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人教版高中数学必修一教案


第一章
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示

集合与函数概念

课标三维定向
〖知识与技能〗1、了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。 2、掌握集合中元素的特性。 3、能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用。 〖过程与方法〗通过实例,从

集合中的元素入手,正确表示集合,结合集合中元素的特 性,学会观察、比较、抽象、概括的思维方法,领悟分类讨论的数学思想。 〖情感、态度、价值观〗在运用集合语言解决问题的过程中,逐步养成实事求是、扎实 严谨的科学态度,学会用数学思维方法解决问题。

教学重、难点
〖重点〗集合的含义与表示方法。 〖难点〗集合表示方法的恰当选择及应用。

教学过程设计
一、阅读课本:P2—6(10 分钟) (学生课前预习) 二、核心内容整合 1、为什么要学习集合——现代数学的基础(数学分支) 2、集合的含义:把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 3、集合的特性 (1)确定性。问题: “高个子”能不能构成集合?我国的小河流呢? 〖知识链接〗模糊数学( “模糊数学简介” 、 “浅谈模糊数学” ) (2)互异性:集合中的元素不重复出现。如{1,1,2}不能构成集合 (3)无序性——相等集合,如{1,2} = {2,1} 4、元素与集合之间的“属于”关系: a ? A, a ? A 5、一些常用数集的记法:N(N*,N+) ,Z,Q,R。如:R+表示什么? 6、集合的表示法: (1)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}“括起来。
1

例 1、用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合;{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2)方程 x ? x 的所有实数根组成的集合; (0,1)
2

(3)由 1 ~ 20 以内的所有质数组成的集合。 (难点:质数的概念) {2,3,5,7,11,13,17,19} (2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示。 {x | x ? P} 例 2、试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

列举法: { 2, ? 2} ;描述法: {x | x 2 ? 2 ? 0} 。 (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 列举法:{11,12,13,14,15,16,17,18,19};描述法: {x |10 ? x ? 20, x ? Z} 。 〖知识链接〗代表元素:如 {x | y ? x 2 } (自变量的取值范围) ,{ y | y ? x 2 } (函数值 的取值范围) , {( x, y) | y ? x 2 } (平面上在抛物线上的点)各代表的意义。 三、迁移应用 1、已知 4 ?{1, a , (a ? 1) } ,求实数 a 的值。
2 2

2、已知 M ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0} 是单元素集合,求实数 a 的值。
2

思路探求: (1)对 a 讨论; (2)方程仅一根 ? ? ? 0 。 四、学习水平反馈:P6,练习;P13,习题 11,A 组,1、2。

五、三维体系构建

? ?元素与集合的关系 ?集合的含义? 集合的含义与表示 ? ?元素的特征: 确定性、 互异性、 无序性 ? ?集合的表示: 列举法、 描述法
六、课后作业:P13,习题 11,A 组,3、4。
2 2 补充:已知 A ? {a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3} ,若 1 ? A ,求实数 a 的值。

七、教学反思:

2

1.1.2

集合间的基本关系

课标三维定向
〖知识与技能〗1、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 2、在具体情景中,了解空集的含义。 〖过程与方法〗从类比两个实数之间的关系入手,联想两个集合之间的关系,从中学会 观察、类比、概括和思维方法。 〖情感、态度、价值观〗通过直观感知、类比联想和抽象概括,让学生体会数学上的规 定要讲逻辑顺序,培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。

教学重、难点
〖重点〗理解子集、真子集、集合相等等。 〖难点〗子集、空集、集合间的关系及应用。

教学过程设计
一、问题情境设疑——类比引入 问题:实数有相等关系、大小关系,可否拓展到集合之间的关系? 引例:观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗? (1)A = {1,2,3},B = {1,2,3,4,5}; (2)设 A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B 为这个班全体学生组成的集 合; (3)设 C = {x | x 是两条边相等的三角形},D = {x | x 是等腰三角形}。 二、核心内容整合 1、子集的概念 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素,记作 A ? B 或 B ? A 。图示如下 符号语言:任意 x ? A ,都有 x ? B 。 2、集合相等 类比:实数: a ? b 且 a ? b ? a ? b 集合: A ? B 且 B ? A ? A ? B 3、真子集的概念 集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,记作 A ? B 或 B ? A 。 (A ≠ B) 说明:从自然语言、符号语言、图形语言三个方面加以描述。 4、空集的概念:
3

不含任何元素的集合,记作 ? 规定:空集是任何集合的子集: ? ? A 〖知识链接〗比较计算机“我的文档”的“文件夹”与子集的关系。如何体现“集合相 等”? 5、包含关系 {a} ? A 与属于关系 a ? A 有什么区别? 如 0,{0}, ? 。注意区分元素与集合,集合与集合之间的符号表示。 6、集合的性质 (1)反身性: A ? A, ? ? A (2)传递性: A ? B, B ? C ? A ? C 课堂练习:判断集合 A 是否为集合 B 的子集,若是打“√” ,若不是打“×” 。 (1)A = {1,3,5},B = {1,2,3,4,5,6} (2)A = {1,3,5},B = {1,3,6,9} (3)A = {0},B = {x | x2 ? 1 ? 0} (4)A = {a,b,c,d},B = {d,b,c,a} 三、例题分析示例 例 1、写出集合{a , b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集。 ( √ ) ( × ) ( × ) ( √ )

? ,{a},{b},{a,b}。
〖探究拓展〗练习:P8,练习 1。 探究:集合 A 中有 n 个元素,请总结出它的子集、真子集的个数与 n 的关系。 子集的个数:2 n,真子集的个数:2 n – 1。与杨辉三角形比较。 例 2、设 A ? {x, x , xy}, B ? {1, x, y} ,且 A = B,求实数 x,y 的值。
2

例 3、若 A ? {x | ?3 ? x ? 4}, B ? {x | 2m ? 1 ? x ? m ? 1} ,当 B ? A 时,求实数 m 的 取值范围。

4

四、学习水平反馈:P8,练习 2,3;P14,1,2。

五、三维体系构建 集合间的基本关系:子集,集合相等,真子集,空集。

六、课后作业 1、已知 a , x∈R,集合 A = {2 , 4 , x 2 – 5x + 9} , B = {3 , x 2 + ax + a}, (1)若 A = {2 , 3 , 4},求 x 的值; (2)若 2 ? B, B ? A ,求 a , x 的值。 2、 已知 A = {x | x < – 1 或 x > 2} , B = {x | 4x + p < 0}, 且A? B, 求实数 p 的取值范围。

七、教学反思:

5

1.1.3

集合的基本运算

课标三维定向
〖知识与技能〗 1、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 3、能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 〖过程与方法〗通过类比实数的运算,得到集合间的运算:并、交、补,在正确理解并 集、交集、补集概念的基础上学会求集合的并集、交集、补集的方法,并体会数形结合思想 的应用。 〖情感、态度、价值观〗在学习集合运算的过程中,培养类比的思想及由特殊到一般的 认知规律,同时在利用数轴和 Venn 图解题的过程中,学会用数形结合思想解决数学问题。

教学重、难点
〖重点〗并集、交集、补集的概念及集合的运算。 〖难点〗补集的意义及集合的应用,符号之间的区别与联系。

教学过程设计 第一课时 并集与交集

一、问题情境设疑 类比:实数有加法运算,集合是否也可以“相加”呢? 二、核心内容整合 1、并集 引例:考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? (1)A = {1,3,5},B = {2,4,6},C = {1,2,3,4,5,6}; (2)A = {x | x 是有理数},B = {x | x 是无理数},C = {x | x 是实数}。 定义:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,记作 A∪B。 A∪B = {x | x∈A 或 x∈B},图示如右。 性质: (1)A∪A = A; (2) A ? ? ? A 。 例 1、设 A = {4,5,6,8},B = {3,5,7,8},求 A∪B。 A∪B = {3,4,5,6,7,8} 例 2、设集合 A = {x | – 1 < x < 2},集合 B = {x | 1 < x < 3},求 A∪B。

