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1.1.1 算法的概念

时间:2017-09-21


必修三

1.1.1

算法的概念

一、学习目标:了解算法的含义,体会算法的思想;能够用自然语言叙述算法;掌握正确的算法应
满足的要求;会写出解线性方程(组)的算法、判断一个数为质数的算法、用二分法求方程近似根的算法.

二、知识梳理:
算法: 12 世纪时,指用阿拉伯数字进行算

术运算的过程. 现代意义上的算法是可以用计算机来解决 的某一类问题的程序或步骤,程序和步骤必须是明确和有效的,且能在有限步完成. 广义的算法是指做某 一件事的步骤或程序. 算法特点:确定性;有限性;顺序性;正确性;普遍性. 生活中的算法:菜谱是做菜肴的算法;洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法;歌谱是一首歌曲的 算法.

三、双基达标
1.下列不能看成算法的是( A.洗衣机的使用说明书 B.烹制油焖大虾的菜谱 C.从山东省莱芜市乘汽车到北京,在北京坐飞机到纽约 D.李明不会做饭 ).

2.有关算法的描述有下列几种说法: ①对一类问题都有效; ②计算可以一步一步地进行,每一步都有唯一的结果; ③对个别问题有效; ④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果. 其中描述正确的个数为 ( A.1 B .2 ). C .3 D.4

3.下列叙述能称为算法的个数为(

).

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤; ②按顺序进行下列运算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,?,99+1=100; ③从青岛乘火车到济南,再从济南乘飞机到深圳; ④3x>x+1; A.2 ⑤求所有能被 3 整除的正数,即 3,6,9,12,?. B .3 C .4 D.5

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4.(2012· 石嘴山高一检测)已知一个学生的语文成绩为 89,数学成绩为 96,外语成绩为 99,求它的总分和 平均分的一个算法如下,请将其补充完整: 第一步,取 A=89,B=96,C=99.第二步,___________________________. 第三步,________________________________. 第四步,输出计算结果.

5.已知直角三角形两条直角边长分别为 a,b.写出求斜边长 c 的算法如下: 第一步,输入两直角边长 a,b 的值. 第二步,计算 c= a2+b2的值. 第三步,______________________________________.

6.写出方程 x2-4x-12=0 的一个算法.

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1.1.2

程序框图与算法的基本逻辑结构(一)

一、学习目标:掌握程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法,掌握算法的三个基本逻辑结
构. 掌握画程序框图的基本规则,能正确画出程序框图. 通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图 表达解决问题的过程;学会灵活、正确地画程序框图.

二、知识梳理:
1、 定义程序框图:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表
示算法的图形.

2、基本的程序框和它们各自表示的功能:
程序框 名称 终端框 (起止框) 输入、输出框 处理(执行)框 判断框 流程线 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断一个条件是否成立 连接程序框

三、双基达标
1.下列图形符号属于判断框的是( ).

2.下列关于程序框图的说法正确的有(

).

①用程序框图表示算法直观、形象,容易理解; ②程序框图能清楚地展现算法的逻辑结构,也就是通常所说的一图胜万 ③在程序框图中,起止框是任何流程不可少的; ④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置. A.1 个 B .2 个 C .3 个 D.4 个 言;

3.给出如右程序框图:若输出的结果为 2,则①处的执行框内应填的 是( ). A.x=2 B.b=2 C.x=1 D.a=5

4.下面程序框图表示的算法的运行结果是________.
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5.写出如下程序框图的运行结果.

S=________.若 R=8,则 a=________.

6.已知一个直角三角形的两条直角边边长分别为 a,b,设计一个算法,求三角形的面积,并画出相应的 程序框图.

4

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1.1.2

程序框图与算法的基本逻辑结构(二)
掌握画程序框图的基本规则,

一、学习目标:更进一步理解算法,掌握算法的三个基本逻辑结构.
能正确画出程序框图,学会灵活、正确地画程序框图.

二、知识梳理:
顺序结构 程序 框图 按照语句的先后顺序,从 结构 说明 上而下依次执行这些语 句. 不具备控制流程的作 用. 是任何一个算法都离 不开的基本结构 根据某种条件是否满足 来选择程序的走向. 当条 件满足时,运行“是”的 分支,不满足时,运行 “否”的分支. 从某处开始,按照一 定的条件,反复执行 某一处理步骤的情 况. 用来处理一些反 复进行操作的问题 条件结构 循环结构

三、双基达标
1.下列算法中,含有条件结构的是( A.求两个数的积 C.解一元二次方程 ). B.求点到直线的距离 D.已知梯形两底和高求面积 ).

2.若输入-5,按图中所示程序框图运行后,输出的结果是(

A.-5

B .0

C.-1

D.1 ).

3.下列关于条件结构的描述,不正确的是(

A.条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的 B.条件结构的判断条件要写在判断框内 C.双选择条件结构有两个出口,单选择条件结构只有一个出口 D.条件结构根据条件是否成立,选择不同的分支执行
5

必修三 ?log2x, ? 4.已知函数 y=? ?2-x, ?

x≥2, x<2.

