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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:8-4 直线、平面平行的判定及性质


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第4课时

直线、平面平行的判定及性质

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2

014?考纲下载

1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点,认识和理解 空间中线面平行的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的 简单命题.

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请注意!

近 年 来 , 高 考 题 由 考 查 知 识 向 考 查 能 力 方 向 转 变 , 题 目 新 颖 多 变 , 灵 活 性 强 . 立 体 几 何 试 题 一 般 都 是 综 合 直 线 和 平 面 , 以 及 简单几何体的内容于一体,经常是以简单几何体作为载体,全面 考查线面关系.

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1.直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 1 ( ) 定 义 : 直 线 与 平 面 2 ( ) 判 定 定 理 :

没有公共点 , 则 称 直 线 平 行 平 面 ;


a?α,b?α,a∥b?a∥α
α∥β,a?α?a∥β.

3 ( ) 其 他 判 定 方 法 :

2.直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 定 理

a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l

.

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3.两个平面平行的判定定理 1 ( ) 定 义 : 两 个 平 面 2 ( ) 判 定 定 理 : 一 个 平 面 内 的 平面平行,则这两个平面平行; 3 ( ) 推 论 : 一 个 平 面 内 的
两条相交直线 没有公共点 ,称这两个平面平行; 两条相交直线

, 与 另 一 个

分 别 平 行 于

另一个平面内的 两条相交直线 ,则这两个平面平行.

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4.两 个 平 面 平 行 的 性 质 定 理 如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 与 第 三 个 平 面 相 交 , 那 么 它 们 的 交 线 平行 . 5.与 垂 直 相 关 的 平 行 的 判 定 定 理 1 ( ) a⊥α,b⊥α? a∥b ; 2 ( ) a⊥α,a⊥β? α∥β .

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1.(课 本 习 题 改 编

)给 出 下 列 四 个 命 题 :

①若 一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 , 则 这 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行 ; ②若 一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 , 则 这 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行 ; ③若 平 面 外 的 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 , 则 这 条 直 线 和 这 个 平 面 平 行 ;

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④若两条平行直线中的一条与一个 平 面 平 行 , 则 另 一 条 也 与 这个平面平行. 其中正确命题的个数是________个.
答案 1

解析 命题①错,需说明这条直线在平面外. 命题②错,需说明这条直线在平面外. 命题③正确,由线面平行的判定定理可知. 命题④错,需说明另一条直线在平面外.

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2.(课 本 习 题 改 编 )已 知 不 重 合 的 直 线

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a,b 和 平 面

α,

①若 a∥α,b?α, 则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α, 则 a∥b; ③若 a∥b,b?α, 则 a∥α; ④若 a∥b,a?α, 则 b∥α 或 b?α, 上 面 命 题 中 正 确 的 是
答案 ④

_ _ _ _ _ _ _ _ (

填 序 号 ).

解析 ①若 a∥α,b?α,则 a,b 平行或异面;②若 a∥α, b∥α,则 a,b 平行、相交、异面都有可能;③若 a∥b,b?α, a∥α 或 a?α.
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3.若 P 为异面直线 a,b 外 一 点 , 则 过 的平面( )

P 且与 a,b 均平行

A.不存在 C.可以有两个
答案 B

B.零个或一个 D. 有 无 数 多 个

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4.在正方体 A B C D

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-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 C1C,

B1C1,C1D1 的中点,求证:平面 M N P ∥平面 A1BD.
答案 略

证 明

方 法 一 :

如 图1 ( ) 所 示 , 连 接 D1C1,B1C1 的 中 点 ,

B1D1.

∵P,N 分 别 是 ∴PN∥B1D1.

又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN?平面 A1BD,BD?平 面 A1BD, ∴PN∥平面 A1BD.同 理 : MN∥平 面 A1BD. 又 PN∩MN=N,∴平 面 P M N ∥平 面 A1BD.
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方 法 二 : 如 图 ∵A B C D 2 ( ) 所 示 , 连 接

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AC1,AC,

-A1B1C1D1 为 正 方 体 ,

∴AC⊥BD. 又 CC1⊥平 面 A B C D ∴AC 为 AC1 在 平 面 同 理 可 证 , A B C D 上 的 射 影 , ∴AC1⊥BD.

AC1⊥A1B, AC1⊥平 面 P M N .

∴AC1⊥平 面 A1BD.同 理 可 证 ∴平 面 P M N ∥平 面 A1BD.

