《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件：8-4 直线、平面平行的判定及性质

高考调研

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第4课时

直线、平面平行的判定及性质

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2

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1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解 空间中线面平行的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的 简单命题．

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请注意！

近 年 来 ， 高 考 题 由 考 查 知 识 向 考 查 能 力 方 向 转 变 ， 题 目 新 颖 多 变 ， 灵 活 性 强 ． 立 体 几 何 试 题 一 般 都 是 综 合 直 线 和 平 面 ， 以 及 简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面 考查线面关系.

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1．直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 1 ( ) 定 义 ： 直 线 与 平 面 2 ( ) 判 定 定 理 ：

没有公共点 ， 则 称 直 线 平 行 平 面 ；
；

a?α，b?α，a∥b?a∥α
α∥β，a?α?a∥β.

3 ( ) 其 他 判 定 方 法 ：

2．直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 定 理

a∥α，a?β，α∩β＝l?a∥l

.

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3．两个平面平行的判定定理 1 ( ) 定 义 ： 两 个 平 面 2 ( ) 判 定 定 理 ： 一 个 平 面 内 的 平面平行，则这两个平面平行； 3 ( ) 推 论 ： 一 个 平 面 内 的
两条相交直线 没有公共点 ，称这两个平面平行； 两条相交直线

， 与 另 一 个

分 别 平 行 于

另一个平面内的 两条相交直线 ，则这两个平面平行．

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4．两 个 平 面 平 行 的 性 质 定 理 如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 与 第 三 个 平 面 相 交 ， 那 么 它 们 的 交 线 平行 ． 5．与 垂 直 相 关 的 平 行 的 判 定 定 理 1 ( ) a⊥α，b⊥α? a∥b ； 2 ( ) a⊥α，a⊥β? α∥β .

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1．(课 本 习 题 改 编

)给 出 下 列 四 个 命 题 ：

①若 一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 则 这 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行 ； ②若 一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 ， 则 这 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行 ； ③若 平 面 外 的 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 则 这 条 直 线 和 这 个 平 面 平 行 ；

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④若两条平行直线中的一条与一个 平 面 平 行 ， 则 另 一 条 也 与 这个平面平行． 其中正确命题的个数是________个．
答案 1

解析 命题①错，需说明这条直线在平面外． 命题②错，需说明这条直线在平面外． 命题③正确，由线面平行的判定定理可知． 命题④错，需说明另一条直线在平面外．

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2．(课 本 习 题 改 编 )已 知 不 重 合 的 直 线

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a，b 和 平 面

α，

①若 a∥α，b?α， 则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α， 则 a∥b； ③若 a∥b，b?α， 则 a∥α； ④若 a∥b，a?α， 则 b∥α 或 b?α， 上 面 命 题 中 正 确 的 是
答案 ④

_ _ _ _ _ _ _ _ (

填 序 号 )．

解析 ①若 a∥α，b?α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α， b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b?α， a∥α 或 a?α.
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3．若 P 为异面直线 a，b 外 一 点 ， 则 过 的平面( )

P 且与 a，b 均平行

A．不存在 C．可以有两个
答案 B

B．零个或一个 D． 有 无 数 多 个

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4．在正方体 A B C D

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－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1C，

B1C1，C1D1 的中点，求证：平面 M N P ∥平面 A1BD.
答案 略

证 明

方 法 一 ：

如 图1 ( ) 所 示 ， 连 接 D1C1，B1C1 的 中 点 ，

B1D1.

∵P，N 分 别 是 ∴PN∥B1D1.

又 B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又 PN?平面 A1BD，BD?平 面 A1BD， ∴PN∥平面 A1BD.同 理 ： MN∥平 面 A1BD. 又 PN∩MN＝N，∴平 面 P M N ∥平 面 A1BD.
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方 法 二 ： 如 图 ∵A B C D 2 ( ) 所 示 ， 连 接

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AC1，AC，

－A1B1C1D1 为 正 方 体 ，

∴AC⊥BD. 又 CC1⊥平 面 A B C D ∴AC 为 AC1 在 平 面 同 理 可 证 ， A B C D 上 的 射 影 ， ∴AC1⊥BD.

AC1⊥A1B， AC1⊥平 面 P M N .

∴AC1⊥平 面 A1BD.同 理 可 证 ∴平 面 P M N ∥平 面 A1BD.