6

A B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,强调用数轴表示从而写出答案。
2、交集 引例:考察下面的问题,集合 A、B 与集合 C 之间有什么关系? (1)A = {2,4,6,8,10},B = {3,5,8,12},C = {8}; (2)A = {x | x 是新华中学 2004 年 9 月在校的女同学},B = {x | x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级同学},C = {x | x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级女同学}。 定义:由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合,记作 A∩B。 A∩B = {x | x∈A 且 x∈B},图示如右。 性质: (1)A∩A = A; (2) A ? ? ? ? 。 例 3、新华中学开运动会,设 A = {x | x 是新华中学高一年级参 加百米赛跑的同学},B = {x | x 是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求 A∩B。 A∩B = {x | x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学} 例 4、设平面内直线 l1 上的点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2,试用集合的运算 表示 l1、l2 的位置关系。 例 5、已知 A ? {2, ?1, x2 ? x ? 1}, B ? {2 y, ?4, x ? 4}, C ? {?1,7},且 A x,y 的值及 A

B ? C ,求

B。

例 6、已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? a} , (1)若 A (2)若 A

B ? ? ,求实数 a 的取值范围; B ? A ,求实数 a 的取值范围。

例 7、设 A = {x | x 2 + 4x = 0},B = {x | x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0}, (1)若 A∪B = A,求实数 a 的值; (2)若 A

B ? A ,求实数 a 的值。

三、学习水平反馈——P12,练习 1,2,3。 四、三维体系构建 五、课后作业——P13,习题 11,A 组 6,7,8;B 组,2,3。 六、教学反思:

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第二课时

全集与补集

一、核心内容整合 1、全集的概念:含有我们所研究问题中涉及的所有元素,记作 U。 如 Q、R(把给定的集合叫做全集) 2、补集:由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,记作 CUA。 CUA = {x | x∈U 且 x ? A }(图示如右) 〖知识拓展〗差集:A – B = {x | x∈A 且 x ? B }。 二、例题分析示例 例 1、设 U = {x | x 是小于 9 的正整数},A = {1,2,3},B = {3,4,5,6},求 CUA, CUB。

例 2、 设全集 U = {x | x 是三角形}, A = {x | x 是锐角三角形}, B = {x | x 是钝角三角形}, 求 A ? B, CU ( A ? B) 。

三、知识迁移应用 1、已知集合 A ? {x | ?4 ? x ? 1}, B ? {x | x ? ?3},求 A ? B, (C R A) ? (C R B) 。

2、设全集 U ? {2, 4, a2 ? a ?1}, A ? {a ? 1, 2}, CU A ? {7},求实数 a 的值。

四、学习水平反馈:P12,练习 4。

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五、三给体系构建 基本运算 定义 图示 性质

(1)A∪A = A; 并集 A∪B = {x | x∈A 或 x∈B} (2) A ? ? ? A 。

(1)A∩A = A; 交集 A∩B = {x | x∈A 且 x∈B} (2) A ? ? ? ? 。

补集

CUA = {x | x∈U 且 x ? A }

六、课后作业:P14,习题 11,A 组 9,10;B 组 4。 设全集 U ? {2,3, x2 ? 2x ? 3}, A ? {| 2x ?1|,2}, CU A ? {5} ,求实数 x 的值。 七、教学反思:

9

集合习题课
教学要求: 掌握集合、交集、并集、补集的有关性质,运行性质解决一些简单的问题,
掌握集合的有关术语和符号。

教学重点:交集、并集、补集的运算。 教学难点:集合知识的综合。 教学过程:
一、复习准备: 1、提问:什么叫交集、并集、补集?符号语言如何表示?图形语言? 2、交、并、补有何综合性质? 3、集合问题的解答方法:Venn 图示法、数轴分析法。 二、讲授新课: 例 1: 全集 U = {x | x < 10, x∈N ? }, A ? U, B ? U, (C U B) ∩A = {1, 9}, A∩B = {3}, (C U A)∩(C U B) = {4,6,7},求 A、B。 学生分析方法→填写图中各块的元素→ 小结: 列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、 观察法。 解:因为 (CU B) 因为 (CU A) 6 7 4 1 9 A 3 B

A ? {1,9},所以 1、9 ? CU B

(CU B) ? {4,6,7}

所以 CU B ? {1,4,6,7,9},从而 B = {2,3,5,8}; 又 (CU B)

A ? {1,9}, A B ? {3},所以 A = {1,3,9}。

例 2: 已知 A = {x | – 2 < x < – 1 或 x > 1}, A∪B = {x | x + 2 > 0}, A∩B = {x |1 < x ≦ 3}, 求集合 B。 解法:数轴上表示各集合后, 分析得出结果。 分析:因为

A B
B

A B
?

A B ? {x |1 ? x ? 3} ,
所以 {x |1 ? x ? 3} ? B , 因为 A

-2

-1

1

3

x

B ? {x | x ? ?2} , {x | ?1 ? x ? 1} A ? ? ,

所以 {x | ?1 ? x ? 1} ? B ,所以 B ? {x | ?1 ? x ? 1} {x |1 ? x ? 3} ? {x | ?1 ? x ? 3} 。 例 3:满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 分析:满足条件的集合 A 可列举如下: {1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5}, 个。

10

{1,2,3,4,5}共 8 个。 观察以上的集合,都含有元素 1、2,若把 1、2 去掉,则剩下的集合恰为集合 {3,4,5}的子集,也是 8 个,因此,解题时,可把公共的元素删去,求剩下的集合的子集 即可。 例 4、已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为 40、31 人,两项均不 及格的为 4 人,那么两项都及格的为 人。 U:50 A:40 x 4

分析: 记参加跳远测验及格的同学组成的集 合为 A, 参加铅球测验及枚的同学组成的集合为 B,则两项都及格的同学组成集合 A 都不及格的同学组成集合 (CU A) 中 U 表示全班同学组成的集合。

B:31

B ,两项

(CU B) ,其

设两项都及格的同学为 x 人,则有 40 + 31 – x + 4 = 50,解得 x = 25。 说明:本题解出后,应代入验证:50 名同学中,只有跳远及格人数为 15 人,只有铅球 及格人数为 6 人,4 + 15 + 25 + 6 = 50,符号题意。 思考题 1:设 S 为集合{1,2,3,?,100}的具有下列性质的子集:S 中任意两个不同 元素之和不被 7 整除,那么 S 中元素最多可能有多少个? 分析:对于两个不同的自然数与 a,b 如果要求(a + b)不被 7 整除,就是要求它们的 和被 7 除所得的余数不为 0。我们把集合{1,2,3,?,100}按照其中元素被 7 除所得的余 数相同与否进行归类,余数相同的组成一个集合,这样得到 7 个子集,然后从这 7 个子集中 适当抽取满足题意的元素组成集合 S。

思考题 2:设 M = {1 , 2 , 3 , ? , 1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时,

15 x ? A ,则 A 中元素的个数最多是__________。

教学反思:

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念 函数的概念

第一课时

三维目标定向
11

〖知识与技能〗理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,了解构成函数的三 要素。 〖过程与方法〗1、通过丰富实例,建立函数概念的背景,体会函数是描述变量之间的 依赖关系的重要数学模型。 2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 〖情感、态度、价值观〗通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养学生的抽象 思维能力。

教学重、难点
〖重点〗体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念。 〖难点〗函数概念及符号的理解。

教学过程设计
一、知识回顾 1、初中学习的函数概念是什么? 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有惟一的值与它 对应,则称 x 是自变量,y 是 x 的函数;其中自变量 x 的取值的集合叫做函数的定义域,和 自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数的值域。 2、思考: (1)y = 1 是函数吗? (2)y = x 与 y ?