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5 . 2 ( 0 1 3 · 所 在 的 平 面 , 辽宁)如 图 所 示 , C是 圆 O上 的 点 .

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AB 是 圆 O的 直 径 ,

PA 垂 直 圆

O

1 ( ) 求 证 : BC⊥平 面 P A C ; 2 ( ) 设 Q 为 PA 的 中 点 , 面 PBC. G 为△A O C 的 重 心 , 求 证 : QG∥平

答案 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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解 析

1 ( ) 由 AB 是 圆 O的 直 径 , 得

AC⊥BC.

由 PA⊥平面 ABC,BC?平 面 A B C , 得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平 面 P A C ,AC?平 面 PAC, 所 以 BC⊥平 面 P A C .

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2 ( ) A O C 连 接 OG 并 延 长 交

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AC 于 M, 连 接

QM,QO,由 G 为△

的 重 心 , 得

M 为 AC 中 点 . QM∥PC. OM∥BC.

由 Q 为 PA 中 点 , 得 由 O 为 AB 中 点 , 得

因 为 QM∩MO=M,QM?平 面 Q M O , MO?平 面 Q M O ,BC∩PC=C, BC?平 面 PBC,PC?平 面 PBC, 所 以 平 面 Q M O ∥平 面 PBC. QG∥平 面 PBC.
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因 为 QG?平 面 Q M O , 所 以
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例1 2 ( 0 1 2 ·

辽宁)如 图 所 示 , 直 三 棱 柱

ABC-A′B′C′,

∠BAC=9 0 ° , AB=AC=λ A A ′, 点 M, N 分别为 A′B 和 B′C′ 的中点. 证明:MN∥平面 A′A C C ′.

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【 证 明 】 AB=AC, 三 棱 柱 中 点 . 又 因 为

证 法 一 : 连 接

AB′,AC′, 因 为 ∠BAC=9 0 ° , M 为 AB′

ABC-A′B′C′为 直 三 棱 柱 , 所 以

N 为 B′C′的 中 点 , 所 以

MN∥AC′.

又 MN?平 面 A′A C C ′,AC′?平 面 A′A C C ′, 因 此 MN∥平 面 A′A C C ′.

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证 法 二 : 取

A′B′中 点 P, 连 接

MP,NP.因 为 M,N 分 别

为 A′B 与 B′C′的 中 点 , 所 以

MP∥AA′,PN∥A′C′,所

以 MP∥平 面 A′A C C ′,PN∥平 面 A′A C C ′. 又 MP∩NP=P, 因 此 平 面 M P N ∥平 面 A′A C C ′.而 MN?平 面 M P N , 因 此

MN∥平 面 A′A C C ′.
【答案】 略

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探究 1 判断或证明线面平行的常用方法有: 1 ( ) 利 用 线 面 平 行 的 定 义 2 ( ) 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 3 ( ) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理 4 ( ) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 (无公共点); (a?α,b?α,a∥b?a∥α); (α∥β,a?α?a∥β); (α∥β,a?β,a∥α?a∥β).

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思考题 1 1 ( ) 正方形 A B C D 于 AB,在 AE、BD 上 各 有 一 点 平面 B C E .

与 正 方 形

ABEF 所在平面相交

P、Q,且 AP=DQ.求 证 : PQ∥

【思路】 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的 判定定理,也可利用面面平行的性质.

【证明】 方法一:如图所示. 作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N, 连接 MN.
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∵正 方 形 A B C D 和 正 方 形

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ABEF 有 公 共 边

AB,∴AE=BD.

又 AP=DQ,∴PE=QB. PM PE QB QN BQ 又 PM∥AB∥QN,∴ AB =AE=BD,DC=BD. PM QN ∴ AB =DC. ∴PM 綊 QN, 即 四 边 形 P M N Q 为 平 行 四 边 形 .

∴PQ∥MN.又 MN?平 面 B C E ,PQ?平 面 B C E , ∴PQ∥平面 B C E .
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方 法 二 : 如 图 所 示 , 连 接 连 接 EK. ∵AE=BD,AP=DQ, AP DQ ∴PE=BQ,∴PE= BQ .

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AQ, 并 延 长 交

BC 延 长 线 于

K,

DQ AQ AP AQ 又 AD∥BK,∴ BQ =QK,∴PE=QK,∴PQ∥EK. 又 PQ?平面 B C E ,EK?平 面 B C E , ∴PQ∥平面 B C E .