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5 . 2 ( 0 1 3 · 所 在 的 平 面 ， 辽宁)如 图 所 示 ， C是 圆 O上 的 点 ．

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AB 是 圆 O的 直 径 ，

PA 垂 直 圆

O

1 ( ) 求 证 ： BC⊥平 面 P A C ； 2 ( ) 设 Q 为 PA 的 中 点 ， 面 PBC. G 为△A O C 的 重 心 ， 求 证 ： QG∥平

答案 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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解 析

1 ( ) 由 AB 是 圆 O的 直 径 ， 得

AC⊥BC.

由 PA⊥平面 ABC，BC?平 面 A B C ， 得 PA⊥BC. 又 PA∩AC＝A，PA?平 面 P A C ，AC?平 面 PAC， 所 以 BC⊥平 面 P A C .

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2 ( ) A O C 连 接 OG 并 延 长 交

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AC 于 M， 连 接

QM，QO，由 G 为△

的 重 心 ， 得

M 为 AC 中 点 ． QM∥PC. OM∥BC.

由 Q 为 PA 中 点 ， 得 由 O 为 AB 中 点 ， 得

因 为 QM∩MO＝M，QM?平 面 Q M O ， MO?平 面 Q M O ，BC∩PC＝C， BC?平 面 PBC，PC?平 面 PBC， 所 以 平 面 Q M O ∥平 面 PBC. QG∥平 面 PBC.
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因 为 QG?平 面 Q M O ， 所 以
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例1 2 ( 0 1 2 ·

辽宁)如 图 所 示 ， 直 三 棱 柱

ABC－A′B′C′，

∠BAC＝9 0 ° ， AB＝AC＝λ A A ′， 点 M， N 分别为 A′B 和 B′C′ 的中点． 证明：MN∥平面 A′A C C ′.

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【 证 明 】 AB＝AC， 三 棱 柱 中 点 ． 又 因 为

证 法 一 ： 连 接

AB′，AC′， 因 为 ∠BAC＝9 0 ° ， M 为 AB′

ABC－A′B′C′为 直 三 棱 柱 ， 所 以

N 为 B′C′的 中 点 ， 所 以

MN∥AC′.

又 MN?平 面 A′A C C ′，AC′?平 面 A′A C C ′， 因 此 MN∥平 面 A′A C C ′.

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证 法 二 ： 取

A′B′中 点 P， 连 接

MP，NP.因 为 M，N 分 别

为 A′B 与 B′C′的 中 点 ， 所 以

MP∥AA′，PN∥A′C′，所

以 MP∥平 面 A′A C C ′，PN∥平 面 A′A C C ′. 又 MP∩NP＝P， 因 此 平 面 M P N ∥平 面 A′A C C ′.而 MN?平 面 M P N ， 因 此

MN∥平 面 A′A C C ′.
【答案】 略

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探究 1 判断或证明线面平行的常用方法有： 1 ( ) 利 用 线 面 平 行 的 定 义 2 ( ) 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 3 ( ) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理 4 ( ) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 (无公共点)； (a?α，b?α，a∥b?a∥α)； (α∥β，a?α?a∥β)； (α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．

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思考题 1 1 ( ) 正方形 A B C D 于 AB，在 AE、BD 上 各 有 一 点 平面 B C E .

与 正 方 形

ABEF 所在平面相交

P、Q，且 AP＝DQ.求 证 ： PQ∥

【思路】 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的 判定定理，也可利用面面平行的性质．

【证明】 方法一：如图所示． 作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N， 连接 MN.
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∵正 方 形 A B C D 和 正 方 形

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ABEF 有 公 共 边

AB，∴AE＝BD.

又 AP＝DQ，∴PE＝QB. PM PE QB QN BQ 又 PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE＝BD，DC＝BD. PM QN ∴ AB ＝DC. ∴PM 綊 QN， 即 四 边 形 P M N Q 为 平 行 四 边 形 ．

∴PQ∥MN.又 MN?平 面 B C E ，PQ?平 面 B C E ， ∴PQ∥平面 B C E .
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方 法 二 ： 如 图 所 示 ， 连 接 连 接 EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ .

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AQ， 并 延 长 交

BC 延 长 线 于

K，

DQ AQ AP AQ 又 AD∥BK，∴ BQ ＝QK，∴PE＝QK，∴PQ∥EK. 又 PQ?平面 B C E ，EK?平 面 B C E ， ∴PQ∥平面 B C E .

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方 法 三 ： 如 图 所 示 ， 在 平 面 交 AB 于 点 M， 连 接 QM.