如图表示的是给定 x 的值,求其对应的函数值 y 的程序框图.

①处应填写________; ②处应填写________. 5.如图是求实数 x 的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填________.

6.画出计算函数 y=|2x-3|的函数值的程序框图(x 由键盘输入).

6

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1.2.1

输入语句、输出语句和赋值语句
充分地感知、体验应用计算机解

一、学习目标:正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构.

决数学问题的方法;并能初步操作、模仿. 通过实例理解 3 种基本的算法语句(输入语句、输出语句和赋 值语句)的表示方法、结构和用法,能用这三种基本的算法语句表示算法,进一步体会算法的基本思想.

二、知识梳理:
语句、格式、功能 输入语句 INPUT 格式:INPUT “提示内容” ;变量 功能:从键盘输入值给变量. 输出语句 PRINT 格式:PRINT “提示内容” ;表达式 功能:在屏幕上输出常量、变量或表达式的值, 可以输出数值计算的结果. 赋值语句 LET 格式:LET 变量=表达式 功能:计算表达式的值,将此值赋给“=”左边 的变量. 说明
程序运行到 INPUT 语句时会暂停,屏幕上出现一个问号,等待 你从键盘输入一些数据,输入后按回车,程序把这些数据依次 赋值给变量表中的变量,然后继续往下执行. 格式中有“; ”与 “, ”分隔的区别. 表达式可以是常量、变量、计算公式或系统信息 . 一个语句可 以输出多个表达式,之间用“, ”或“; ”分隔. 如果表达式是 引号引起来的字符串, 则原样输出.如果 PRINT 语句后没有任何 内容,则表示输出一个空行. “LET”可以省略, “=”的右侧必须是表达式,左侧必须是变 量. 一个赋值语句只能给一个变量赋值,但在一个语句行中可 以写出多个赋值语句,中间是“: ”分隔. 赋值号“=”与数学 中的等号不完全一样,常重复赋值.

三、双基达标
1.下列赋值语句中错误的是( A.N=N+1 ). C.C=A(B+D) D.C=A/B B.K=K*K

2.将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下列语句正确的一组是( a=b b=a c=b B. b=a a=c b=a a=b a=c D. c=b b=a

).

A.

C.

3.下列程序执行后结果为 3,则输入的 x 值可能为( INPUT “x=”;x y=x*x+2] A.1 B.-3 C.-1

).

D.1 或-3

4.下面一段程序执行后的结果是________.
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A=2 A=A*2 A=A+6 PRINT A END

5.下面程序的结果为________. a=1 b=a+3 b=b+1 PRINT “b=”;b END

6.对于平面直角坐标系中给定的两点 A(a,b)、B(c,d),编写一个程序,要求输入两点的坐标,输出这 两点间的距离.

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1.2.2
二、知识梳理:

条件语句
会应用条件语句编写程序.

一、学习目标:正确理解条件语句的概念,并掌握其结构.

条件语句的一般有两种:IF—THEN 语句;IF—THEN—ELSE 语句. 语句格式及框图如下.

说明: ①“条件”是由一个关系表达式或逻辑表达式构成,其一般形式为“<表达式><关系运算符><表达 式>” ,常用的运算符有“>” (大于) 、 “<” (小于) 、 “>=” (大于或等于) 、 “<=” (小于或等于) , “<>” (不 等于). 关系表达式的结果可取两个值,以“真”或“假”来表示, “真”表示条件满足, “假”则条件不 满足. ②“语句”是由程序语言中所有语句构成的程序段,即可以是语句组. ③ 条件语句可以嵌套,即条 件语句的 THEN 或 ELSE 后面还可以跟条件语句,嵌套时注意内外分层,避免逻辑混乱.

三、双基达标
1.给出下列四个问题:
2 ①输入一个数 x,输出它的绝对值;②求函数 f(x)={x -1,x≥

+2,x<0 的函数值;

③求面积为 6 的正方形的周长;④求三个数 a,b,c 中的最大数. 其中需要用条件语句来描述其算法的个数是( A.1 B.2 C.3 ). D.4

2.当输入 x=-3.2 时,程序 INPUT x IF x<0 x=-x END IF PRINT x END 输出的结果为( A.-3.2 ). B.3.2 C.3 D.-3 THEN

3.给出下列程序:
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INPUT x1,x2 IF x1=x2 THEN

x1=x1+x2 END IF y=x1+x2 PRINT y END 如果输入 x1=2,x2=3,那么执行此程序后,输出的结果是( A.7 4.给出下列程序: INPUT a,b,c IF a>b a=b END IF IF a>c a=c END IF PRINT a END 如果输入-10,-26,8,那么输出的是________. 5.已知程序如下: INPUT a IF a>=0 PRINT ELSE PRINT -a END IF END 若输入 9,其运行结果是________. 2x,x≤4, ? ? 6.函数 y=?8,4<x≤8, ? ?24-2x,x>8, a THEN THEN THEN B.10 C.5 D.8 ).

