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宁夏回族自治区2012届高三数学文科仿真模拟卷7


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宁夏回族自治区 2012 届高三数学文科仿真模拟卷 7
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x ? R | x 2 ? 3x ? 10 ? 0}

, N ? {x ? Z | (A) [1,2] 2.若复数 z ? (A) ?3 (B) (1,2)
10 ? Z } ,则 M ? N 为( x



(C) {?1,1, 2} )

(D) {?2,?1,1,2}

x ? 3i ( x ? R) 是实数,则 x 的值为( 1? i

(B)3

(C)0

(D) 3

sin 2 35? ?
3.

sin 20?
(A)
1 2

1 2 的值为 (



(B) ?

1 2

(C) ?1

(D)

1

4. 已知直角坐标平面内的两个向量 a ? (1,3) ,b ? (m,2m ? 3) , 使得平面内任何一个向量 c 都 可以唯一表示成 c ? ? a ? ? b ,则 m 的取值范围是( (A) (??, ?3) ? (?3, ??) (B) {?3} ) (C) (?3,3) (D) (0,??)

5.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(?x ? ? ) (?? ? ? ? ? ) 的图象向左平移 像,则 ?, ? 的值为( (A) ? ? 1, ? ?
2? 3

? 个单位后,得到下面的图 3
1

) (B) ? ? 2, ? ?
2? 3

π π 2 π O 6 1 π 3

(C) ? ? 1, ? ? ?

?
3

(D) ? ? 2, ? ? ?

?
3

?x ? 3 y ? 7 ? 0 ? 6.已知 x, y 满足 ? x ? 1 ,则 z ?| y ? x | 的最大值为( ?y ?1 ?



A. 1

B. 2

C. 3

D.4 )

7.函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( (A) (??,2] (C) (2,??) 8.如图给出的是计算 (B) (??,2) (D) (0,??)
1 1 1 的值的一个程序框图,则图中判断 ? ??? 2 4 100

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框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( (A) i ? 100, n ? n ? 1 (C) i ? 50, n ? n ? 2 (B) i ? 100, n ? n ? 2 (D) i ? 50, n ? n ? 2

9 . 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 a1 ? 257 , 且 满 足

1 1 S 2011 ? ? S 2010 ? 1, S 2010 ? ? S 2009 ? 1 ,则使 | a n |? 1 的 n 的最大值为( 2 2
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9



10.如图,在平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD ,将其沿对角 线 BD 折成 四面体 A'?BCD , 使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 顶点在同一个球面上,则该球的体积为( A'?B C D )
A DB C C A' D

3 ? 2 2 (C) ? 3
(A)

(B) 3?
B

(D) 2?

11.已知双曲线的右焦点为 F,过 F 作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 A,过 A 作 x 轴的 垂线,B 为垂足,且 OF ? 3OB (O 为原点), 则此双曲线的离心率为( ) 3 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 2 12.已知函数 f (x) 的定义域为 A ,若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f (x) 的保值区间.若 ) g ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [e, ??) ,则 m 的值为( A.1 B. ?1 C. e D. ?e

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本试卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 13.若 数 列{ x n } 满足xn ? xn?1 ? d (n ? N*, n ? 2 ),其中d 为常数, x1 ? x2 ? ? ? x20 ? 80 ,则

x5 ? x16 ? ___
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14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如图) 。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000) (元)月收 入段应抽出______人 15.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相 b2 交于 A, B 两点,且 | AF2 |, | AB |, | BF2 | 成等差数列,则 | AB | 的长为 .

16.如图所示几何体的三视图,则该三视图的表面积为
频率/组距 0.0005
1 1 正视图 2 侧视图 2

0.0004 0.0003
2

0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
2 2

14 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 攀岩运动是一项刺激而危险的运动,如图(1) ,在某次攀岩活动 中,两名运动员在如图所在位置,为确保运动员的安全,地面救援者 应时刻注意两人离地面的的距离, 以备发生危险时进行及时救援.为了 方便测量和计算,现如图(2) A, C 分别为两名攀岩者所在位置, B , 为山的拐角处,且斜坡 AB 的坡角为 ? , D 为山脚,某人在 E 处测得

16 题图

A, B, C 的仰角分别为 ? , ? , ? , ED ? a ,
(1)求: BD 间的距离及 CD 间的距离; (2)求证:在 A 处攀岩者距地面的距离 h ?

A θ B

a sin ? sin(? ? ? ) cos ? sin(? ? ? )
E

C

D

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18. (本小题满分 12 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E 在棱 CC1 上,点

F 是棱 C1 D 1 的中点
(1)若 AF // 平面 BDE ,求 CE 的长; (2) 若平面 BDE⊥平面 A1BD, 求三棱锥 F—ABE 的体积.
A1 B1 E D1 F

C1

D

C

A

B

19. (本小题满分 12 分) 有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球,球上 分别标有数字 1,2,3,4 (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一 个球,谁摸出的球上标的数字大谁获胜(若数字相同则为平局) ,求 甲获胜的概率; (2)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字 相同甲获胜,所标数字不同则乙获胜,这样规定公平吗?