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方 法 三 : 如 图 所 示 , 在 平 面 交 AB 于 点 M, 连 接 QM.

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ABEF 内 , 过 点

P 作 PM∥BE,

∴PM∥平 面 B C E . 又∵平 面 ABEF∩平 面 B C E =BE, AP AM ∴PM∥BE,∴PE=MB. 又 AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ. AP DQ AM DQ ∴PE= BQ ,∴MB= QB .

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∴MQ∥AD.又 AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平 面 B C E .又 PM∩MQ=M, ∴平 面 P M Q ∥平 面 B C E .又 PQ?平 面 P M Q , ∴PQ∥平面 B C E .
【答案】 略

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2 ( ) 如 图 所 示 , 在 正 方 体 A B C D

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—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD

上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN∥平面 AA1B1B.

【 证 明 】

方 法 一 :

如 右 图 , 作

ME∥BC,交 BB1 于 E;作

NF∥AD,交 AB 于 F, 连 接

EF, 则 EF?平 面 AA1B1B.

∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN.

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ME B1M NF BN ∵ BC = B C ,AD=BD, 1 ME BN NF ∴ BC =BD=AD,∴ME=NF. 又 ME∥BC∥AD∥NF, ∴四 边 形 M E F N 为 平 行 四 边 形 .

∴NM∥EF.又∵MN?面 AA1B1B,EF?平 面 AA1B1B, ∴MN∥平 面 AA1B1B.

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方 法 二 : 如 图 所 示 , 连 接

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CN 并 延 长 交

BA 的 延 长 线 于 点

P,

连 接 B1P, 则 B1P?平 面 AA1B1B. ∵ △ NDC∽△N B P , DN CN ∴ NB = NP.又 CM=DN, CM DN CN B1C=BD,MB = NB =NP , 1 ∴MN∥B1P.∵B1P?平 面 AA1B1B, MN?平 面 AA1B1B, ∴MN∥平 面 AA1B1B.
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方 法 三 :

如 右 图 , 作

MP∥BB1, 交 BC 于 点 P, 连 接

NP.

CM CP ∵MP∥BB1,∴MB = PB. 1 ∵BD=B1C,DN=CM, CM DN ∴B1M=BN.∵MB = NB , 1 CP DN ∴ PB= NB ,∴NP∥DC∥AB. ∴平 面 M N P ∥平 面 AA1B1B.∴MN∥平 面 AA1B1B.
【答案】 略
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例 2 如图所示,a,b 是异面直线,A、C 与 B、D 分别是 a, b上 的 两 点 , 直 线 a∥平面 α, 直 线 b∥平面 α, AB∩α=M, CD∩α

=N,求证:若 AM=BM,则 CN=DN.

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【 证 明 】 连 接 AD 交 平 面

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α于E点 , 并 连 接

ME,NE.

∵b∥α,ME?平 面 A B D , 平 面

α∩面 ABD=ME,

∴ME∥BD.又 在 △ABD 中 AM=MB, ∴AE=ED.即 E 是 AD 的 中 点 . 又 a∥α,EN?平 面 A C D , 平 面 ∴EN∥AC, 而 E 是 AD 的 中 点 . ∴N 必 是 CD 的 中 点 ,
【答案】 略

α∩面 A D C =EN,

∴CN=DN.

探究 2 已知直线与平面平行,若用线面平行的性质定理, 则首先过直线找一个平面与已知平面相交.
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思考题 2 如 图 所 示 , 在 三 棱 柱

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ABC-A1B1C1 中,E 为 AC

上一点,若 AB1∥平面 C1EB,求:AE∶EC.

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【 解 析 】

连 接 B1C 交 BC1 于点 F,

则 F 为 B1C 中 点 . ∵AB1∥平 面 C1EB, AB1?平 面 AB1C, 且 平 面 C1EB∩平 面 AB1C=EF.

∴AB1∥EF,∴E 为 AC 中 点 . ∴AE∶EC=1∶1 .
【答案】 1∶1

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例 3 如图所示,正方体 A B C D

—A1B1C1D1 中,M、N、E、

F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求证:平面 A M N ∥平面 E F D B .

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【 证 明 】

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连 接 MF,∵M、F 是 A1B1、C1D1 的 中 点 , 四 边

形 A1B1C1D1 为 正 方 形 , ∴MF 綊 A1D1.又 A1D1 綊 AD, ∴MF 綊 AD. ∴四 边 形 A M F D 是 平 行 四 边 形 .