写出求函数的函数值的程序.

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1.2.3

循环语句
会应用循环语句编写程序.

一、学习目标:正确理解循环语句的概念,并掌握其结构. 二、知识梳理:两种循环语句的语句结构及框图如下.

说明: “循环体”是由语句组成的程序段,能够完成一项工作. 当使用 WHIL 语句时,循环内部应当有改变 循环的条件,否则会产生无限循环. 学习时注意两种循环语句的区别.

三、双基达标
1.下列的程序执行后输出的结果是 ( ). n=5 S=0 WHILE S<15 S=S+n n=n-1 WEND PRINT n END A.-1 B .0 C .1 D.2

2.在循环语句中,下列说法正确的是( A.UNTIL 型循环可以无限循环 B.WHILE 型循环可以无限循环 C.循环语句中必须有判断

).

D.WHILE 型循环不能实现 UNTIL 型循环的功能 3.下面的程序: a=1 WHILE a<100 a=a+1 WEND PRINT a END 执行完毕后 a 的值为( A.99 B.100 ). C.101 D.102

4.运行下面的程序,输出的值为________.
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S=0 i=1 WHILE S<18 S=S+i i=i+1 WEND PRINT i END

5.下面的程序运行后第 3 个输出的数是________. i=1 x= 1 DO PRINT x i=i+1 x=x+1/2 LOOP UNTIL i>5 END

6.设计一个计算 1×3×5×7×?×199 的算法,并写出程序,画出程序框图.

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1.3

算法案例

一、学习目标:理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,会用它们求几个正整数的最大公
约数; 了解秦九韶算法的计算过程; 了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十 进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.

二、知识梳理:
1、辗转相除法与更相减损术及比较:
①都是求最大公约数的方法,辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计 算次数相对较少;②结果上,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 得到,而更相减损术则以减数与差相 等而得到.

2、用秦九韶算法完成一般多项式 f ( x) ? an xn ? an?1xn?1 ?
①改写: f ( x) ? an xn ? an?1xn?1 ?

? a1x ? a0 的求值

? a1x ? a0 ? ( (an x ? an?1 ) x ? an?2 )x ?

? a1 )x ? a0 .

②计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1 ? an x ? an?1 ,③由内向外逐层计算一次多项式的值,即

v2 ? v1 x ? an?2 , v3 ? v2 x ? an?3 ,

, vn ? vn?1 x ? a0 .

③秦九韶算法将求 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值,整个过程只需 n 次乘法运算和 n 次加法 运算;观察上述 n 个一次式,可发出 vk 的计算要用到 vk ?1 的值,若令 v0 ? an ,可得到下列递推公式:

?v0 ? an , ? ?vk ? vk ?1 x ? an?k (k ? 1, 2,
3、进位制:

, n)

. 这是一个反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,一般地,“满 k 进一”就是 k 进制,其中 k 称为 k 进制的基数. 如: “满十进一”就是十进制, “满二进一”就是二进制 . 同一个数可以用不同的进位制

来表示,比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39 ,它们所代表的数值都是一样的 . 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如上例中:

111001(2) ? 71(8) ? 39(16)
①各进制数化为十进制数:一般地任意一个 k 进制数 anan-1?a1a0(k)写成各数位上的数字与基数 k 的幂的乘
n n ?1 ? ? ? a1 ? k 1 ? a0 ? k 0 积之和的形式: a n a n ?1 ? a1a0 ( k ) ? a n ? k ? a n ?1 ? k

②十进制数化为各进制数:把十进制数化为 k 进制数的算法,称为除 k 取余法。如十进制数 191 化为五进 制数 191(10)=1231(5)
5 5 5 5 191 38 7 1 0 余数 1 3 2 1

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三、 双基达标
1.利用秦九韶算法求 P(x)=anxn+an-1xn 1+?+a1x+a0,当 x=x0 时 P(x0)的值,需做加法和乘法的次数


分别为( A.n,n C.n,2n+1

). n?n+1? B.n, 2 n?n+1? D.2n+1, 2

2.两个二进制数 101(2)与 110(2)的和用十进制数表示为( A.12 B.11 C.10

). D .9

3.4 830 与 3 289 的最大公约数为( A.23 B.35

). C.11 D.13

4.用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数,第一步应为________.

5.将八进制数 127(8)化成二进制数为________(2).

6.用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值.

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2.1.1

简单随机抽样

一、学习目标:正确理解随机抽样的必要性和重要性,掌握简单随机抽样的两种方法(抽签法和随
机数法)的一般步骤,能从生活实际中提出一定价值的统计问题.

二、知识梳理:简单随机抽样:

一般地,设一个总体有 N 个个体, 从中逐个不放回地抽取 n 个个体作

为样本(n≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 就把这种抽样方法叫做简单随机 抽样. 有抽签法与随机数法两种方法. 强调: ①不放回的抽取,②样本个数 n 小于等于总数 N,③抽到的机会相等.