x2 是同一个函数吗? x

显然,仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此,需要从新的高度认识函数。 二、问题情境设疑 引例 1、 (炮弹发射) 一枚炮弹发射后, 经过 26s 落到地面击中目标。 炮弹的射高为 845m, 且炮弹距地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是: h ? 130t ? 5t (*) 。
2

炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A = {t |0 ≤ t ≤ 26},炮弹距地面的高度 h 的变化范围 是数集 B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。 从问题的实际意义可知,对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系(*) ,在数集 B 中都有惟一的高度 h 和它对应。 引例 2、 (南极臭氧空洞)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层 空洞问题,如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979 ~ 2001 年的变化情况:

12

根据可图中的曲线可知,时间 t 的变化范围是数 集 A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001},臭氧层空洞面积 S 的变化 范围是数集 B = {S |0 ≤ S ≤26}。并且,对于数集 A 中 的每一个时刻 t, 按照图中的曲线, 在数集 B 中都有惟 一确定的臭氧层空洞面积 S 和它对应。 引例 3、 (恩格尔系数变化表)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高 低,恩格尔系数越低,生活质量越高,下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八 五计划”以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照(1) 、 (2)描述恩格尔系数和时间(年)的关系。 问题:分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点? 不同点: 实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,实例(2)是用图象刻画变量之间的对 应关系,实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系; 共同点: (1)都有两个非空数集; (2)两个数集之间都有一种确定的对应关系。 三、核心内容整合 1、函数的概念 归纳以上三个实例,我们看到,三个实例中变量之间的关系可以描述为: 对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都有惟一确定的 y 和它对 应,记作 f : A→B。 定义:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意 一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ( x), x ? A 。 2、函数的三要素 (1)定义域 A:自变量 x 的取值范围。
13

(2)对应法则 f ——变化规律; (3)值域 { f ( x) | x ? A} :函数值 y 的集合。 如: (1)一次函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,定义域为 R,值域为 R; (2)正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) ,定义域为 R,值域为 R; (3)反比例函数 f ( x) ?

k (k ? 0) ,定义域为 {x | x ? 0} ,值域为 { y | y ? 0} ; x

(4)二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 定义域为 R, a > 0 时,值域为 { y | y ?

4ac ? b 2 4ac ? b 2 } ;a < 0 时,值域为 { y | y ? }。 4a 4a

说明:① 定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素,是一个整体; ② 值域由定义域、对应法则惟一确定; ③ 函数符号 y = f (x)表示“y 是 x 的函数”而不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积” 。 练习 1:判断正误 1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应( 2、函数的定义域和值域一定是无限集合( ) ) ) )

3、定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定(

4、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素( 5、对于不同的 x,y 的值也不同( ) )

6、f (a)表示当 x = a 时,函数 f (x)的值,是一个常量( 归纳:如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系? ① 定义域和对应法则是否给出?

② 根据所给对应法则,自变量 x 在其定义域中的每一个值,是否都有惟一确定的一个 函数值 y 和它对应。 练习 2:判断下列对应能否表示 y 是 x 的函数:
2 2 2 2 2 2 (1)y ?| x | ; (2)| y |? x ; (3)y ? x ; (4)y ? x(5)y ? x ? 1; (6)y ? x ? 1。

练习 3:下列图象能表示函数图象的是( y y

) y y

0 (A)

x (B)

0

x

0

x

0
14

x

(C)

(D)

四、例题分析示例 例 1、已知函数 f ( x) ? (1)求函数的定义域; (2)求 f ( ?3), f ( ) 的值; (3)当 a > 0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。 注意:① 研究一个函数一定在其定义域内研究,所以求定义域是研究任何函数的前提 ② 函数的定义域常常由其实际背景决定, 若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义 的实数 x 的集合。 结论: (1)如果 y ? f ( x) 是整式,则定义域是实数集 R; (2)如果 y ? f ( x) 是分式, 则定义域是使分母不等于 0 的实数的集合; (3)如果 y ? f ( x) 是二次根式,则定义域是使 根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合; (4)如果 y ? f ( x) 是由几个部分的式子构成, 则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即各集合的交集) ; (5)如果是实际问题,则 定义域是使实际问题有意义的实数的集合。 练习 4:P19 练习 1、2。 四、三维体系构建 1、函数的概念: 2、函数的三要素:定义域、值域、对应法则。 3、会求简单函数的定义域和函数值。 五、课后作业: P24,习题 1.2,A 组,1,3,4。 教学反思:

x?3?

1 , x?2

2 3

第二课时

函数的定义域与值域

三维目标构建
〖知识与技能〗1、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域,并会求一 些简单函数的定义域和值域。 2、了解区间的意义,并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。 〖过程与方法〗 进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用, 明确函数定义域
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在三要素中的地位与作用。 〖情感、态度、价值观〗培养学生分析、解决问题的能力,养成良好的学习习惯。

教学重、难点
〖重点〗熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。 〖难点〗含字母参数与抽象函数的定义域的求解。

教学过程设计
一、复习引入 1、函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ( x), x ? A 。 练习 1:已知 f ( x) ? x 2 ?1 ,求 f (?1), f (1), f (a ? 1), f (2 x ? 1) 。 2、函数的三要素:定义域、对应法则、值域。 二、核心内容整合 1、区间的概念: 设 a,b 是两个实数,而且 a < b,我们规定: (1)满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2)满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b) ; (3)满足不等式 a ≤ x < b 或 a < x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为[a, b)或(a,b]。 实数集 R 可以用区间表示为(-∞,+∞) , “∞”读作“无穷大” 。满足 x ≥ a,x > a,x ≤ b, x < b 的实数的集合分别表示为[a,+∞)、(a,+∞)、(-∞,b]、(-∞,b)。 注意:① 区间是一种表示连续性的数集;② 定义域、值域经常用区间表示;③ 用实 心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。

16

练习 2、试用区间表示下列实数集: (1){x |5 ≤ x < 6}; (3){x | x ≤ -1} ∩{x | -5 ≤ x < 2}; 2、典型例题分析: 例 2、下列函数中哪个与函数 y = x 相等? (2){x | x ≥ 9} ; (4){x | x < -9}∪ {x | 9 < x < 20}。

x2 (1) y ? ( x ) ; (2) y ? x ; (3) y ? x ; (4) y ? 。 x
2

3

3

2

〖知识提炼〗两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。 练习 3:P19 练习 3。 例 3、已知 f ( x ? 1) ? x ? 3x ? 2 。
2

(1)求 f (2) 和 f ( a ) 的值; (2)求 f ( x ) 和 f ( x ? 1) 的值。
2 分析:比较 f (2) 与 f ( x ? 1) ,知当 x = 1 时,得 f (2) ? 1 ? 3 ?1 ? 2 ? 1 。

类似地,令 x ? 1 ? a ,则 x ? a ? 1 ,所以 f (a) ? (a ?1) ? 3(a ?1) ? 2 ? a ? 5a ? 6 。
2 2

用 x 替换 a,得 f ( x) ? x ? 5x ? 6 。
2 2 练习 4: (1)已知 f (2 x ? 1) ? x ? x ? 1 ,求 f ( x ) ;

学生求解。 (2)已知 f ( x ? ) ? x ?

