对 L2 的下半部和

L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来,就得到符合需要的整个组合透镜.这个组合透镜可以将 S1、 S2、S3 发出的全部光线都会聚到 P 点.

现在计算



的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件. 设透镜 L1 被切去部分沿 ,

O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图 2 所示,则对任意一条切割线 x1、x2 之和为

(7)

由于

必须在



之间,从图 2 可看出,沿

切割时,x1 达最大值(x1M),x2 达最小值(x2m),

代入 r,r 和

的值,得 (8)

代入(7)式,得 (9)

由图 2 可看出,沿

切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m),

代入 r 和 r 的值,得

(10) (11) 由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同.

评分标准:

本题 20 分.第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分,(3)式 5 分,

第 2 问 10 分,其中(5)式 3 分,(6)式 3 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式共 1 分.

如果学生解答中没有(7)—(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留,透镜 其它部分可根据需要磨去(或切割掉)”给 3 分,再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=

O1O2=0.854h,再给 1 分,即给(7)—(11)式的全分(4 分).

第 20 届预赛

一、参考解答

(1) 右

f





1



(2) 左

2f





1



评分标准:本题 20 分,每空 2 分。

第 20 届复赛

四、参考解答

图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进入的区域),光 线在球面上的入射角和折射角分别为 和 的距离为 ,根据折射定律,有 , 折射光线与坐标轴的交点在 。 令轴上 的距离为 ,

(1)





(2)

(3)

由式 (1) (2) 和式 得

再由式(3)得



点到

的距离为

,有



(4)

解式(4)可得

(5)

为排除上式中应舍弃的解,令

,则

处应为玻璃半球在光轴

上的傍轴焦点,由上式

由图可知,应有

,故式(5)中应排除±号中的负号,所以

应表示为

(6)

上式给出 随

变化的关系。

因为半球平表面中心有涂黑的面积, 所以进入玻璃半球的光线都有 点最远处的坐标为

, 其中折射光线与

轴交

(7)

在轴上

处,无光线通过。

随 增大,球面上入射角 增大,当 大于临界角 相应的光线有

时,即会发生全反射,没有折射光线。与临界角

这光线的折射线与轴线的交点处于

(8)

在轴



处没有折射光线通过。

由以上分析可知,在轴

上玻璃半球以右

(9)

的一段为有光线段,其它各点属于无光线段。



就是所要求的分界点,如图复解 20-4-2 所示

评分标准:本 题 20 分。

求得式 (7) 并 指出在 上 轴 处

无光线通过, 给 10 分;求得式(8)并指出在

轴上

处无光线通过,给 6 分;得到式(9)并指出

上有光线段的位置,给 4 分。

第 19 届预赛

五、参考解答

由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部 分与光轴平行。由 射向 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对称性可知





由几何关系得



由图可见



又从

的边角关系得



代入数值得



由②、③、④与⑥式得



根据折射定律,求得



评分标准:本题 20 分

1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。

2. ①、②、③、④式各给 2 分,⑤式 给 3 分,⑥式给 1 分,⑦式给 4 分。

第 19 届复赛

五、参考解答

利用焦点的性质,用作图法可求得小物

的像

,如下图所示。

(1) 用 分别表示物和像的大小,则由图中的几何关系可得 和

(1)

简化后即得物像距公式,即







之间的关系式

(2)

(2)薄透镜中心附近可视为筹薄平行板,入射光线经过两次折射后射出,放大后的光路如图复解 19 -5-2 所示。图中 为入射角, 为与之相应的出射角, 为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折

射率为 ,则由折射定律得

(3)

对傍轴光线,



≤1,得



,因而得

(4)

(3)由物点

射向中心

的入射线,经

折射后,出射线应射向

,如图复解 19-5-3 所示,

在傍轴的条件下,有

(5)

二式相除并利用(4)式,得

(6)

用(1)式的

代入(6)式,得



(7)

用(1)式的

代入(6)式,得



(8)

从而得







之间关系式

(9)

六、参考解答

(1)由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为

(1)

由此可解得

(2)

入射光子和散射光子的动量分别为 如图复解 19-6 所示。电子的动量为 量。由动量守恒定律可得 ,



,方向

为运动电子的相对论质

(3)

(4)

已知

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式可解得

(6)

(7)

(8)

电子从

点运动到

所需时间为

(9)

(2)当观察者相对于

沿

方向以速度

运动时,由狭义相对论的长度收缩效应得

(10)

(11)

第 18 届预赛

三、参考解答

1.先求凸球面的曲率半径 交主光轴于

。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发生折射,它在球面上发生折射, 点为球面的球心, ,由正弦定理,可得

点,如图预解 18-3-1 所示。

(1)

由折射定律知

(2)

当 、

很小时,





,由以上两式得

(3)

所以

(4)

2. 凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜,如图预解 18-3-2 所 示



表示物所在位置,

点经平面折射成像

,根据折射定律可推出

(5)

由于这是一个薄透镜, 可得

与凹面镜的距离可认为等于

,设反射后成像于

,则由球面镜成像公式

(6)

由此可解得 成实像于 点。

,可知

位于平面的左方,对平面折射来说,

是一个虚物,经平面折射后,

(7)

所以

(8)

最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。

评分标准:本题 18 分

(1)、(2)式各 2 分;(3)或(4)式 2 分;(5)式 2 分;(6)式 3 分;(7)式 4 分;(8)式 3 分。


全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案

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