三、双基达标
1.对于简单随机抽样,每个个体被抽到的机会( A.相等 B.不相等 ). D.与抽取的次数有关 C.不确定

2.从某批零件中抽取 50 个,然后再从 50 个中抽出 40 个进行合格检查,发现合格品有 36 个,则该产品 的合格率约为( A.36% ). B.72% C.90% D.25%

3.抽签法中确保样本代表性的关键是( A.制签 C.逐一抽取

). B.搅拌均匀 D.抽取不放回

4.为了了解参加运动会的 2 000 名运动员的年龄情况,从中抽查了 100 名运动员的年龄,则样本容量是 ________.

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5.采用简单随机抽样,从 6 个标有序号 A、B、C、D、E、F 的球中抽取 1 个球,则每个球被抽到的可能 性是________.

6.从 30 个灯泡中抽取 10 个进行质量检测,试说明利用随机数表法抽取这个样本的步骤.

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2.1.2

系统抽样

一、学习目标:正确理解系统抽样的概念;掌握系统抽样的步骤;正确理解系统抽样与简单随机抽
样的关系;掌握系统抽样的优点和缺点.

二、知识梳理:
系统抽样:当总体中的个体数较多时,将总体的每个个体进行编号,并根据样本数对编号进行分段,然后 按照预先定出的规则,从每一部分抽取 1 个个体,得到所需样本的抽样方法. 系统抽样的步骤: (1)先将总体的 N 个个体编号. 有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号等; (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段.当 N/n(n 是样本容量)是整数时,取 k=N/n; (3)在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k) ; (4)按照一定的规则抽取样本. 通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k) ,再加得到第 3 个个体 编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本. 注意:分段间隔 k 的确定. 当总体个数 N 恰好是样本容量 n 的整数倍时,取 k ?

N N ;若 不是整数时,可 n n

以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量 n 整除. 每个个体被剔除的机 会相等,从而使整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等.

三、双基达标
1.为了解 1 200 名学生对学校食堂的意见,打算从中抽取一个样本容量为 30 的样本,考虑采用系统抽 样,则最合适的分段间隔 k 为( A.40 B.30 ). C.20 D.12

2.中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励,要从已确定编号的一万名小观众中抽出十 名幸运小观众.现采用系统抽样方法抽取,其组容量为( A.10 B.100 C.1000 ). D.10000

3.老师从全班 50 名同学中抽取学号为 3,13,23,33,43 的五名同学了解学习情况,其最可能用到的抽样方法 为( ). B.抽签法 C.随机数法 D.系统抽样

A.简单随机抽样

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4.若总体中含有 1645 个个体,现在要采用系统抽样,从中抽取一个容量为 35 的样本,编号后应均分为 ________段,每段有________个个体.

5.某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位.一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解有关情 况,留下座位号是 15 的 25 名学生进行测试,这里运用的是________抽样方法.

6.一个体育代表队有 200 名运动员,其中两名是种子选手.现从中抽取 13 人参加某项运动.若种子选手 必须参加,请用系统抽样法给出抽样过程.

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2.1.3

分层抽样

一、学习目标:使学生掌握分层抽样的方法,并能结合以前学过的知识对三种抽样方法进行比较,
活学活用,并能把三种抽样方法融会贯通处理一些复杂的问题,使样本有更好的代表性.

二、知识梳理:
1、定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定
数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫分层抽样.

2、步骤:根据已掌握的信息,将总体分成互不相交的层;根据总体中的个体数 N 和样本容量 n 计算抽样
比 k=
n ;确定第 i 层应该抽取的个体数目 ni≈Ni×k (Ni 为第 i 层所包含的个体数) ,使得诸 ni 之和为 n; N

在各个层中,按第三步中确定的数目在各层中随机抽取个体,合在一起得到容量为 n 的样本.

三、双基达标
1.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,学校学生会用分层抽样的方法从这三 个年级的学生中随机抽取几名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那么从高 三学生中抽取的人数应为( A.10 B.9 ). C.8 D .7

2.为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取,必须要求( A.每层不等可能抽样 B.每层抽取的个体数相等

).

Ni C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取 ni=n (i=1,2,?,k)个个体.(其中 k 是层数,n N 是抽取的样本容量,Ni 是第 i 层中个体的个数,N 是总体的容量) D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制

3.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3∶4∶7,现在用分层抽样的方法 抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 15 件,那么样本容量 n 为( A.50 B.60 C.70 D.80 ).

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4.某农场在三种地上种玉米,其中平地 210 亩,河沟地 120 亩,山坡地 180 亩,估计产量时要从中抽取 17 亩作为样本,则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________.

5.将一个总体分为 A、B、C 三层,其个体数之比为 5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为 100 的样本, 则应从 C 中抽取________个个体.

6.某市的 3 个区共有高中学生 20 000 人,且 3 个区的高中学生人数之比为 2∶3∶5,现要从所有学生中 抽取一个容量为 200 的样本,调查该市高中学生的视力情况,试写出抽样过程.