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ABEF 内 ， 过 点

P 作 PM∥BE，

∴PM∥平 面 B C E . 又∵平 面 ABEF∩平 面 B C E ＝BE， AP AM ∴PM∥BE，∴PE＝MB. 又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ. AP DQ AM DQ ∴PE＝ BQ ，∴MB＝ QB .

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∴MQ∥AD.又 AD∥BC， ∴MQ∥BC，∴MQ∥平 面 B C E .又 PM∩MQ＝M， ∴平 面 P M Q ∥平 面 B C E .又 PQ?平 面 P M Q ， ∴PQ∥平面 B C E .
【答案】 略

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2 ( ) 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 A B C D

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—A1B1C1D1 中，点 N 在 BD

上，点 M 在 B1C 上，且 CM＝DN，求证：MN∥平面 AA1B1B.

【 证 明 】

方 法 一 ：

如 右 图 ， 作

ME∥BC，交 BB1 于 E；作

NF∥AD，交 AB 于 F， 连 接

EF， 则 EF?平 面 AA1B1B.

∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.

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ME B1M NF BN ∵ BC ＝ B C ，AD＝BD， 1 ME BN NF ∴ BC ＝BD＝AD，∴ME＝NF. 又 ME∥BC∥AD∥NF， ∴四 边 形 M E F N 为 平 行 四 边 形 ．

∴NM∥EF.又∵MN?面 AA1B1B，EF?平 面 AA1B1B， ∴MN∥平 面 AA1B1B.

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方 法 二 ： 如 图 所 示 ， 连 接

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CN 并 延 长 交

BA 的 延 长 线 于 点

P，

连 接 B1P， 则 B1P?平 面 AA1B1B. ∵ △ NDC∽△N B P ， DN CN ∴ NB ＝ NP.又 CM＝DN， CM DN CN B1C＝BD，MB ＝ NB ＝NP ， 1 ∴MN∥B1P.∵B1P?平 面 AA1B1B， MN?平 面 AA1B1B， ∴MN∥平 面 AA1B1B.
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方 法 三 ：

如 右 图 ， 作

MP∥BB1， 交 BC 于 点 P， 连 接

NP.

CM CP ∵MP∥BB1，∴MB ＝ PB. 1 ∵BD＝B1C，DN＝CM， CM DN ∴B1M＝BN.∵MB ＝ NB ， 1 CP DN ∴ PB＝ NB ，∴NP∥DC∥AB. ∴平 面 M N P ∥平 面 AA1B1B.∴MN∥平 面 AA1B1B.
【答案】 略
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例 2 如图所示，a，b 是异面直线，A、C 与 B、D 分别是 a， b上 的 两 点 ， 直 线 a∥平面 α， 直 线 b∥平面 α， AB∩α＝M， CD∩α

＝N，求证：若 AM＝BM，则 CN＝DN.

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【 证 明 】 连 接 AD 交 平 面

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α于E点 ， 并 连 接

ME，NE.

∵b∥α，ME?平 面 A B D ， 平 面

α∩面 ABD＝ME，

∴ME∥BD.又 在 △ABD 中 AM＝MB， ∴AE＝ED.即 E 是 AD 的 中 点 ． 又 a∥α，EN?平 面 A C D ， 平 面 ∴EN∥AC， 而 E 是 AD 的 中 点 ． ∴N 必 是 CD 的 中 点 ，
【答案】 略

α∩面 A D C ＝EN，

∴CN＝DN.

探究 2 已知直线与平面平行，若用线面平行的性质定理， 则首先过直线找一个平面与已知平面相交．
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思考题 2 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱

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ABC－A1B1C1 中，E 为 AC

上一点，若 AB1∥平面 C1EB，求：AE∶EC.

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【 解 析 】

连 接 B1C 交 BC1 于点 F，

则 F 为 B1C 中 点 ． ∵AB1∥平 面 C1EB， AB1?平 面 AB1C， 且 平 面 C1EB∩平 面 AB1C＝EF.

∴AB1∥EF，∴E 为 AC 中 点 ． ∴AE∶EC＝1∶1 .
【答案】 1∶1

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例 3 如图所示，正方体 A B C D

—A1B1C1D1 中，M、N、E、

F 分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点． 求证：平面 A M N ∥平面 E F D B .

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【 证 明 】

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连 接 MF，∵M、F 是 A1B1、C1D1 的 中 点 ， 四 边

形 A1B1C1D1 为 正 方 形 ， ∴MF 綊 A1D1.又 A1D1 綊 AD， ∴MF 綊 AD. ∴四 边 形 A M F D 是 平 行 四 边 形 ．

∴AM∥DF. ∵DF?平面 E F D B ∴AM∥平 面 E F D B ，AM?平 面 E F D B ， 同 理
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， .
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AN∥平 面 E F D B
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又 AM、AN?平面 A N M ，AM∩AN＝A， ∴平面 A M N ∥平面 E F D B
【答案】 略

.