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20. (本小题满分 12 分) 已知直线 kx ? y ? 3k ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上 的点到 F 的最小距离为 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时,直线 试求弦长|AB|的取值范围, 否则 l 与圆 O 是否相交于两个不同的点 A,B?若相交, 说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
1 ( x ? 1) 2 ? ln x ? ax ? a 2
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ; x 2 ? x1

(1)当 a ? 2 时,求证:对任意的 x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 ,有 (2)若 x ? (1,3) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

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四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则 按所做的第一题记分) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上, 切圆 O 于 A 点,DC CA 是 ?ACB 的平分线并交 AE 于点 F 、交 AB 于 D 点, ?ADF ? ?

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标

t ? ?x ? 1? 2 ? (t为参数) . 系,直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2? 3 t ? ? 2
(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值.

? x? ? 3 x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , ? y? ? y

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24.选修 4-5:不等式选讲

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已知函数 f ( x) ? log 2 (| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (1)当 m ? 4 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

参考答案

18.解: (1)连结 AC 交 BD 于 O,连结 CF 交 DE 于 P,连结 PO ∵AF∥平面 BDE,∴AF∥PO,又 O 为 AC 中点,∴P 为 CF 中点---------------2 分
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在正方形 CD1C1C 中,延长 DE 交 D1C1 的延长线于点 Q, 则由平面几何知识得

C1 E 1 2 ? ,所以 CE= ------------------------------5 分 C1 B 3 3

(2)由平面 BDE⊥平面 A1BD 且 EO⊥BD,所以 EO⊥平面 A1BD-----------------7 分

又 AC1⊥平面 A1BD,所以 EO∥AC1,因此 E 为 CC1 的中点--------------9 分 ∵B1C⊥平面 ABF,∴E 到平面 ABF 的距离为 所以 V F ? ABE ? V E ? ABF ?
2 ,又 S ?ABF ? 2 2 , 2

1 2 2 S ?ABF ? ? ----------------------------12 分 3 2 3 19.解: (1)用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球

构成的基本事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共有 16 个------------------------------------------------3 分 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3)共有 6 个,------------------------------------------5 分

6 3 3 答:甲获胜的概率为 -----------------------6 分 ? 16 8 8 (2)设甲获胜的事件为 B ,乙获胜的事件为 C ,事件 B 所包含的基本事件为(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)共有 4 个,--------------------------------------------8 分 4 1 4 3 则 P ( B) ? ? , P(C ) ? 1 ? ? ,-----------------------------------10 分 16 4 16 4 P( B) ? P(C ) ,所以不公平--------------------------------------------------12 分 P( A) ?
20.(1)由已知得 y ? k ( x ? 3) ,所以 F(3,0)-------------------------2 分

?c ? 3 ?a ? 5 ? ? 设椭圆方程 C 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ?a ? c ? 2 解得 ?b ? 4 ---------4 分 a b ? 2 ?c ? 3 2 2 ? ?a ? b ? c

x2

y2

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 --------------------------------------5 分 25 16
m2 n2 ? ? m2 ? n2 25 16
1 m ? n2
2

(2)因为点 P(m, n) ,在椭圆 C 上运动,所以 1 ?

从而圆心 O 到直线 l : mx ? ny ? 1 的距离 d ?

?1? r

所以直线 l 与圆 O 恒相交于两个不同的点 A、B---------------------------------7 分 此时弦长 | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ?

1 m ?n
2 2

? 2 1?

1 9 2 m ? 16 25

---------------------------9

分 由于 0 ? m 2 ? 25 ,所以 16 ? 分

15 4 6 9 2 , ] ---------------------12 m ? 16 ? 25 ,则 | AB |? [ 2 5 25

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21.解: (1)令 g ( x) ? f ( x) ? x( x ? 0) ,

因为 g ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? 分

( x ? 1) 2 ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 上递增,----------------------3 x

所以 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ------------------------------------------------5 分
x2 ? x1

(2)当 a ? 1 时 f ' ( x) ? x ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? 0 x 所以, f ( x) 在 (1,3) 上递增,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 满足条件------------------------------8 分
2 2 当 a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 ? 0 ? a ? 1 ? a ? 2a ? 3 ? x1 ? x ? x2 ? a ? 1 ? a ? 2a ? 3 , 2 2

? f ' (1) ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,令 b ? min ? x2 ,3? ,则 f ( x) 在 (1, b) 上递减,

所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意。---------------------------------------------11 分 综上 a ? 1 -----------------------------------------------------------------------------12 分 22.解:??ADF ? ?ABC ? ?DCB ,

?ADF ? ?CAE ? ?ACD
? ?ACD ? ?DCB, ?CAE ? ?ABC

??ADF ? ?AFD
? ?BAE ? 90? ??ADF ? 45? ——————————10 分
23(1) ? : y ? 2 ?

3( x ? 1);圆C : x 2 ? y 2 ? 1 ——————————4 分

x2 ? y 2 ? 1 ——————————7 分 (2)曲线 C ' : 9
令?

? x ? 3cos ? ? x ? 2 3 y ? 3cos ? ? 2 3 sin ? ——————————9 分 ? y ? sin ?
? 21sin(? ? ? )

? x ? 2 3 y 最小值 ? 21 ——————————10 分
24(1) ? x x ? ?

? ?

7 1? 或x ? ? ——————————5 分 3 3?

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? ? ?3 x ? 5, x ? ?2 ? 1 ? (2) m ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 及 g ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 ? ?? x ? 1, ?2 ? x ? ? 2 ? 1 ? ? 3 x ? 1, x ? ? 2 ?

? g ( x) ? ?

1 2

1 ? m ? ? ——————————5 分 2

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