1 1 2 ,求 f ( x ) 。 x x2 1 2 分析:令 t ? x ? ,所以 x ? tx ? 1 ? 0 ,此时要用 x 表示 t,式子非常复杂,考虑原式 x

17

中右边的特点,可知把 t 平方即可: t ? ( x ? ) ? x ? 2 ?
2 2 2

1 x

1 1 ? x 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ,所以 2 x x

f (t ) ? t 2 ? 2 ,得 f ( x) ? x2 ? 2 。
例 4、 (1)已知 f ( x) 的定义域为[1,4],求 f ( x ? 2) 的定义域。 分析:令 t ? x ? 2 ,因为 f (t ) 的定义域为[1。4],所以

1 ? t ? 4 ? 1 ? x ? 2 ? 4 ? ?1 ? x ? 2 ,所以的定义域为[– 1,2]。
(2)已知 f ( x ? 1) 的定义域为[0,3],求 f ( x) 的定义域。 分析:令 t ?

x ? 1 ,因为 0 ? x ? 3 ,所以1 ? t ? 2 ,所以 f (t ) 的定义域为[1,2],从

而 f ( x) 的定义域的定义域为 [1,2]。

三、归纳小结: 1、区间的概念:能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。 2、判断两个函数相等:两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。 3、求函数的解析式:换元法或整体代入(配凑法) 。 4、已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [? ( x)] 的定义域。 四、布置作业: 课本 P24,习题 1.2,A 组第 2、3 题。

x , 1? x 1 (1)求 f ( x ) ? f ( ) 的值; x
补充:已知 f ( x ) ? (2)求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (7) ? f (1) ? f ( ) ? ? ? f ( ) 的值。 教学反思

1 2

1 7

18

1.2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法

三维目标构建
〖知识与技能〗理解并掌握函数的三种表示方法,并能进行简单应用。 〖过程与方法〗 通过现实生活中丰富实例的探究过程, 感受不同方法在具体问题中的应 用,渗透数形结合思想方法。 〖情感、态度与价值观〗提高利用函数观点分析和解决问题的能力,通过数学活动,体 验数学的应用意识,体会数学的价值。

重、难点
〖重点〗函数的三种表示方法。 〖难点〗利用列表、图象认识函数的意义,以及根据条件,利用恰当方法表示函数及相 互转化。

教学过程设计
一、核心内容整合 函数的表示法: (1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如实例 1(炮弹发射) 。 (2)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系,如实例 2(南极臭氧空洞) 。 (3)列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系,如实例 3(恩格尔系数) 。 二、例题分析示例 例 1、某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5})个笔记本需要 y 元,试 用函数的三种表示方法表示函数 y ? f ( x) 。 分析:解析法: y ? 5 x, x ? {1,2,3,4,5}; 列表法: 笔记本数 x 钱数 y 图象法: 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

19

三种表示方法的特点: 解析法的特点:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过用解析式求出任意一个自 变量所对应的函数值。 列表法的特点:不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 图像法的特点:直观形象地表示出函数的变化情况 ,有利于通过图形研究函数的某些 性质。 三种表示方法举例: 解析法: y ? kx (k ? 0), h ?

1 2 gt ; 2

列表法:国内生产总值(单位:亿元) 年份 生产总值 1990 18598.4 1991 21662.5 1992 26651.9 1993 34560.5

图象法:我国人口出生变化率曲线:

我国人口出生率变化曲 线

20

例 2、下表是某校高一(1)班的三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平 均分数,

设测试序号为 X,成绩为 Y, (1)每位同学的成绩 Y 与测试序号 X 之间的函数关系能用解析法表示吗?

(2)若要对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析,选用那种方法比较 恰当? 例 3、 北京市昌平区政府预想在 2008 年九龙游乐园建造一个直径为 20m 的圆形喷水池, 如图所示, 计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头, 使喷出的水柱在离池中心 4m 处达到最高,高度为 6m。另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物,使各方向喷来的 水柱在此处汇合。这个装饰物的高度应当如何设计? 解:过水池的中心任意选取一个截面,如图所示。由物理学知识可知,喷出的水柱轨迹 是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系,由已知条件易知,水柱上任意一个点距中心的水

21

?a1 ( x ? 4) 2 ? 6(?1 ? x ? 0) ? 平距离 x(m)与此点的高度 y(m)之间的函数关系是 y ? ? 2 ? ?a2 ( x ? 4) ? 6(0 ? x ? 10)

由 x = – 10,y = 0,得 a1 ? ?

1 1 ;由 x = 10,y = 0,得 a2 ? ? ,于是,所求函数解析 6 6

? 1 ? ( x ? 4) 2 ? 6(?1 ? x ? 0) ? 10 10 ? 6 式是 y ? ? ,当 x = 0 时, y ? ,所以装饰物的高度为 m。 3 3 ?? 1 ( x ? 4) 2 ? 6(0 ? x ? 10) ? ? 6
三、学习水平反馈 练习:1、周长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框 架(如图所示) ,若矩形底边长为 2x,求此框架围成图形的面积 y 关于 x 的函数,并求出定义域。 (拓展:求 y 的最大值。 ) A 2、 在如图所示的直角坐标系中, 一运动物体经过点 A (0, 9) , 其方程为 y ? ax ? c(a ? 0) ,D =(6,7)为 x 轴上给定的区间。
2

D

C

2x
y

B

9

A
?P

(1)为使物体落在 D 内,求 a 的取值范围; (2)若物体运动时,又经过点 P(2,8.1) ,问它能否落在 D 内?并说明理由。 3、课本 P23 练习 1,2。 四、三维体系构建 (1)理解函数的三种表示方法; (2)在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。 五、课后作业:P24,习题 1.2,A 组,8,9;B 组,4。 教学反思
O 6 7 x

22

第二课时

分段函数

三维目标定向
〖知识与技能〗1、会利用图象的对称性画出含有绝对值符号的函数的图象。 2、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的应用。 〖过程与方法〗通过丰富实例的探究过程,体会分段函数在具体问题中的应用。 〖情感、态度与价值观〗体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。

教学重难点
分段函数的理解以及分段函数在实际问题中的运用。

教学过程设计
一、含有绝对值符号的函数的图象 例 1、画出函数 y ?| x | 的图象。 解:由绝对值的概念,我们有 y ? ? 所以函数 y ?| x | 的图象为: 练习 1、画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象。
y 5 4

? x, x ? 0 , ?? x, x ? 0

3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

练习 2、画出函数 y ?| x ? 3x ? 2 | 的图象。
2

2 2
y

练习 3、画出函数 y ? x ? 3| x | ?2 的图象。
2

O
y

x

2 O 2 x

2 O 2 x

结论:函数 y ?| f ( x) | 的图象:把函数 y ? f ( x) 图象中 x 轴下方的图象对称到 x 轴上 方;
23

函数 y ? f (| x |) 的图象:先画出函数 y ? f ( x) 在 y 轴右方的图象,再关于 y 轴对称到 左边。 二、分段函数 例 2、 (公交车票价)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象。 解:设票价为 y 元,里程为 x 公里,由题意可知,自变量的取值范围是 (0, 20] 。 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则,可得到以下函数解析式:

?2, 0 ? x ? 5 ?3,5 ? x ? 10 ? ,其图象为: y?? 4,10 ? x ? 15 ? ? ?5,15 ? x ? 20
分段函数: 所谓“分段函数” ,习惯上指在定义域的不同部分,有 不同的对应法则的函数,对它应有以下两点基本认识: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函 数;

y 5 4 3 2 1 0 5 1 0 1 5 2 0 x

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。 例 3、某质点 30 秒内运动速度 v 是时间 t 的函数,它的图象如图,用解析式法表示出这 个函数,并求出 9 秒时质点的速度。 分析:函数的解析式为: 30 25 20 15 10 ? 5 O 5 10 15 20 25 30 35 t/s
?

v(cm/s)
? ?

?10 ? t , 0 ? t ? 5 ?3t ,5 ? t ? 10 ? , v(t ) ? ? ?30,10 ? t ? 20 ? ??3t ? 90, 20 ? t ? 30
当 t = 9 时, v(9) ? 3 ? 9 ? 27 cm / s 。

24

练习 4、 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 800 元 的部分不必纳税,超过 800 元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 税率(%) 5 10 15

某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?