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探 究 3 证 明 面 面 平 行 的 方 法 有 ：

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1 ( ) 面 面 平 行 的 定 义 ； 2 ( ) 面 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 直 线 都 平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 ； 3 ( ) 利 用 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 ； 4 ( ) 如 果 两 个 平 面 同 时 平 行 于 第 三 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 ； 5 ( ) 利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相 互 转 化 ．
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思考题 3 为底面 A B C D

如图所示，在正方体 A B C D

－A1B1C1D1 中，O

的 中 心 ，

P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点， D1BQ∥平面 P A O ?

问：当点 Q 在 什 么 位 置 时 ， 平 面

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【 解 析 】 证 明 如 下 ： ∵Q 为 CC1 的 中 点 ， ∴QB∥PA. ∵P、O 分 别 为 DD1、DB 的 中 点 ， 当 Q 为 CC1 的 中 点 时 ， 平 面

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D1BQ∥平 面 P A O .

P 为 DD1 的 中 点 ， ∴D1B∥PO.

又∵D1B?平 面 P A O ，PO?平 面 P A O ，QB?平 面 P A O ，PA? 平 面 P A O ， ∴D1B∥平 面 P A O ，QB∥平 面 P A O . 又 D1B∩QB＝B，D1B、QB?平面 D1BQ， ∴平 面 D1BQ∥平 面 P A O .

【答案】

Q 为 CC1 的 中 点 时 ， 平 面
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D1BQ∥平面 P A O .
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例4 如 图 所 示 ， 平 面

α∥平面 β，点 A∈α，C∈α，点 B∈ AE∶EB＝CF∶

β，D∈β，点 E、F 分别在线段 AB，CD 上 ， 且 FD. 求证：EF∥β.

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【 证 明 】

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①当 AB，CD 在 同 一 平 面 内 时 ， ＝AC，

由 α∥β，α∩平 面 A B D C β∩平 面 A B D C

＝BD，∴AC∥BD.

∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD.又 EF?β，BD?β，∴EF∥β. ②当 AB 与 CD 异 面 时 ， 设 平 面 A C D ∩β＝DH， 且 DH＝AC， ＝AC，∴AC∥DH.

∵α∥β，α∩平 面 A C D H

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∴四边形 A C D H 在 AH 上 取 一 点

是 平 行 四 边 形 ． G，使 AG∶GH＝CF∶FD，

又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH. 又 EG∩GF＝G，∴平面 EFG∥平面 β. ∵EF?平面 EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.
【答案】 略

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探 究 4

在 应 用 面 面 平 行 、 线 面 平 行 的 性 质 时 ， 应 准 确 构 造 3的 有 关 知 识 ， 本 例 中 对 AB 和 CD 位

平 面 ， 此 处 需 要 利 用 公 理

置 关 系 的 讨 论 具 有 一 定 的 代 表 性 ， 可 见 分 类 讨 论 的 思 想 在 立 体 几 何 中 也 多 有 体 现 ． 本 题 构 造 了 从 面 面 平 行 转 化 为 线 线 平 行 ， 再 通 过 线 线 平 行 的 行 的 定 义 证 明 “积 累 ”上 升 为 面 面 平 行 ， 然 后 利 用 线 面 、 面 面 平 “一 个 平 面 内 的 直 线 ， 平 行 于 另 一 个 平 面 ”这 一 结

论 ． 本 题 设 计 精 巧 ， 转 化 目 的 明 确 ， 具 有 一 定 的 代 表 性 ．

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思考题 4

已知：如图所示，斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，

点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点． A1D1 1 ( ) 当D C 的值等于何值时，BC1∥平面 AB1D1； 1 1 AD 2 ( ) 若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求DC的值．

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【 解 析 】 ＝1， 连 接 1 ( ) 如 图 所 示 ， 取

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D1 为 线 段 A1C1 的 中 点 ， 此 时 OD1.

A1D1 D1C1

A1B 交 AB1 于 点 O， 连 接

由 棱 柱 的 性 质 ， 知 四 边 形 为 A1B 的 中 点 ． 在△A1BC1 中 ， 点 ∴OD1∥BC1.