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2.2.1

用样本的频率分布估计总体分布

一、学习目标:通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、
画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点.在解决统计问题的过程中,进一步体会 用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布.

二、知识梳理:
1、分析数据:分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,
作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.

2、频率分布的概率:频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小. 一般用频率分布直
方图反映样本的频率分布.

3、作频率分布直方图的步骤:
求极差(数据组中最大值与最小值的差距) ; 决定组距与组数(强调取整) ;将数据分组;列频率分布 表(包括分组、频数累计、频数、频率) ;作频率分布直方图(在频率分布表的基础上绘制,横坐标为样 本数据尺寸,纵坐标为频率/组距) .

三、双基达标
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是( A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 ).

2.频率分布直方图中,小长方形的面积等于 ( A.组距 B.频率

). C.组数 D.频数

3.一个容量为 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 ). D.0.64 (30,40] 15 (40,50] 16 (50,60] 13 (60,70] 7

则样本数据落在(10,40)上的频率为( A.0.13 B.0.39

C.0.52

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1 4.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知甲组的频数和频率分别为 36 和 ,则容量 n=________,且频 4 1 率为 的乙组的频数是________. 6

5.为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难,班上的 20 名同学捐出了自己的零花钱,他们捐款数 (单 位:元)如下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制 成频率分布直方图,以表彰他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差是 ________.若取组距为 2,则应分成________组;若第一组的起点定为 18.5,则在[26.5,28.5)内的频数为________.

6.某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图 3)和频率分布直方图(图 4)都受到不同程度的破坏, 可见部分如下图所示,据此解答如下问题.

(Ⅰ)求全班人数及分数在 [80,90) 之间的频数; (Ⅱ)计算频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高.

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2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

一、学习目标:正确理解样本数据分布直方图的意义和作用,从样本频率分布直方图中提取基本的
数字特征(如众数、中位数、平均数) ,并做出合理的解释. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

二、知识梳理:
1、众数、中位数、平均数:它们都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计. 样本众
数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一;中位数仅利用了数据中排在中间数据 的信息,与数据的排列位置有关;平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的 影响也越大.三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心” .

2、标准差与方差:标准差: s ?

( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ??? ? ( xn ? x)2 . 意义:标准差用来表示稳定性, n

标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定. 方差:标准差的平方 s 2 , s 2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ??? ? ( xn ? x) 2 . 两者都是描述一组数据围绕平均数波动 n

的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.

三、双基达标
1.下面是高一(18)班十位同学的数学测试成绩:82,91,73,84,98,99,101,118,98,110,则该组数据的中位数 是( ). A.98 B.99 C.98.5 D.97.5

2.某学习小组在一次数学测验中,得 100 分的有 1 人,95 分的有 1 人,90 分的有 2 人,85 分的有 4 人, 80 分和 75 分的各有 1 人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( A.85,85,85 B.87,85,86 C.87,85,85 ).

D.87,85,90

3.为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响,某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃 的塑料袋的数量,结果如下(单位:个):33,25,28,26,25,31.如果该班有 45 名学生,那么根据提供的数 据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为( A.900 个 B.1 080 个 C.1 260 个 ). D.1 800 个

23

必修三

4.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 2,则 xy=________.

5.若 40 个数据的平方和是 56,平均数是

2 ,则这组数据的方差是________,标准差是________. 2

6.在一次歌手大奖赛中,8 位评委现场给每位歌手打分,然后去掉一个最高分和一个最低分,其余分数 的平均数作为该歌手的成绩,已知 8 位评委给某位歌手的打分是:9.2 9.5 比较这 8 位评委的实际平均分和该歌手的成绩,有何体会? 9.5 9.4 9.6 9.8 9.5 8.1

24

必修三

3.1.1

随机事件的概率

一、学习目标:正确理解样本数据分布直方图的意义和作用,从样本频率分布直方图中提取基本的
数字特征(如众数、中位数、平均数) ,并做出合理的解释. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

二、知识梳理:
1、必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件. 2、不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件. 3、确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. 4、随机事件:在条件 S 下,下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件. 5、频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出
现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A 出现的概率:对于给定的随 n

机事件 A, 如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P (A) , 称为事件 A 的概率.

三、双基达标
1.12 本外形相同的书中,有 10 本语文书,2 本数学书,从中任意抽取 3 本,是必然事件的是( A.3 本都是语文书 C.3 本都是数学书 B.至少有一本是数学书 D.至少有一本是语文书 ).

2.下列事件中,是随机事件的是(

).

A.长度为 3,4,5 的三条线段可以构成一个三角形 B.长度为 2,3,4 的三条线段可以构成一直角三角形 C.方程 x2+2x+3=0 有两个不相等的实根 D.函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在定义域上为增函数

3.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子,记录朝上的点数”,该试验的结果共有 ( A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.36 种

).