练习 5、 如图, 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上有一点 P, 沿着折线 BCDA 由点 B (起 点)向点 A(终点)运动,设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 y,求: (1)y 关于 x 的函数关系式; (2)画出 y = f (x) 的图象。 D C

P x 三、归纳小结 A B

(1)图象与解析式是函数最重要的两种表示方法,两者相辅相成,互为补充,要能够 顺利地进行两者的互相转化。 (2)分段函数是一种特殊的函数,自变量在不同范围内取值时,对应的解析式不同, 但无论分段函数共有几段,它始终是一个函数,而不是多个函数。 四、布置作业 1、画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 2 x ? 3| ;
2

(2) y ? x ? 2 | x | ?3 。
2

2、课本 P25,习题 1.2,B 组,3。 3、练习 5。 教学反思:

25

第三课时
三维目标定向

映射

〖知识与技能〗1、了解映射的概念。 2、能解决一些简单的函数解析式问题。 〖过程与方法〗1、结合函数的概念理解映射的概念,明白函数是一种特殊的映射。 2、通过丰富实例的探究过程,体会函数解析式在具体问题中的应用。 〖情感、态度与价值观〗体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。

教学重难点
映射概念的理解以及函数在实际问题中的运用。

教学过程设计
一、映射 问题 1: 函数是两个非空数集间是一种确定的对应关系。 若将数集扩展到任意的集合时, 会得到什么结论? 阅读课本 P22 ~ 23。 映射的定义:设 A、B 是非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应, 那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 问题 2:函数概念与映射概念之间有怎样的关系?有什么异同? 函数是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射。 映射是从集合 A 到集合 B 的一种对应关系, 这里的集合 A、B 可以是数集,也可以是其他集合。函数是一种特殊的映射。 问题 3:如何判断一个对应关系是不是映射?(举例说明) 说明: (1)映射有三要素:两个集合,一个对应法则,三者缺一不可; (2)A 中每个元素在 B 中必有唯一元素和它对应; (3)A 中元素与 B 中元素的对应关系,可以是:一对一,多对一,但不能是一对多。 例 1、以下给出的对应是不是从集合 A 到 B 的映射? (1)集合 A = {P | P 是数轴上的点},集合 B = R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表 的实数对应; (2)集合 A = {P | P 是平面直角坐标系中的点},集合 B = {(x , y) | x∈R , y∈R},对应 关系 f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
26

(3)集合 A = {x | x 是三角形},集合 B = {x | x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对 应它的内切圆; (4)集合 A = {x | x 是新华中学的班级},集合 B = {x | x 是新华中学的学生},对应关 系 f:每一个班级都对应班里的学生。 思考:对于例 1,如果将(3)中的对应关系 f 改为:每一个圆都对应它的内接三角形; (4)中的对应关系 f 改为:每一个学生都对应它的班级,那么对应 f:B→A 是从集合 B 到 A 的映射吗? 巩固练习:课本 P24,4。 补充练习:已知(x,y)在 f 下的对应元素是(x + y,x 2 – y) ,求: (1)A 中元素(– 3,2)在 B 中对应元素; (2)B 中元素(2,– 2)在 A 中与之对应的元素。 二、函数的简单应用 例 2、已知函数 f ( x) 对任意的 x, y ? R ,总有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (1) ? 求 f (3) 的值。

2 , 3

例 3、某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励 销售商订购, 决定当一次订购量超过 100 个时, 每多订购一个多订购的全部零件的出厂单价 就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元。 (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P = f (x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个, 利润又是多少元?

三、作业:例 2、例 3、例 4。 教学反思

1.3 函数的基本性质

27

1.3.1

单调性与最大(小)值 函数的单调性

第一课时

三维目标定向
〖知识与技能〗 (1)结合具体函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)能利用函数图象理解和研究函数的单调性; (3)能利用定义判定一些简单函数的单调性。 〖过程与方法〗 借助二次函数体验单调性概念的形成过程, 领会数形结合的数学思想, 学会运用概念进 行判断推理,养成细心观察,严谨论证的良好思维习惯。 〖情感、态度与价值观〗 渗透由具体到抽象的认识,通过合作交流,培养学生反思学习、善于思考的习惯。

教学重难点
〖重点〗函数单调性的概念。 〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。

教学过程设计
一、问题情境设疑
2 引例:画出一次函数 f ( x) ? x 和二次函数 f ( x) ? x 的图象。 (几何画板)

问题:以上两个图象有什么特征?——“上升” 、 “下降” 上升:随着 x 的增大,相应的 f (x)也增大;下降:随着 x 的增大,相应的 f (x)减小。 二、核心内容整合 1、函数的单调性的概念: 问题:如何用数学语言描述“随着 x 的增大,相应的 f (x)也增大”?——学生探究。 增函数: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2, 当 x1 < x2 时,

28

都有 f (x1) < f (x2),那么就说函数 f (x)在区间 D 上是增函数。 学生类比得出 减函数: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2, 当 x1 < x2 时, 都有 f (x1) > f (x2),那么就说函数 f (x)在区间 D 上是减函数。 〖知识提炼〗同增异减

注意: (1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2) 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2; 当 x1 ? x2 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,分别是增函数和减函数。 2、函数的单调性的定义 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y ? f ( x) 在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y ? f ( x) 的单调区间。 3、基本初等函数的单调性 (1)一次函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) : 当 a > 0 时,在 (??, ??) 上是增函数; 当 a < 0 时,在 (??, ??) 上是减函数。 o
y

y

y

x

o y

x

k (2)反比例函数 f ( x) ? (k ? 0) : x
当 k > 0 时,在 ( ??, 0) 和 (0, ??) 上是减函数; 当 k < 0 时,在 ( ??, 0) 和 (0, ??) 上是增函数。 (3)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) :
2

o

x

o

x

b b , ??) 上是增函数,在 ( ??, ? ] 上是减函数; 2a 2a b b , ??) 上是减函数,在 ( ??, ? ] 上是增函数; y 当 a < 0 时,在 [ ? y 2a 2a
当 a > 0 时,在 [ ?
29

o

x

o

x

三、例题分析示例 例 1、如图是定义在区间[– 5,5]上的函数 y ? f ( x) ,根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

例 2、物理学中的玻意耳定律 p ?

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当 V

其体积 V 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证明之。 〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)取值:设 x1 , x2 是给定区间上任意的两个值,且 x1 < x2; (2)作差变形:f (x1) – f (x2); (变形手段:通分、因式分解、配方、有理化等。 ) (3)定号:确定 f (x1) – f (x2)的符号; (4)判断:当 f (x1) < f (x2)时, f ( x) 是增函数;当 f (x1) > f (x2)时, f ( x) 是减函数。 〖探究〗画出反比例函数 y ?

1 的图象。 x

(1)这个函数的定义域 I 是什么? (2)它在定义域 I 上的单调性是怎样的?证明你的结论。 四、学习水平反馈:P32 练习,1,2,3,4。 五、三维体系构建 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分四步: 取值——作差——定号——判断 六、课后作业:P39,习题 1.3,A 组 1,2,3。 教学反思

第二课时

函数的最大(小)值
30

三维目标定向
〖知识与技能〗 理解函数的最大 (小) 值及其几何意义,会用函数的单调性求一些函数的最大 (小)值。 〖过程与方法〗 借助具体函数,体验函数最值概念的形成过程,领会数形结合的数学思想。 〖情感、态度与价值观〗 渗透特殊到一般,具体到抽象、形成辩证的思维观点。

教学重难点
函数最值的意义及求函数的最值。

教学过程设计
一、引例 画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题: (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 ; (2) f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 1。

1)说出 y ? f ( x) 的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2)指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? y y

o o x

x

二、核心内容整合 1、函数的最大(小)值的概念 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值。 学生类比给出函数最小值的概念: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:

31

(1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么称 M 是函数 y ? f ( x) 的最小值。 注意: (1)函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; (2)函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x ? I ,都 有 f ( x) ? M ( f ( x) ? M ) 。 2、一元二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ?) 的最值: (1)配方: y ? a( x ? (2)图象: (3)a > 0 时, y min 二、例题分析示例 例 1、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。 如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t ) ? ?4.9t ? 14.7t ? 18 ,那么烟花
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? ; 2a 4a

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ? ;a < 0 时, y max ? 。 4a 4a

冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m)?

〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系: (1)f (x)在[a , b]上为增函数,则 f (a)为最小值,f (b)为最大值; (2)f (x)在[a , b]上为减函数,则 f (a)为最大值,f (b)为最小值。

例 3、已知函数 y ?

2 ( x ? [ 2,6]) ,求函数的最大值和最小值。 x ?1

分析:证明函数在给定区间上为减函数。

三、学习水平反馈:P36,练习 5。

32

补充练习: 1、函数 f ( x) ? x2 ? 4ax ? 2 在区间 (– ∞,6] 内递减,则 a 的取值范围是( (A)a ≥ 3 (B)a ≤ 3 (C)a ≥ – 3 (D)a ≤ – 3 )

2、 在已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 1在 (??, ?2] 上递减, 在 (?2, ??] 上递增, 则 f ( x) 在 [1,2]上的值域是____________。 四、三维体系构建 1、函数的最大(小)值的含义。 2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法: (1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; (2)利用图象求函数的最大(小)值; (3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值。 如果函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上单调递增,则函数 y ? f ( x) 在 x = a 处有最小值

f (a ) ,在 x = b 处有最大值 f (b) ;
如果函数 y ? f ( x) 在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增, 则函数 y ? f ( x) 在 x = b 处有最小值 f (b) ; 五、课后作业:P39,习题 1.3,A 组 5,B 组 2。 教学反思:

33

第三课时

一元二次函数在给定区间的最值
,最大值为 ,最大值为 。 。

例 1、函数 y ? x 2 ? 4 x ? 6, x ? [1,4] 的最小值为 练习:函数 y ? x 2 ? 3x ? 2, x ? [?1,1] 的最小值为 一般结论: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), x ? [m, n] (Ⅰ)配方,求对称轴 x ? x0 ; (Ⅱ)判断 x ? x0 是否属于给定区间[m , n]:

① 若 x0 ? [m, n] ,则 ymin ? f ( x0 ) ,再求 f (m), f (n) ,较大者为最大值; ② 若 x0 ? [m, n] ,则求 f (m), f (n) ,较大者为最大值,较小者为最小值。 练习(1)求函数 y ? x 2 ? 2x( x ? [2,4]) 的最大、最小值。 (2)求函数 y ? x 2 ? 2 x( x ? [?1,1]) 的最大、最小值。

例 2、求函数 f ( x) ? ?

3 ( x ? 1) 2 ? 3 在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。 4
2

练习(1) (2006 年福建高考)求函数 f ( x) ? ? x ? 8x 在区间[t , t + 1]上的最大值。 (2)设函数 f (x) = 4x 2 – 4ax + (a 2 – 2a + 2)在[0, 2]上的最大值为 3,求 a 的值。 (3)求函数 y ? x ? 2 x( x ? [t , t ? 1]) 的最大、最小值。
2

作业: 1、求函数 f ( x) ? ? x ? 8x 在区间[t , t + 1]上的最大值。
2

2、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? [?5,5] 。
2

(1)当 a = – 1 时,求 f (x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y = f (x)在[– 5 , 5]上是单调函数。

34

1.3.2

函数的奇偶性

三维目标定向
〖知识与技能〗 结合具体函数了解奇偶性的含义,能利用函数的图象理解奇函数、偶函数;能判断一些 简单函数的奇偶性,并利用奇偶性简化一些函数的图象。 〖过程与方法〗 体验奇函数、偶函数概念形成的过程,体会由形及数、数形结合的数学思想,并学会由 特殊到一般的归纳推理、论证的思维方法。 〖情感、态度与价值观〗 通过绘制和展示优美的函数图象可以陶冶我们的情操, 通过概念的形成过程可以增强我 们主动交流的合作精神,并体会到事物的特殊性和一般性的关系,培养我们探究、推理的思 维能力。

教学重难点
〖重点〗奇偶性概念的理解及应用。 〖难点〗奇偶性的判断与应用。

教学过程设计
一、问题情境设疑 引例:1、展示中心对称与轴对称的有关实例。 2、观察下列四个函数的图象

(1)

(2)

(3)

(4)

问题:以上图象有什么特征?如何由函数值体现? 二、核心内容整合 1、偶函数的概念 (1) (2)的图象关于 y 轴对称,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等。 偶函数:如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数

35

f ( x) 就叫做偶函数。
如: f ( x) ? x 2 ? 1 , f ( x) ? 2、奇函数的概念 (3) (4)的图象关于原点对称,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一 对相反数。 奇函数:如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数

2 。 x ? 11
2

f ( x) 就叫做奇函数。
如: f ( x) ? x 3 ? x (图象关于原点对称) 注意: (1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; (2)由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的 任意一个 x,则– x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (3)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) 有成立; 若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) 有成立。 (4)如果一个函数 f ( x) 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f ( x) 具有奇偶性。 三、例题分析示例 1、函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称; (2)求 f (? x) ,如果 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 为奇函数; 如果 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 为偶函数; 例 1、判断下列函数的奇偶数: (1) f ( x) ? x ;
4

(2) f ( x) ? x ;
5

(3) f ( x) ? x ?

1 ; x
2n

(4) f ( x ) ?

1 。 x2

〖知识提炼〗 (? x)

? x 2n , (? x) 2n?1 ? ? x 2n?1

36

(3)非奇非偶函数:存在 x0,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 且 f (? x0 ) ? f ( x0 ) 。 如 f ( x) ? 2 x ? 1 2、奇偶函数图象的性质 (1)奇函数的图象关于原点对称; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么就称这个函数为奇函数。 (2)偶函数的图象关于 y 轴对称; 反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么就称这个函数为偶函数。 说明:奇偶函数图象的性质可用于: (1)简化函数图象的画法; (2)判断函数的奇偶性。 例 2、已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,它在 y 轴右边的图象如下图,画出在 y 轴左边的图 象。 拓展:如果函数 y ? f ( x) 是奇函 数,图象又如何? 0 四、学习水平反馈:P36,练习 五、三维体系构建 1、两个定义:对于 f ( x) 定义域内的任意一个 x, (1)如果都有 f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 为奇函数; (2)如果都有 f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 为偶函数 2、两个性质: 一个函数为奇函数 ? 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于 y 轴对称 六、课后作业:P39,习题 13,A 组 6,B 组 3 教学反思 x y

37

函数的性质及综合应用(2 课时) 三维目标定向
〖知识与技能〗 进一步领会函数单调性和奇偶性的定义, 并在此基础上, 熟练应用定义判断和证明函数 的单调性及奇偶性,初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。 〖过程与方法〗 体会单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用,提高应用知识解决问题的能 力。 〖情感、态度与价值观〗 体会转化化归及数形结合思想的应用,培养学生的逻辑思维能力。

教学重难点
函数的单调性、奇偶性的灵活应用。

案例背景
函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质,知识内容可浅可深,问题涉及分类讨论、数 形结合、探索性,仅用两课时只能作肤浅的介绍,学生掌握的也只是一些皮毛,不能很好地 展示函数丰富的内涵。 但函数的问题既千姿百态, 又有章可循, 综合单调性与奇偶性的内容, 可以设计出很多具有挑战性的问题, 有利于培养学生提出问题、 分析问题和解决问题的能力, 有利于创新思维和实践意识的发展。因此我们设计了《函数的性质及综合应用》这一教学案 例,预计用两课时,力图通过种类问题的探究,引导学生领略函数内容的精彩,加深对函数 性质的深刻理解。

教学过程设计
第一课时 一、温故知新 1、函数的单调性(概念、判断方法、应用——求函数的最值) ; 2、函数的奇偶性(概念、图象特征、判断方法) 。

二、问题探究 1、函数单调性、奇偶性的理解及性质的判定 单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,对概念的理解要抓住关键词如“任意” “都有” “给定区间”等,同时要明确两者的区别:单调性是反映函数的局部性质,而奇偶性则反映
38

的是函数的整体性质。 例 1、已知 f (x) = ax 3 + bx – 4,若 f (2) = 6,则 f (– 2) = 。

例 2、奇函数 f (x)在 x ? [0,??) 时的表达式是 f (x) = x (1 – x),则 x ? (??,0] 时,f (x) 的表达式为 。

练习: (1)已知 f (x) = ax 5 + bx 3 + cx + 2,若 f (– 7) = 7,则 f (7) =



(2)偶函数 f (x)在 x ? [0,??) 时的表达式是 f (x) = x (1 + 3 x ),则 x ? (??,0] 时,f (x) 的表达式为 。

2、奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相 反,且有 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) 成立。 例 3、如果偶函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数,且最小值为 5,最大值为 10,那么

f ( x) 在区间[– 7,– 3] 上的单调性和最值如何?