A1ABB1 为 平 行 四 边 形 ， 所 以 点

O

O、D1 分 别 为

A1B、A1C1 的 中 点 ，

又∵OD1?平 面 AB1D1，BC1?平 面 AB1D1， ∴BC1∥平 面 AB1D1. A1D1 ∴D C ＝1 时 ， BC1∥平 面 AB1D1. 1 1
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2 ( ) 由 已 知 ， 平 面 且 平 面

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BC1D∥平 面 AB1D1，
1＝BC1，

A1BC1∩平 面 B D C

平 面 A1BC1∩平 面 AB1D1＝D1O， 因 此 BC1∥D1O， 同 理 AD1∥DC1.

A1D1 A1O A1D1 DC ∴D C ＝ OB ，D C ＝AD . 1 1 1 1 A1O DC AD 又∵ OB ＝1，∴AD ＝1， 即 DC＝1 . A1D1 【答案】 1 ( ) D C ＝1 时，BC1∥平面 AB1D1. 1 1

AD 2 ( ) DC＝1
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1．平 行 问 题 的 转 化 关 系

2． 直 线 与 平 面 平 行 的 重 要 判 定 方 法 ： ①定 义 法 ； ②判 定 定 理 ； ③面 与 面 的 平 行 性 质 ．

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3．平面与平面平行的主要判定方法： ①定 义 法 ； ②判 定 定 理 ； ③推 论 ； ④ a ⊥ α ， a ⊥ β ? α ∥ β. 各

种关系能相互转化，特别要关注转化所需条件是什么． 4． 可 以 考 虑 向 量 的 工 具 性 作 用 ， 量解决，可使问题简化． 能 用 向 量 的 尽 可 能 应 用 向

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1． 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ①若 直 线 ②若 直 线 ③若 直 线 行 ； a不 在 α内 ， 则 l上 有 无 数 个 点 不 在 平 面 l与 平 面 α平 行 ， 则 _ _ _ _ _ _ _ _ a∥α；

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．

α内 ， 则

l∥α；

l与α内 的 任 意 一 条 直 线 都 平

④如 果 两 条 平 行 线 中 的 一 条 与 一 个 平 面 平 行 ， 那 么 另 一 条 也 与 这 个 平 面 平 行 ； ⑤若 l 与 平 面 点 ； ⑥平 行 于 同 一 平 面 的 两 直 线 可 以 相 交 ．
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α平 行 ， 则

l与α内 任 何 一 条 直 线 都 没 有 公 共

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答案 ⑤⑥

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解 析

a∩α＝A 时 ， a不 在 α内 ， ∴ ①错 ； 直 线

l 与 α 相交 l

时 ， l上 有 无 数 个 点 不 在 平 行 或 异 面 ， 故

α内 ， 故 ②错 ； l∥α 时 ， α内 的 直 线 与

③错 ； a∥b，b∥α 时 ， a∥α 或 a?α， 故 ④错 ； ∴l 与 α 内 任 何 一 条 直 线 都 无 公 共 点 ， A1C1 与 B1D1 都与平面 A B C D 平

l∥α，则 l 与 α 无 公 共 点 ， ⑤正 确 ； 如 图 所 示 ， 长 方 体 中 ， 行 ，∴ ⑥正 确 ．

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2．2 ( 0 1 4 · 和 平 面

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合肥一检)给 出 下 列 关 于 互 不 相 同 的 直 线

l 、m 、 n

α、β、γ 的 三 个 命 题 ： l?α，m?β， 则 α∥β；

①若 l 与 m 为 异 面 直 线 ，

②若 α∥β，l?α，m?β， 则 l∥m； ③若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ， 则 m∥n. 其 中 真 命 题 为
答案 ③

_ _ _ _ _ _ _ _

．

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解 析

①中 当 α与β不 平 行 时 ， 也 能 存 在 符 合 题 意 的

l、m.

②中 l 与 m 也 可 能 异 面 ． l∥γ ? ? l?β ??l∥m， β∩γ＝m? ?

③中

同 理 l∥n， 则 m∥n， 正 确 ．

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3．2 ( 0 1 3 ·

安徽)如图所示，正方体 A B C D

—A1B1C1D1 的棱长

为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1 上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S. 则下列命题正确的是 ________(写出所有正确命题的编号)．

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1 ①当 0 < CQ<2时 ， S为 四 边 形 ； 1 ②当 CQ＝2时 ， S为 等 腰 梯 形 ； 3 ③当 CQ＝4时 ， S 与 C1D1 的 交 点 3 ④当4<CQ<1 时 ， S为 六 边 形 ； ⑤当 CQ＝1 时 ， S的 面 积 为
答案 ①②③⑤

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1 R满 足 C1R＝3；

6 2.