25

必修三

4.下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做 n 次随机试 验,事件 A 发生 m 次,则事件 A 发生的频率就是事件的概率;③频率是不能脱离具体的 n 次试验的实 验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳 定值.其中正确的说法有________.(填序号)

5.某校高一(1)班共有 46 人,其中男生 13 人,从中任意抽取 1 人,是女生的概率为________.

6.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1 000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了 统计,统计结果如下表所示: [500, [900, 900) 48 1 100) 121 [1 100, 1 300) 208 [1 300, 1 500) 223 [1 500, [1 700, [1 900, 1 700) 193 1 900) 165 +∞) 42

分组

频数 频率

(1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率.

26

必修三

3.1.2
一、学习目标:正确理解概率的意义, 二。 、知识梳理:

概率的意义

并能利用概率知识正确解释现实生活中的实际问题.

1、概率的正确理解:概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量,事件 A 的概率 P(A)越大,其
发生的可能性就越大;概率 P(A)越小,事件 A 发生的可能性就越小.

2、概率的实际应用:知道随机事件的概率的大小,有利我们做出正确的决策,还可以判断某些决策或规则
的正确性与公平性.

3、游戏的公平性:应使参与游戏的各方的机会为等可能的,即各方的概率相等,根据这一教学要求确定游
戏规则才是公平的.

4、决策中的概率思想:以使得样本出现的可能性最大为决策的准则. 5、天气预报的概率解释:降水的概率是指降水的这个随机事件出现的可能,而不是指某些区域有降水或
能不能降水.

三、 双基达标
1.某市的天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为 90%”,这是指( A.明天该地区约 90%的地方会降水,其余地方不降水 B.明天该地区约 90%的时间会降水,其余时间不降水 C.气象台的专家中,有 90%认为明天会降水,其余的专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为 90% ).

2.设某厂产品的次品率为 2%,估算该厂 8 000 件产品中合格品的件数可能为( A.160 件 B.7 840 件 C.7 998 件 D.7 800 件

).

3.在下列各事件中,发生的可能性最大的为( A.任意买 1 张电影票,座位号是奇数 B.掷 1 枚骰子,点数小于等于 2

).

C.有 10 000 张彩票,其中 100 张是获奖彩票,从中随机买 1 张是获奖彩票 D.一袋中装有 8 个红球,2 个白球,从中随机摸出 1 个球是红球

27

必修三

4.盒中装有 4 只白球 5 只黑球,从中任意取出 1 只球.(1)“取出的球是黄球”是________事件,它的概 率是________;(2)“取出的球是白球”是____________事件,它的概率是____________;(3)“取出的球 是白球或黑球”是________事件,它的概率是________.

5.管理人员从一池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中 .10 天 后,再捕上 50 条,发现其中带标记的鱼有 2 条.根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼.

1 6.掷一枚骰子得到 6 点的概率是 ,是否意味着把它掷 6 次一定能得到一次 6 点? 6

28

必修三

3.1.3

概率的基本性质

一、学习目标:正确理解事件的包含、并和、交积、相等,及互斥事件和对立事件的概念;掌握概
率的几个基本性质; 正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

二、知识梳理:
1、事件的包含、并、交、相等
(1) 若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B= ? ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (2) 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (3)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B).

三、双基达标
1.抽查 10 件产品,记事件 A 为“至少有 2 件次品”,则 A 的对立事件为 ( A.至多有 2 件次品 C.至多有 2 件正品 B.至多有 1 件次品 D.至少有 2 件正品 ).

2.从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在[160 cm,175 cm] 的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( A.0.2 B.0.3 C.0.7 ). D.0.8

3.从 1,2,3,?,9 中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是 奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是 对立事件的是( A.① ). B.②④ C.③ D.①③

29

必修三

4.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为 0.03,出现丙级 品的概率为 0.01,则对产品抽查一件,抽得正品的概率为________.

4 5.同时抛掷两枚骰子,没有 5 点或 6 点的概率为 ,则至少有一个 5 点或 6 点的概率是________. 9

6.经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下: 排队人数 概率 0 t 1 0.3 2 0.16 3 0.3 4 0.1 5 人及 5 人以上 0.04

(1)t 是多少?(2)至少 3 人排队等候的概率是多少?

30

必修三

3.2.1

古典概型

一、学习目标:通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的
基本事件数及事件发生的概率.

二、知识梳理:
1. 基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件.
基本事件的两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2、古典概型有两个特征:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同. 我们称具有这两个特征的概率称为古典概率模型(classical models of probability)简称古典概型. 注意:在“等可能性”概念基础上,很多实际问题符合或近似符合这两个条件,可以作为古典概型来看待.

三、双基达标
1.一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有( A.(男,女),(男,男),(女,女) C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女) ). B.(男,女),(女,男) D.(男,男),(女,女)

2.下列试验中,是古典概型的个数为(

).

①种下一粒花生,观察它是否发芽;②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率; ③向正方形 ABCD 内,任意抛掷一点 P,点 P 恰与点 C 重合; ④从 1,2,3,4 四个数中,任取两个数,求所取两数之一是 2 的概率; ⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于 2 的概率. A.0 B.1 C.2 D.3

3.将一枚质地均匀的硬币先后抛三次,恰好出现一次正面向上的概率( 1 A. 2 1 B. 4 3 C. 8 5 D. 8

).