∴AM∥DF. ∵DF?平面 E F D B ∴AM∥平 面 E F D B ,AM?平 面 E F D B , 同 理
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, .
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AN∥平 面 E F D B
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又 AM、AN?平面 A N M ,AM∩AN=A, ∴平面 A M N ∥平面 E F D B
【答案】 略

.

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探 究 3 证 明 面 面 平 行 的 方 法 有 :

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1 ( ) 面 面 平 行 的 定 义 ; 2 ( ) 面 面 平 行 的 判 定 定 理 : 如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 直 线 都 平 行 于 另 一 个 平 面 , 那 么 这 两 个 平 面 平 行 ; 3 ( ) 利 用 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 ; 4 ( ) 如 果 两 个 平 面 同 时 平 行 于 第 三 个 平 面 , 那 么 这 两 个 平 面 平 行 ; 5 ( ) 利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相 互 转 化 .
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思考题 3 为底面 A B C D

如图所示,在正方体 A B C D

-A1B1C1D1 中,O

的 中 心 ,

P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点, D1BQ∥平面 P A O ?

问:当点 Q 在 什 么 位 置 时 , 平 面

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【 解 析 】 证 明 如 下 : ∵Q 为 CC1 的 中 点 , ∴QB∥PA. ∵P、O 分 别 为 DD1、DB 的 中 点 , 当 Q 为 CC1 的 中 点 时 , 平 面

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D1BQ∥平 面 P A O .

P 为 DD1 的 中 点 , ∴D1B∥PO.

又∵D1B?平 面 P A O ,PO?平 面 P A O ,QB?平 面 P A O ,PA? 平 面 P A O , ∴D1B∥平 面 P A O ,QB∥平 面 P A O . 又 D1B∩QB=B,D1B、QB?平面 D1BQ, ∴平 面 D1BQ∥平 面 P A O .

【答案】

Q 为 CC1 的 中 点 时 , 平 面
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D1BQ∥平面 P A O .
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例4 如 图 所 示 , 平 面

α∥平面 β,点 A∈α,C∈α,点 B∈ AE∶EB=CF∶

β,D∈β,点 E、F 分别在线段 AB,CD 上 , 且 FD. 求证:EF∥β.

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【 证 明 】

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①当 AB,CD 在 同 一 平 面 内 时 , =AC,

由 α∥β,α∩平 面 A B D C β∩平 面 A B D C

=BD,∴AC∥BD.

∵AE∶EB=CF∶FD, ∴EF∥BD.又 EF?β,BD?β,∴EF∥β. ②当 AB 与 CD 异 面 时 , 设 平 面 A C D ∩β=DH, 且 DH=AC, =AC,∴AC∥DH.

∵α∥β,α∩平 面 A C D H

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∴四边形 A C D H 在 AH 上 取 一 点

是 平 行 四 边 形 . G,使 AG∶GH=CF∶FD,

又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH. 又 EG∩GF=G,∴平面 EFG∥平面 β. ∵EF?平面 EFG,∴EF∥β.综上,EF∥β.
【答案】 略

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探 究 4

在 应 用 面 面 平 行 、 线 面 平 行 的 性 质 时 , 应 准 确 构 造 3的 有 关 知 识 , 本 例 中 对 AB 和 CD 位

平 面 , 此 处 需 要 利 用 公 理

置 关 系 的 讨 论 具 有 一 定 的 代 表 性 , 可 见 分 类 讨 论 的 思 想 在 立 体 几 何 中 也 多 有 体 现 . 本 题 构 造 了 从 面 面 平 行 转 化 为 线 线 平 行 , 再 通 过 线 线 平 行 的 行 的 定 义 证 明 “积 累 ”上 升 为 面 面 平 行 , 然 后 利 用 线 面 、 面 面 平 “一 个 平 面 内 的 直 线 , 平 行 于 另 一 个 平 面 ”这 一 结

论 . 本 题 设 计 精 巧 , 转 化 目 的 明 确 , 具 有 一 定 的 代 表 性 .

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思考题 4

已知:如图所示,斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,

点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点. A1D1 1 ( ) 当D C 的值等于何值时,BC1∥平面 AB1D1; 1 1 AD 2 ( ) 若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求DC的值.

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【 解 析 】 =1, 连 接 1 ( ) 如 图 所 示 , 取

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D1 为 线 段 A1C1 的 中 点 , 此 时 OD1.