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解 析

过 A 作 AM∥PQ 交 DD1 或 A1D1 于 M. MQ， 则 截 面 为 A M Q P ，

1 当0 < CQ<2时 ， M 在 DD1 上 ， 连 接 故①正 确 ． 1 当 CQ＝2时 ， M 与 D1 重 合 ， 截 面 为 形 ， ②正 确 ． 3 当 CQ＝4时 ， M 在 A1D1 上 ， 且

AD1QP， 显 然 为 等 腰 梯

1 D1M＝3.

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过 M 作 MR∥AP 交 C1D1 于 R， 则 △MD1R∽ △ PBA， 从 而 2 1 D1R＝3， 即 C1R＝3， 故 ③正 确 ． 3 当4<CQ<1 时 ， 截 面 为 A M R Q P ， 为 五 边 形 ， 即 A M C
1P

④错 误 ． 为菱形，而

当 CQ＝1 时 ， M 为 A1D1 的 中 点 ， 截 面 AC1＝ 3，PM＝ 2， 故 面 积 为

1 6 确 ． 2× 3× 2＝ 2 ，⑤正

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4. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥 P—A B C D 点 E 在 PD 上 ， 且 PE∶ED＝2∶1， 在 棱

中，

PC 上是否存在一点 F，

使 BF∥平面 AEC？ 证 明 你 的 结 论 ．

答案

当 F 是棱 PC 的 中 点 时 ，

BF∥平面 A E C .

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解 析 证 明 ： 取 当F是 棱 PC 的 中 点 时 ， PE 的 中 点 M， 连 接

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BF∥平 面 A E C . FM， 则 FM∥CE.①

1 由 EM＝2PE＝ED， 知 E 是 MD 的 中 点 ． 连 接 BM，BD， 设 BD∩AC＝O， 则 O 为 BD 的 中 点 ， 连 接 所 以 BM∥OE.② 由①，②知 ， 平 面 BFM∥平 面 AEC. BF∥平 面 AEC. OE，

又 BF?平 面 BFM， 所 以

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5 . 2 ( 0 1 2 · 为 正 三 角 形 ， 山东)如 图 所 示 ， 几 何 体 CB＝CD，EC⊥BD.

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E—A B C D

是 四 棱 锥 ，

△ABD

1 ( ) 求 证 ： BE＝DE； 2 ( ) 若∠B C D ＝1 2 0 ° ，M 为 线 段 面 BEC. AE 的 中 点 ， 求 证 ： DM∥平

答案 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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解 析 1 ( ) 如 图 所 示 ， 取 BD 的 中 点 为 CO⊥BD.

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O， 连 接

CO，EO.

由 于 CB＝CD， 所 以

又 EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC?平 面 E O C ， 所 以 BD⊥平 面 E O C . 因 此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的 中 点 ， 所 以 BE＝DE.

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2 ( ) 方 法 一 ： 如 图 所 示 ， 取 MN. 因 为 M 是 AE 的 中 点 ， 所 以 MN∥BE.

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AB 的 中 点

N， 连 接

DM，DN，

又 MN?平 面 BEC，BE?平 面 B E C ， 所 以 MN∥平 面 BEC. 又 因 为 △ABD 为 正 三 角 形 ， 所 以 ∠B D N ＝3 0 ° . 又 CB＝CD，∠B C D ＝1 2 0 ° ， 因 此 ∠C B D ＝3 0 ° . 所 以 DN∥BC.
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又 MN∩DN＝N， 故 平 面 D M N ∥平 面 B E C .

又 DM?平 面 D M N ， 所 以 DM∥平 面 BEC.

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方 法 二 ： 如 图 所 示 ， 延 长

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AD，BC 交 于 点

F， 连 接

EF.

因 为 CB＝CD，∠B C D ＝1 2 0 ° ， 所 以 ∠C B D ＝3 0 ° . 因 为 △ABD 为 正 三 角 形 ， 所 以 ∠BAD＝6 0 ° ，∠ABC＝9 0 ° . 因 此 ∠AFB＝3 0 ° . 1 所 以 AB＝2AF.

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又 AB＝AD，所以 D 为线段 AF 的中点． 连接 DM，由于点 M 是线段 AE 的中点， 因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC，EF?平面 B E C ， 所以 DM∥平面 BEC.

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课时作业（五十一 ）

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