31

必修三

4.学校为了研究男女同学学习数学的差异情况,对某班 50 名同学(其中男生 30 人,女生 20 人)采取分层 抽样的方法,抽取一个容量为 10 的样本进行研究,某女同学甲被抽到的概率是________.

5.从分别写有 A,B,C,D,E 的 5 张卡片中任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概 率是________.

6.用三种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求: (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率.

32

必修三

3.3.1

几何概型

一、学习目标:结合已学过两种随机事件发生的概率的方法,更进一步研究试验结果为无穷多时的
概率问题理解几何概型的定义与计算公式.

二、知识梳理:
1、几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则
称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)简称为几何概型. 在几何概型中,事件 A 概率计算公式为:

P( A) ?

试验的全部结果所构成的区域长度? 面积或体积?

构成事件A的区域长度? 面积或体积?

2、几何概型的特点:在一个区域内均匀分布,只与该区域的大小有关.
几何概型与古典概型的区别:试验的结果不是有限个.

三、双基达标
1.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影 2 区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为号( 3 4 A. 3 2 C. 3 8 B. 3 D.无法计算 ).

2.在第 1 题中若将 100 粒豆子随机撒入正方形中,恰有 60 粒豆子落在阴影区域内,这时阴影区域的面积 约为( 12 A. 5 ). 6 B. 5 3 C. 5 D.无法计算

3.下列概率模型中,几何概型的个数为(

).

①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到 1 的概率; ②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率; ③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于 1 而小于 2 的数的概率; ④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P,求点 P 离中心不超过 1 cm 的概率.
33

必修三

A.1

B.2

C.3

D.4

4 .两根相距 6 m 的木杆系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是 ________.

1 1 5.如图,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 a 与 a,高为 b,向该 3 2 矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________.

6.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm,现用直径等于 2 cm 的硬币 投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.

34

必修三

答案
1.1.1 算法的概念
D 1.D 2.C 3.B 4.计算总分 D=A+B+C 计算平均分 E= 3 5. 输出斜边长 c 的值 6. 法一 第一步,移项,得 x2-4x=12. 第二步,①式两边同加 4 并配方,得(x-2)2=16. 第三步,②式两边开方,得 x-2=±4. 第四步,解③得 x=6 或 x=-2. 法二 第一步,将方程左边因式分解,得(x-6)(x+2)=0. 第二步,由①得 x-6=0 或 x+2=0. 第三步,解②得 x=6 或 x=-2. 法三 第一步,计算方程的判别式 Δ=42+4×12>0. 第二步,将 a=1,b=-4,c=-12 代入求根公式 -b± b2-4ac x= ,得 x1=6,x2=-2. 2a ① ② ② ③ ①

1.1.2

程序框图与算法的基本逻辑结

构(一)

1.C 2.D 3.C 4. 6 6 5. 2.5 4 6. 算法如下: 第一步:输入两直角边的边长 a,b; 1 第二步:计算 S=2ab; 第三步:输出 S. 程序框图:

1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
1.C 2.D 3.C 4. x<2? y=log2x 5. x≥0? 6.程序框图如图:

(二)

35

必修三

1.1.2
6.算法如下: 第一步,S=0. 第二步,i=0.

程序框图与算法的基本逻辑结构(三)

1.C 2.D 3.A 4.127 5.1320

第三步,S=S+2i. 第四步,i=i+1. 第五步,如果 i 不大于 49,返回重新执行第三步,否则执行第六步. 第六步,输出 S 的值. 程序框图如图所示.

1.2.1
1.C 2.B 3.D 4.10 5.5 6.程序:

输入语句、输出语句和赋值语句

INPUT a,b,c,d y= - - PRINT y END







1.2.2
1.C 2.B 3.C 4.-26 5.9 6.程序:

条件语句

36

必修三

1.2.3
1.B 2.C 3.B 4.7 5.2 6.算法步骤如下: 第一步:S=1; 第二步:i=3; 第三步:S=S×i; 第四步:i=i+2;

循环语句

第五步:判断 i 是否大于 199,若是转到第六步;否则返回第三步,继续执行第三步, 第四步,第五步; 第六步:输出 S; 第七步:算法结束. 相应的程序框图如图所示: 程序如下所示:

37

必修三

S=1 i=3 DO S=S*i i=i+2 LOOP UNTIL i>199 PRINT S END

1.3
6. 解

算法案例

1.A 2.B 3.A 4.先除以 2,得到 18 与 67 5. 1010111 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,

所以 v0=7 v1=7×3+6=27 v2=27×3+5=86 v3=86×3+4=262 v4=262×3+3=789 v5=789×3+2=2 369 v6=2 369×3+1=7 108 v7=7 108×3=21 324, 故 x=3 时,多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 的值为 21 324.