A1D1 D1C1

A1B 交 AB1 于 点 O, 连 接

由 棱 柱 的 性 质 , 知 四 边 形 为 A1B 的 中 点 . 在△A1BC1 中 , 点 ∴OD1∥BC1.

A1ABB1 为 平 行 四 边 形 , 所 以 点

O

O、D1 分 别 为

A1B、A1C1 的 中 点 ,

又∵OD1?平 面 AB1D1,BC1?平 面 AB1D1, ∴BC1∥平 面 AB1D1. A1D1 ∴D C =1 时 , BC1∥平 面 AB1D1. 1 1
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2 ( ) 由 已 知 , 平 面 且 平 面

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BC1D∥平 面 AB1D1,
1=BC1,

A1BC1∩平 面 B D C

平 面 A1BC1∩平 面 AB1D1=D1O, 因 此 BC1∥D1O, 同 理 AD1∥DC1.

A1D1 A1O A1D1 DC ∴D C = OB ,D C =AD . 1 1 1 1 A1O DC AD 又∵ OB =1,∴AD =1, 即 DC=1 . A1D1 【答案】 1 ( ) D C =1 时,BC1∥平面 AB1D1. 1 1

AD 2 ( ) DC=1
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1.平 行 问 题 的 转 化 关 系

2. 直 线 与 平 面 平 行 的 重 要 判 定 方 法 : ①定 义 法 ; ②判 定 定 理 ; ③面 与 面 的 平 行 性 质 .

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3.平面与平面平行的主要判定方法: ①定 义 法 ; ②判 定 定 理 ; ③推 论 ; ④ a ⊥ α , a ⊥ β ? α ∥ β. 各

种关系能相互转化,特别要关注转化所需条件是什么. 4. 可 以 考 虑 向 量 的 工 具 性 作 用 , 量解决,可使问题简化. 能 用 向 量 的 尽 可 能 应 用 向

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1. 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ①若 直 线 ②若 直 线 ③若 直 线 行 ; a不 在 α内 , 则 l上 有 无 数 个 点 不 在 平 面 l与 平 面 α平 行 , 则 _ _ _ _ _ _ _ _ a∥α;

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α内 , 则

l∥α;

l与α内 的 任 意 一 条 直 线 都 平

④如 果 两 条 平 行 线 中 的 一 条 与 一 个 平 面 平 行 , 那 么 另 一 条 也 与 这 个 平 面 平 行 ; ⑤若 l 与 平 面 点 ; ⑥平 行 于 同 一 平 面 的 两 直 线 可 以 相 交 .
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α平 行 , 则

l与α内 任 何 一 条 直 线 都 没 有 公 共

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答案 ⑤⑥

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解 析

a∩α=A 时 , a不 在 α内 , ∴ ①错 ; 直 线

l 与 α 相交 l

时 , l上 有 无 数 个 点 不 在 平 行 或 异 面 , 故

α内 , 故 ②错 ; l∥α 时 , α内 的 直 线 与

③错 ; a∥b,b∥α 时 , a∥α 或 a?α, 故 ④错 ; ∴l 与 α 内 任 何 一 条 直 线 都 无 公 共 点 , A1C1 与 B1D1 都与平面 A B C D 平

l∥α,则 l 与 α 无 公 共 点 , ⑤正 确 ; 如 图 所 示 , 长 方 体 中 , 行 ,∴ ⑥正 确 .

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2.2 ( 0 1 4 · 和 平 面

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合肥一检)给 出 下 列 关 于 互 不 相 同 的 直 线

l 、m 、 n

α、β、γ 的 三 个 命 题 : l?α,m?β, 则 α∥β;

①若 l 与 m 为 异 面 直 线 ,

②若 α∥β,l?α,m?β, 则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ, 则 m∥n. 其 中 真 命 题 为
答案 ③

_ _ _ _ _ _ _ _



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解 析

①中 当 α与β不 平 行 时 , 也 能 存 在 符 合 题 意 的

l、m.

②中 l 与 m 也 可 能 异 面 . l∥γ ? ? l?β ??l∥m, β∩γ=m? ?

③中

同 理 l∥n, 则 m∥n, 正 确 .

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3.2 ( 0 1 3 ·

安徽)如图所示,正方体 A B C D

—A1B1C1D1 的棱长

为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S. 则下列命题正确的是 ________(写出所有正确命题的编号).