例 4、已知 f (x)是偶函数,而且在(0, +∞)上是减函数,判断 f (x)在(– ∞, 0)上是增函数 还是减函数,并证明你的结论。

练习: 已知 y = f (x)是奇函数, 它在(0, +∞)上是增函数, 且 f (x) < 0, 问 F ( x) ? (– ∞, 0)上是增函数还是减函数?证明你的结论。

1 在 f ( x)

39

第二课时 3、函数性质的应用 函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质,运用函数的性质可研究区间、最值的求解, 亦可深入研究函数图象的特征。 利用函数的单调性和奇偶性,可以将“抽象”化为具体,使问题简化,这也是等价转化 思想方法的重要体现。 例 5、若偶函数 f (x)在(– ∞, 0)上是增函数,则满足 f (1) ? f (a) 的实数 a 的取值范围 是 。

例 6、已知函数 f (x)对任意 x , y 总有 f (x + y) = f (x) + f (y),且当 x > 0 时,f (x) < 0, f (1) ? ?

2 3

(1)求证:f (x)是奇函数; (2)求证:f (x)是 R 上的减函数; (3)求 f (x)在[-3, 3]上的最大值及最小值。

练习(1)已知奇函数 f (x)在(– 1, 1)上单调递减,且 f (1 - a) + f (1 – 2a ) < 0,则实数 a 的取值范围是 。

(2) 设函数 f (x)的定义域为 R 且 x≠0, 对任意非零实数 x1, x2 满足 f (x1x2) = f (x1) + f (x2), (1)求 f (1)的值; (2)判断 f (x)的奇偶性。

40

例 7 、如果函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 对任意实数 t ,都有 f (3 ? t ) ? f (3 ? t ) ,那么

f (0), f (3), f (4) 的大小关系是



结论: (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (2) 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的对称轴为 x 0 ? ?

b , 即 f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) 。 2a

〖拓展〗 函数 y = f (x)的图象关于直线 x = t 对称的充要条件是: f (t + x) = f (t – x), 即 f (x) = f (2t – x)。

例 8、某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红 柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系 用图二的抛物线段表示。

(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p ? f (t ) ; 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/102 ㎏,时间单位:天)

例 9、对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则 x0 称为 f ( x ) 的不动点。已 知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ?1),(a ? 0) 。
2

(1)当 a = 1,b = – 2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围。

一次、反比例、二次函数的图象与性质
41

一、一元一次函数: y ? kx ? b(k ? 0) ——直线
1、图象(两点) : 1、某公司今年一月份推出新产品 A,其成本价为 492 元 / 件,经试销调查,销售量与 销售价的关系如下: 销售价 x(元 / 件) 650 销售量 y(件) 350 662 333 720 281 800 200

销售量与销售价可近似看作一次函数 (通常取表中相距较远的两组数据所得一次函数较 为精确) 。销售价定为多少时,一月份利润最大?并求最大利润和此时的销售量。

2、性质: (1)定义域 x ? R ;值域 y ? R 。 (2)奇偶性: f ( x) ? kx ? b 为奇函数 ? b ? 0 。 (3)单调性:当 k > 0 时, f ( x) 在 R 上为增函数;当 k < 0 时, f ( x) 在 R 上为减函数。 2、一次函数 f ( x) 满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? 2 x ? 7 ,求 f ( x) 的表达式。

3、当 x ? [1,3] 时,关于 x 的不等式 2t ? 1 ? ?3x ? 1 恒成立,求实数 t 的取值范围。

知识提炼: t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最大值; t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最 小值。 4、函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在 [– 1 , 1] 上存在 x 0,使 f ( x0 ) ? 0( x0 ? ?1) ,求实数 a 的取值范围。

42

二、反比例函数: y ?
1、图象:

k (k ? 0) ——双曲线 x

2、性质:定义域 {x | x ? R且x ? 0};值域 { y | y ? R且y ? 0} 。 奇偶性:奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 。 单调性:k > 0 时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为减函数; k < 0 时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为增函数。 3、题组训练: 1、 (2001 年北京春季高考)设函数 f ( x) ? 并证明 f ( x) 在其单调区间的单调性。

x?a (a ? b ? 0) ,求 f ( x) 的单调区间, x?b

2、 (2002 全国高考)已知函数 f ( x) ?

x2 ,那么 1? x2


1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 3 4

3、函数 f ( x) ?

1 1 (m ? 0), x1 , x 2 ? R ,当 x1 + x2 = 1 时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? . 2 4 ?m
x

(1)求 m 的值; (2)求 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) 的值。

1 8

1 4

7 8

1

x3 ? x 5、 (2003 上海春季高考)已知函数 f ( x) ? 5

?

1 3

1

x3 ? x , g ( x) ? 5

?

1 3



(1)证明: f ( x ) 是奇函数,并求 f ( x ) 的单调区间; ( 2 )分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值,由此概括出涉及函数

f ( x) 和 g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明。

43

三、一元二次函数: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ——抛物线
1、解析式:y = ax2 + bx + c(一般式)= a (x – h)2 + k(顶点式)= a (x – x1) (x – x2)(两 根式) 顶点: (h, k ) ? (?

b 4ac ? b 2 , ) ; x1 , x 2 为方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根。 2a 4a

1、已知二次函数 f ( x ) 的顶点坐标为(– 1 , 3) ,且 f (1) ? 0 ,求 f ( x ) 的解析式。

2、图象: (1)草图——顶点、对称轴、与 x 轴的交点等。
2 2、若函数 f ( x) ? x ? bx 满足 f (0) ? f (2) ,则 f ( ), f (1), f (3) 的大小关系是(

1 2



(A) f ( ) ? f (1) ? f (3) (C) f (1) ? f ( ) ? f (3)

1 2

(B) f ( ) ? f (3) ? f (1) (D) f (1) ? f (3) ? f ( ) 。 ② 在 ( ??, 0) 上函数单调递减; ④ f (0) 是函数 f ( x ) 的最小值。

1 2

1 2

1 2

3、对于函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ,下列性质正确的是 ① 对于任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f (2 ? x) ; ③ 在 (0, ??) 上函数单调递增; (2)基本情况(六种)——对△及 a 进行讨论 3、性质: (1)定义域: x ? R 。 (2)形状——抛物线:① 开口方向 ② 顶点坐标

③ 对称轴

(3)值域(最大值、最小值)——配方: y ? a( x ?

b 2 4ac ? b 2 ) ? , 2a 4a 4ac ? b 2 。 4a

当 a > 0 时, ymin ?

4ac ? b 2 ; 4a
2

当 a < 0 时, ymax ?

