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北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题(WORD精校版)


北京市朝阳区 2014-2015 学年第二学期期末考试
高二数学 (理科) (考试时间 100 分钟 满分 120 分)
2015.7

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. 设 i 是虚数单位,在复平面内,复数 z ? 2i(1 ? i) 所对应的点落在 A

.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x , f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数,那么 f ?( ) 等于 A. ?

1? 3 2

B. ?

1? 3 2

C.

1? 3 2

π 6 1? 3 D. 2

3.在极坐标系中,直线 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交但不过圆心 D.相交且过圆心

4.某人射击一次击中目标的概率为 0.6,此人射击 3 次恰有两次击中目标的概率为 A.

54 125

B.

36 125

C.

27 125

D.

18 25

5.观察下列各式:

C10 ? 40 ; 1 C30 ? C3 ? 41 ; 1 C50 ? C5 ? C52 ? 42 ; 0 1 3 C7 ? C7 ? C72 ? C7 ? 43 ;
0 1 2 照此规律,当 n ? N 时, C2 n?1 ? C2n?1 ? C2n?1 ?
?

n?1 ? C2 n?1 ?
n ?1

A. 4

n ?1

B. 4

n

C. 4

D. 4

n?2

6.从 0,2,4 中取一个数字,从 1,3,5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所 有不同的三位数的个数是 A.36 B.48 C.52 D.54 7.函数 f ( x) 的图象如图所示, f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函 数,下列数值排序正确的是 A. 0 ? f ?(2) ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) C. 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ? f ?(3)

1

8. 设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ? a, b? 上的两个函数, 若函数 y ? f ?( x) ? g ( x) ( f ?( x )

为函数 f ( x ) 的导函数) 在 ? a, b? 上有且只有两个不同的零点, 则称 f ( x ) 是 g ( x) 在 ? a, b? 上 的“关联函数” .若 f ( x) ? 实数 m 的取值范围是 A. ? ? , ?2?

x3 3x 2 ,则 ? ? 4 x 是 g ( x) ? 2 x ? m 在 ?0,3? 上的“关联函数” 3 2
C. ? ??, ?2? D. ? ?

? 9 ? 4

? ?

B. ? ?1,0?

? 9 ? , ?? ? ? 4 ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 9.

?

2

1

(2 x ? 1)dx ?



10. 已知随机变量 X 的分布列为

X P 则实数 a 等于

1
0.2

2
0.4 ? a

3
0.5 ? a

4 a

.
3

11. (1 ? x)6 的展开式中含 x 项的系数为

;该展开式的二项式系数和是

.(用数字作答)

? x ? t ? a, ? (t 为参数, a, b 为常数 ) ,则 12. 若过点 P(0, 2),Q (1, 3)的直线的参数方程为 ? b y ? t ? 1 ? ? 2

a?

;b ?
3


2

13. 若函数 g ( x) ? ax ? ax ? x 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是____. 14. 已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 (0, ??) ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题:
x

①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 存在最小值; ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的减函数; ③存在 a ? (??,0) ,使得对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④存在 a ? (0, ??) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点. 其中正确命题的序号是 .

2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? nan (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明.
2 ? an ? 1 , n ? N? .

16. (本小题满分 13 分) 某市 A ,B 两所中学的学生组队参加信息联赛, A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相 当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队参赛. (Ⅰ)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (Ⅱ )设 X 表示 A 中学参赛的男生人数,求 X 的分布列和数学期望; ( III )已知 3 名男生的比赛成绩分别为 76,80,84 , 3 名女生的比赛成绩分别为 77, a ( a ? N ),81,若 3 名男生的比赛成绩的方差大于 3 名女生的比赛成绩的方差,写 出 a 的取值范围(不要求过程).
?

3

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

a , g ( x) ? x ? ln x ,其中 a ? R 且 a ? 0 . x

(Ⅰ) 求曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程; (II)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (III)设函数 u ( x) ? ? 值范围.

? f ( x), f ( x) ? g ( x), 若 u ( x) ? f ( x) 对任意 x ? [1, e] 均成立,求 a 的取 ? g ( x), f ( x) ? g ( x).

18.(本小题满分 12 分) 已知 M 是由所有满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合:①方程 f ( x) ? x ? 0 有实数 根;②设函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ,且对 f ( x) 定义域内任意的 x ,都有 f ?( x) ? 1 . (Ⅰ)判断函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? ln x ? ax 是集合 M 中的元素,求实数 a 的取值范围.

4

5

6

7


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