2.1.1
1 1.A 2.C 3.B 4.100 5.6

简单随机抽样

6. 第一步,将 30 个灯泡编号:00,01,02,03,…,29; 第二步,在随机数表中任取一个数作为开始,如从第 9 行、第 35 列的 0 开始(见课本随机数表); 第三步,从 0 开始向右读,每次读取两位,凡不在 00~29 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去 不读,依次可得到 00,13,02,09,27,17,08,28,18,07 这 10 个编号,则这 10 个编号所对应的灯泡就是要抽取 的对象.
38

必修三

2.1.2
1.A 2.C 3.D 4.35;47 5.系统

系统抽样

6.第一步,将除两名种子选手外的 198 名运动员用随机方式编号,编号为 001,002,…,198; 第二步,将编号按顺序每 18 个一段,分成 11 段; 第三步,在第一段 001,002,…,018 这 18 个编号中用简单随机抽样法抽取一个号码(如 010)作为起始号 码; 第四步,将编号为 010,028,046,…,190 的个体抽出,加上两名种子选手完成抽样.

2.1.3
1.A 2.C 3.C 4. 7,4,6 5.20 6. 用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层:按区将 20 000 名高中生分成三层;

分层抽样

(2)确定每层抽取个体的个数.在这 3 个区抽取的学生数目分别是 40、60、100. (3)在各层分别按随机数法抽取样本; (4)综合每层抽样,组成样本.

2.2.1

用样本的频率分布估计总体分布

1.C 2.B 3.C 4.144,24 5.11;6;5 6.由茎叶图可知,分数在 [50,60) 之间的频数为 2, 频率为 0.008 ?10 ? 0.08 ,所以全班人数为 n ?

2 ? 25 (人) 0.08

故分数在 [80,90) 之间的频数为 n1 ? 25 ? 2 ? 7 ?10 ? 2 ? 4

4 ? 0.16 25 0.16 ? 0.016 所以频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高为 10
(Ⅱ)分数在 [80,90) 之间的频数为 4, 频率为

2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

3 10 1.A 2.C 3.C 4.96 5. 0.9; 10 1 6. 实际平均分为 x =8(9.2+9.5+9.4+9.6+9.8+9.5+8.1+9.5)=9.325. 1 该歌手的得分为 x ′=6(9.2+9.5+9.4+9.6+9.5+9.5)=9.45. 因为 9.5 在这组数据中出现 3 次,出现次数最多,故打分的众数是 9.5,将这组数据按从小到大的顺序排 列,则最中间的两个数是 9.5,故中位数是 9.5.由此可见,去掉一个最高分,去掉一个最低分后能比较恰 当地反映该歌手的实际成绩.
39

必修三

3.1.1
33 1.D 2.D 3.D 4.①③④ 5.46 6. (1)频率依次是:

随机事件的概率

0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足 1 500 小时的频数是 48+121+208+223=600, 600 所以样本中灯管使用寿命不足 1 500 小时的频率是1 000=0.6, 所以灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率约为 0.6.

3.1.2

概率的意义

4 1.D 2.B 3.D 4. (1)不可能;0 (2)随机;9 (3)必然;1 5.750 1 1 6. 抛掷一枚骰子得到 6 点的概率是6,多次抛掷骰子,出现 6 点的情况大约占6,并不意味着掷 6 次一定 得到一次 6 点,实际上,掷 6 次作为抛掷骰子的 6 次试验,每一次结果都是随机的.

3.1.3
5 1.B 2.B 3.C 4.0.96 5.9

概率的基本性质

6. (1)∵t+0.3+0.16+0.3+0.1+0.04=1,∴t=0.1. (2)至少 3 人包括 3 人, 4 人, 5 人以及 5 人以上, 且这三类事件是互斥的, ∴概率为 0.3+0.1+0.04=0.44.

3.2.1
1 2 1.C 2.B 3.C 4.5 5. 5

古典概型

6.按涂色顺序记录结果(x,y,z),由于是随机的,x 有 3 种涂法,y 有 3 种涂法,z 有 3 种涂法,所以试验 的所有可能结果有 3×3×3=27(种). (1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,则事件 A 的基本事件共有 3 个,即都涂第一种颜色,都涂第二 3 1 种,都涂第三种,因此,事件 A 的概率为:P(A)=27=9. (2)记“三个矩形颜色都不同”为事件 B,其可能结果是(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z, x,y),(z,y,x),共 6 种, 6 2 ∴P(B)=27=9.

3.3.1

几何概型
40

必修三

1 5 1.B 2.A 3.B 4.3 5. 12 6. 记 A={硬币落下后与格线没有公共点},如图,在边长为 4 3 cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边 三角形三边距离都为 1,则等边三角形 A′B′C′的边长为 3 4 4 3-2 3=2 3,由几何概率公式得:P(A)= 3 4 3 3
2

2

1 =4.

41


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1.1.1算法的概念导学案 (1)

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人教版必修三 1-1-1 算法的概念(练)

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