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1 ①当 0 < CQ<2时 , S为 四 边 形 ; 1 ②当 CQ=2时 , S为 等 腰 梯 形 ; 3 ③当 CQ=4时 , S 与 C1D1 的 交 点 3 ④当4<CQ<1 时 , S为 六 边 形 ; ⑤当 CQ=1 时 , S的 面 积 为
答案 ①②③⑤

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1 R满 足 C1R=3;

6 2.

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解 析

过 A 作 AM∥PQ 交 DD1 或 A1D1 于 M. MQ, 则 截 面 为 A M Q P ,

1 当0 < CQ<2时 , M 在 DD1 上 , 连 接 故①正 确 . 1 当 CQ=2时 , M 与 D1 重 合 , 截 面 为 形 , ②正 确 . 3 当 CQ=4时 , M 在 A1D1 上 , 且

AD1QP, 显 然 为 等 腰 梯

1 D1M=3.

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过 M 作 MR∥AP 交 C1D1 于 R, 则 △MD1R∽ △ PBA, 从 而 2 1 D1R=3, 即 C1R=3, 故 ③正 确 . 3 当4<CQ<1 时 , 截 面 为 A M R Q P , 为 五 边 形 , 即 A M C
1P

④错 误 . 为菱形,而

当 CQ=1 时 , M 为 A1D1 的 中 点 , 截 面 AC1= 3,PM= 2, 故 面 积 为

1 6 确 . 2× 3× 2= 2 ,⑤正

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4. 如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥 P—A B C D 点 E 在 PD 上 , 且 PE∶ED=2∶1, 在 棱

中,

PC 上是否存在一点 F,

使 BF∥平面 AEC? 证 明 你 的 结 论 .

答案

当 F 是棱 PC 的 中 点 时 ,

BF∥平面 A E C .

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解 析 证 明 : 取 当F是 棱 PC 的 中 点 时 , PE 的 中 点 M, 连 接

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BF∥平 面 A E C . FM, 则 FM∥CE.①

1 由 EM=2PE=ED, 知 E 是 MD 的 中 点 . 连 接 BM,BD, 设 BD∩AC=O, 则 O 为 BD 的 中 点 , 连 接 所 以 BM∥OE.② 由①,②知 , 平 面 BFM∥平 面 AEC. BF∥平 面 AEC. OE,

又 BF?平 面 BFM, 所 以

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5 . 2 ( 0 1 2 · 为 正 三 角 形 , 山东)如 图 所 示 , 几 何 体 CB=CD,EC⊥BD.

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E—A B C D

是 四 棱 锥 ,

△ABD

1 ( ) 求 证 : BE=DE; 2 ( ) 若∠B C D =1 2 0 ° ,M 为 线 段 面 BEC. AE 的 中 点 , 求 证 : DM∥平

答案 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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解 析 1 ( ) 如 图 所 示 , 取 BD 的 中 点 为 CO⊥BD.

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O, 连 接

CO,EO.

由 于 CB=CD, 所 以

又 EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平 面 E O C , 所 以 BD⊥平 面 E O C . 因 此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的 中 点 , 所 以 BE=DE.

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2 ( ) 方 法 一 : 如 图 所 示 , 取 MN. 因 为 M 是 AE 的 中 点 , 所 以 MN∥BE.

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AB 的 中 点

N, 连 接

DM,DN,

又 MN?平 面 BEC,BE?平 面 B E C , 所 以 MN∥平 面 BEC. 又 因 为 △ABD 为 正 三 角 形 , 所 以 ∠B D N =3 0 ° . 又 CB=CD,∠B C D =1 2 0 ° , 因 此 ∠C B D =3 0 ° . 所 以 DN∥BC.
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又 MN∩DN=N, 故 平 面 D M N ∥平 面 B E C .

又 DM?平 面 D M N , 所 以 DM∥平 面 BEC.

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方 法 二 : 如 图 所 示 , 延 长

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AD,BC 交 于 点

F, 连 接

EF.

因 为 CB=CD,∠B C D =1 2 0 ° , 所 以 ∠C B D =3 0 ° . 因 为 △ABD 为 正 三 角 形 , 所 以 ∠BAD=6 0 ° ,∠ABC=9 0 ° . 因 此 ∠AFB=3 0 ° . 1 所 以 AB=2AF.

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又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点. 连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的中点, 因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF?平面 B E C , 所以 DM∥平面 BEC.

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课时作业(五十一 )

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