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二项式定理


二项式定理
一、与通项有关的一些问题 例 1.在

习题精选

的展开式中,指出:1)第 4 项的二项式系数,

2)第 4 项的系数, 3)求常数项

解:展开式的通项 1) ,二项式系数为 ; . ;

为展开式中的第 r+1 项.

2)由 1)

知项的系数为 3)令 6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为

例 2.若 理项.

的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有

分析:通项为

,

∵前三项的系数为

,且成等差,





解得:n=8.

从而

,要使 Tr+1 为有理项,则 r 能被 4 整除.

1

例 3.1)求

的常数项;2)求(x2+3x+2)5 的展开式中 x 的系数.

解:1)

通项 令 6-2r=0, ∴ 常数项为 2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 r=3, .



∴ 展开式中含 x 项由(x+1)5 中常数项乘(x+2)5 的一次项与(x+1)5 的一次项乘 (x+2)5 的常数项相加得到, 即为 , 因而其系数为 240.

例 4.(a+b+c)10 的展开式中,含 a5b3c2 的系数为_________.

分析:根据多项式相乘的特点,从(a+b+c)10 的十个因式中选出 5 个因式中的 a, 三个因式中的 b,两个因式中的 c 得到,从而 a5b3c2 的系数为 .

小结:三项式的展开,或者转化为二项式展开,或者采用得到二项式定理的方 法去解决.

例 5.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100 的展开式中 x3 的系数为______. 分析:(法一)展开式中 x3 项是由各二项展开式中含 x3 项合并而形成.因而系数 为

(法二)不妨先化简多项式,由等比数列求和公式:

原式=

, .

要求 x3 项只要求分子的 x4 项,因而它的系数为
2

二、有关二项式系数

的问题.

例 6.(2x+xlgx)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 1120,则 x=____. 分析:二项式系数最大的为第 5 项,

解得:x=1 或

.

例 7.

的展开式中系数最大的项为第_____项.

分析:展开式中项的系数不同于二项式系数,只能用数列的分析方法. 设第 r+1 项的系数最大,



解得:



∴r=7,且此时上式两个等号都不能取得, 因而第 8 项系数最大. 三、赋值法:

例 8.已知 1)求 a0, 3)求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 5)|a0|+|a1|+……+|a5| 2)求 a1+a2+a3+a4+a5 4)求 a1+a3+a5

分析:1)可以把(1-2x)5 用二项式定理展开求解. 从另一个角度看,a0 为 x=0 时右式的结果,因而令 x=0, ∴ (1-0)5=a0, ∴a0=1.

3

2)令 x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又 a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.

3)令 x=1,得 a0+a1+a2+……+a5=-1 (*) 令 x=-1, 得 35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2

4)联立(*),(**)两方程,解得 a1+a3+a5=-122. 5) 因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5 的展开式的所有系数和, ∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.

小结:①求展开式的系数和只需令 x=1 可解; ② 赋值法也需合情合理的转化. 例 9.已知 其中 b0+b1+b2+……+bn=62, 则 n=_________. 分析:令 x=1,则 由已知, 2n+1-2=62, ∴ n=5. ∴ 2n+1=64, , ,

例 10.求 分析:研究其通项

的展开式中有理项系数的和. .

显然当 r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n 的奇数项的 系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn ,
4

令 t=1,即 3n=a0+a1+a2+……+an 令 t=-1,即 1=a0-a1+a2-……+(-1)nan

上两式相加,解得奇数项系数和 四、逆用公式

.

例 11.求值 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解: 例 12.求值: 分析:注意将此式还原成二项展开式的结构

原式=

五、应用问题 例 13.求证:32n+2-8n-9 能被 64 整除. 证明:

能被 64 整除. 例 14.9192 除以 100 的余数为________. 分析:9192=(90+1)92

∴ 被 9192100 除的余数为 81. 小结:若将 9192 整理成(100-9)92

5

随之而来又引出一新问题,即 992 被 100 除的余数是多少,所以运算量较大. 例 15.求 0.9983 的近似值(精确到 0.001) 解:

典型例题
例 1、 已知二项式 列,求此展开式中所有的有理项。 展开式中,末三项的系数依次成等差数

解:二项展开式的通项公式为

由此得二项展开式中末三项的系数分别为





依题意得 注意到这里 ,故得 n=8



设第 r+1 项为有理项,则有 x 的幂指数 ∴ r=0,4,8, ∴ 这里 T1,T5,T9 为有理项, 又由通项公式得:

为整数,





∴ 所求二项展开式中的有理项分别为





点评:二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题,一般都要运用通项公式。若 (λ为相对常数,x 为变量),则当 g(n,r)为自然数时 项;当 g(n,r)为整数时
6

为整式

为有理项。

例 2、 已知 试求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项; (3)系数最大的项。

的展开式中奇数项的二项式系数之和等于 512,

解:由题意得 ∴n=10 ∴二项展开式的通项公式为 (1) ∵n=10, ∴二项展开式共 11 项 ∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大 又

∴所求二项式系数最大的项为

(2)设第 r+1 项系数的绝对值

最大,

则有

解之得
7

,注意到



故得 r=3 ∴ 第 4 项系数的绝对值最大 ∴ 所求系数绝对值最大的项为

(3)由通项公式的特征可知,系数最大的项应在项数为奇数的项内, 即在 r 取偶数的各项内 又 r 取偶数 0,2,4,6,8,10 时,相应的各项系数分别为 , , , ,,

即分别为 1,







由此可知,系数最大的项为第 5 项(r=4),


点评: (1)解决二项式问题要注意区分两种系数:一种是某一项的系数,按通常的多项式系 数去理解、认定;一种是某项的二项式系数,仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特 殊情况下方为同一数值。

(2)这里

展开式中系数绝对值最大的项,实际上是

展开

式中系数最大的项,必要时可适时转化。 (3)本题解法“一题两制”:对于(2),我们运用一般方法进行推导;对于(3), 我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数 n 数值较小时, (3)的解法颇为实用。 例 3、 已知 a>0,b>0,2m+n=0, ,且在 的展开式中系数最大

的项是常数项,求

的取值范围。

解:设二项展开式中 ∴ 依题意令 则将已知式
8

为常数项, ① 代入①得 ②

注意到这里

,由②得 r=4

∴ 展开式中系数最大的项是

于是有

因此可知,所求 例 4、 求证: (1) 能被

的取值范围为

整除



(2) 证明: (1)为利用二项式定理,对 ∵ 于是有 ,且 , ∴ 中的底数 n 变形为两数之和(或差)。

(※) 注意到 ,且 ,故 能被 整除; ,

因此由(※)式知 (2) 证法一(倒序相加法): 设



注意到二项式系数的性质: 将①式右边各项倒序排列: ①+②得
9



= ∴ 即 证法二(分项求和法): 注意到左边各项的相同结构,且各项的通项:

据此变形左边各项得 右边 = = = = ∴原等式成立 点评:证明组合恒等式,除去利用二项公式这一组合的母函数外,上述两种方法(特 别是证法二)是基本证明方法。 例 5、设 ①展开式中各二项式系数的和; ②展开式中各项系数的和; ③ ④ ⑤ 的值 的值 的值 ,求 右边

解:令 ①注意到这里 n=200,故展开式中各二项式系数的和

②展开式中各项系数的和 ③ 注意到

10





④仿③得 又

解法一(直面原式): ∴ 又 ∴ 再由二项式的展开式知, ∴



点评:对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中 系数的和,一般可根据问题的具体情况,对未知数 x 赋予适当的数值,运用特取法求出和 式的值。 例 6、 化简下列各式 (1) (2) 分析: 注意到二项展开式中各项的特征: , 其中 b 的方幂与组合数上标相同。 ;

为利用二项式公式求解,依次对原式实施凑因子和凑项,即使各项中有关因子的方幂等于 组合数上标,又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。 解: (1)令 x= 则 ∴
11



, 即

故得

(2)令 x= 则 由 得 ∴



故得

即 点评:对于组合数系数成等比数列的组合式求和,一般是在适当作以凑因子或凑项的 构造之后,运用二项式公式本身化简或求值。 例 7、 试求下列二项展开式中指定项的系数:

(1) (2) (3) (4) (5) 解:

的展开式中 的展开式中

项的系数; 项的系数; 的展开式中 项的系数;

的展开式中 x 项的系数; 的展开式中 项的系数;

(1)借助“配方转化”:原式 ∴原展开式中
12

项的系数,即

展开式中

项的系数

又 令 ∴

展开式的通项公式为 得 r=3 展开式中 项的系数为-960;

∴ 所求原展开式中

(2)注意到 原式

的幂指数 3 较小,借助“局部展开”:

∴ 展开式中

的系数为

=-590 (3)解法一(求和转化):

原式 ∴ 所求原展开式中 ∴ 所求展开式中 项的系数即为 项的系数为 展开式中 项的系数,

解法二(集零为整): 考察左式各部,展开式中 项的系数为

(4) 解法一(两次利用二项式定理):

设展开式中第 r+1 项为含有 x 的项, 又
13

∴ 要使 x 的幂指数为 1,必须且只需 r=1 即 而 展开式中的常数项为 ,故得

原展开式中 x 的系数为 解法二(利用求解组合应用题的思路):

注意到 ∴ 欲求 展开式中 x 的一次项,只要从上式右边 5 个因式中有 1 个因式

取 3x,其余四个因式都取常数 2 即可。 ∴ 原展开式中 x 的一次项为 ∴ 所求原展开式中 x 的系数为 240; (5) 解法一(两次利用二项展开式的通项公式): 注意到 其展开式的通项 又 ② 依题意 ,
的 展 开 式 的 通 项



由此解得



, 项的系数为

∴ 由①、②得所求展开式中

解法二(利用因式分解转化):

∴ 所求即为

展开式中

的系数, 的系数为

于是利用“局部展开”可得其展开式中

14

=-168 小结:多项展开式中某一项系数的主要求法 (1)等价转化:配方转化;求和转化;分解转化;化整为零。 (2)局部展开; (3)两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式; (4)借助求解组合应用题的思想

例 8、 已知数列

的通项

是二项式



的展开式中所有 x 的

次数相同的各项的系数之和,求数列

的通项公式及前 n 项和公式。

解:将



的展开式按升幂形式写出 ①

② 由②可知,只有 开式中 x 的次数相同。 ∴ 由①、②得 的展开式中出现 的偶数次幂时,才能与 的展



∴ 所求数列

的通项公式为



其前 n 项和公式为 五、高考真题 (一)选择题
15

1.(2005·全国卷 III )在 A. –14 B. 14

的展开式中 C. –28

的系数是( D. 28



分析:对于多项展开式中某一项的总数的寻求, “ 化整为零 ” 为基本方法之一, ,又 为 , 的系数为 的系数为 ,应选 B。 的展开式中 的系数

∴ 原展开式中

2.(2005·江苏卷)设 k=1,2,3,4,5,则 ( ) A. 10 B. 40 C. 50

的展开式中 D. 80

的系数不可能是

分析:立足于二项展开式的通项公式: ∴ 当 k=1 时,r=4, 当 k=2 时,r=3, 当 k=3 时,r=2, 当 k=4 时,r=1, ∴ 综上可知应选 C。 点评:关于二项展开式中某一项的问题,一般要利用二项展开式的通项公式。 的系数为 的系数为 的系数为 的系数为 ; ; 。 ;

3.(2005·浙江卷)在 系数为( A. 74 ) B. 121 C. –74

的展开式中, D. –121

的项的

分析:考虑求和转化,原式 又 的展开式中 的展开式中 ∴ 原展开式中 系数为 系数为 ,应选 D。

项的系数为

4.(2005·重庆)若
16

展开式中含

项的系数与含

项的系数之比为-5,

则 n 等于( A. 4

) B. 6

C. 8

D. 10

分析:设第 r+1 项是含

的项,

又 ∴ 这一项的系数为 ,且 ①

再设第 s+1 项是含

的项,则

∴ 这一项的系数为

,且



∴ 由①、②得

,故



又由①、②得

∴ 化简得 于是由③、④解得 n=6,r=4,故选 B。 ④

5.(2005·山东卷)如果 的系数是( A. 7 ) B. –7

的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 C. 21 D. –21

分析:设 则 ∴ 由已知得 ∴



,解得 n=7

17

令 ∴

得 r=6. ,故所求系数为 ,应选 C。

6.(2004·福建卷)若 值是( )

的展开式的第 3 项为 288,则



A. 2

B. 1

C.

D.

分析:由题设



,应选 A。 (二)填空题

1.(2005·福建卷)

展开式中的常数项是

(用数字作答)

分析:

当 ∴

得 r=2. ,即所求常数项为 240。

2.(2004·重庆卷)若在

展开式中

系数为-80,则 a=



解: ∴ 当 r=3 时有 ∴ 由题设得 ∴ a=-2,即应填-2。 18

3.(2005·湖北卷)

的展开式中整理后的常数项为



解法一(运用两个计数原理),展开后的常数项分为三类:

(1)5 个式子均取

,则有



(2)5 个式子中一个取

,一个取

,三个取

,则有



(3)5 个式子中两个取

,两个取

,一个取

,则有

∴ 它们的和为

,即为所求常数项。

解法二(变形,转化为二项式问题),当 x>0 时,

∴ 当 5-r=0,即 r=5.

则所求常数项为

4.(2004·天津卷)若

, = 。(用数字作答)



解:设 则 ∴ 原式 ,应填 2004。 ,

19


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