4、已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4a 的最小值为 3,求 a 的值。

44

引申:已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 4a 的最大值为 3,求 a 的值。

拓展:一元二次函数在给定区间的最大(小)值: 5、函数 y ? x 2 ? 4 x ? 6, x ? [1,4] 的最小值为 练习:函数 y ? x 2 ? 3x ? 2, x ? [?1,1] 的最小值为 一般结论: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), x ? [m, n] (Ⅰ)配方,求对称轴 x ? x0 ; (Ⅱ)判断 x ? x0 是否属于给定区间[m , n]: ① 若 x0 ? [m, n] ,则 ymin ? f ( x0 ) ,再求 f (m), f (n) ,较大者为最大值; ② 若 x0 ? [m, n] ,则求 f (m), f (n) ,较大者为最大值,较小者为最小值。 6、求函数 f ( x) ? ? ,最大值为 ,最大值为 。 。

3 ( x ? 1) 2 ? 3 在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。 4

练习 1(2006 年福建高考)求函数 f ( x) ? ? x ? 8x 在区间[t , t + 1]上的最大值。
2

45

2、设函数 f ( x) ? 4 x2 ? 4ax ? (a2 ? 2a ? 2) 在[0,2]上的最大值为 3,求 a 的值。

(4)奇偶性:y = ax2 + bx + c 为偶函数的充要条件是 b = 0。 (5)单调性:a > 0 时, f ( x) 在 ( ?? ,?

b b ] 上为减函数,在 [ ? ,?? ) 上为增函数; 2a 2a b b ] 上为增函数,在 [ ? ,?? ) 上为减函数。 a < 0 时, f ( x) 在 ( ?? ,? 2a 2a

7、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范 围是 。

例 8、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? [?5,5] ,
2

(1)当 a = – 1 时,求 f ( x) 的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 f ( x) 在[– 5 , 5]上是单调函数。

46

四、方程
1、一元一次方程: ax ? b ? 0 ? x ? ?

b b (与 x 轴的交点: (? ,0) ) a a

2、二元一次方程组——解法:代入法、加减法(消参) 。 3、一元二次方程: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) (1) ? ? b ? 4ac :△> 0 时,方程有两个不等实数根;△= 0 时,方程有两个相等实
2

数根;△< 0 时,方程没有实数根。

b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a (2)根与系数的关系: ? ?x ? x ? c ? 1 2 a ?
设二次函数满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) , 且方程 f ( x) ? 0 的两个实根平方和为 10,f ( x) 的图象过点(0,3) ,求 f ( x) 。

(3)一元二次方程根的分布情况: (参见衔接教材 P41)

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 , x1 , x2 为方程的两个根, x0 ? ?
① 两个正根:

b 为函数的对称轴。 2a

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
② 两个负根:

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
③ 一个正根,一个负根: x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? af (0) ? 0 题组训练: 1、若一元二次方程 (m ?1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。
2

2、若一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有两个负根,求 k 的取值范围。
2

47

3、已知关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 满足下列条件,分别求实数 a 的取值范围。
2

(1)方程两根都是正数; (2)方程两根都是负数; (3)方程有一个正根、一个负根。

④ 两根都比 k 大: x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 ⑤ 两根都比 k 小: x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 ⑥ 一个根比 k 大,一个根比 k 小: x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0 。 4、m 为何值时,关于 x 的方程 x2 ? 2mx ? (m ?12) ? 0 两根均大于 2?

5、当 m 取何值时,关于 x 的方程 (m ?1) x ? (3m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一个根大于 1,
2

另一个根小于 1?

⑦ 在区间 [k1 , k2 ] 上仅有一根: k1 ? x1 ? k2 ? f (k1 ) f (k2 ) ? 0 。 ⑧ 在区间 [k1 , k2 ] 上有两根:

k1 ? x1, x2 ? k2 ? ? ? 0, af (k1 ) ? 0, af (k2 ) ? 0, k1 ? x0 ? k2 。

48

6、实数 a 在什么范围内,关于 x 的方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的一个根大于 – 2 且小于 0,
2

另一个根大于 1 且小于 3?

7、已知关于 x 的方程 x2 ? (m ? 3) x ? m ? 0 至少有一个正数根,求 m 的取值范围。

8、设关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 的一个根小于 0,另一个根大于 2,求实数 m 的取值
2

范围。

9、当 m 取什么实数时,关于 x 的方程 x ? 4 | x | ?5 ? m 有四个不相等的实数根?
2

10、已知函数 y ? x ? b, y ?| x ? 4x ? 3| ,试借助函数图象及其变换的知识,解答下列
2

问题: (1)当 b 取何值时,两曲线有一个公共点?两曲线有三个公共点? (2)当 b 取何值时,两曲线有两个公共点? (3)当 b 取何值时,两曲线有四个公共点?

第二章

基本初等函数(Ⅰ)
49

2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算(2 课时)

三维目标定向
〖知识与技能〗 (1)了解根式的概念,方根的概念及二者的关系; (2)理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质,并能运用性质进行计算 和化简。 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程,感知应用数学解决问题的方法,理解分类讨论思想、化归 与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究, 感受现实生活对数学的需求, 体验数学知识与现实的密切联系。

教学重难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。

教学过程设计
一、问题情境设疑 问题 1、 根据国务院发展研究中心 2000 年发表的 《未来 20 年我国发展前景分析》 判断, 未来 20 年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3%,那么,在 2001 ~ 2020 年,各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍?

问题 2、当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” ,根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 P ? ( ) 5730 ,考古学家根据这个式子可以知道,生物死亡 t 年后,体内碳 14 含量 P 的值。

1 2

t

二、核心内容整合

50

(一)根式 (1)平方根: x 2 ? a(a ? 0) ;立方根: x ? a 。
3

(2)n 次方根:如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的次方根。
n

练习 1、填空: (1)25 的平方根等于_________; (2)27 的立方根等于__________;

(3)– 32 的五次方根等于_____________; (4)16 的四次方根等于___________; (5)a6 的三次方根等于_____________; 性质: (1)当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,记为:
n

(6)0 的七次方根等于____________。

a。
(2)当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,记为 ? n a 。 (3)负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0。 (4) ( n a )n ? a 。 练习 2:求下列各式的值: (1) 5 ?32 ; (2) 4 81 ; (3) 210 ; (4) 3 312 。

探究: n an ? a 一定成立吗?

n

?a n为奇数 ? a ?? ?a a ? 0 | a | ? n为偶数 ? ? ?? a a ? 0 ?
n

例 1、求下列各式的值:
3 2 4 (1) 3 (?8) ; (2) ( ?10 ) ; (3) 4 (3 ? ? ) ; 2 (4) ( a ? b) ( a ? b) 。

练习 3: (1)计算 3 (?8) ? 4 ( 3 ? 2) ? 3 (2 ? 3) ;
3 4 3

(2)若 a2 ? 2a ? 1 ? a ?1,求 a 的取值范围;
2 2 (3)已知 ( x ? a ) ? ( b ? x ) ? b ? a ,则 b

a(填大于、小于或等于) ;

(4)已知 x ? a ? b ,求 4 x2 ? 2a3 x ? a6 的值。
3 2

(二)分数指数幂
51

(1)整数指数幂: a ?? a? ?? ? a ? a n (简化运算,连加为乘,连乘为乘方) ? ? ?
n个

运算性质: a m ? a n ? a m?n , (a m ) n ? a mn , (ab) n ? a n b n (2)正分数指数幂 引入: a
5 10

? (a ) ? a ? a , a
5 2 5 2 4

10 5

12

? (a ) ? a ? a
4 3 4 3

12 4

小结: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的形式, (分数指数幂形式) 思考: 根式的被开方数不能被根指数整除时, 根式是否也可以写成分数指数幂的形式? 如: 3 a 2 , b , 4 c 5 如何表示?
m

规定: a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) (3)负分数指数幂 规定: a
? 4 3

?

m n

?
? 2 3

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

如: 5

, a (a ? 0)

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: (1) a ? a ? a
r s r ?s

; (2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r, s ? Q) 。
r s rs r r r

例题剖析

1 ?5 16 ? 例 2、求值: 8 , 25 , ( ) , ( ) 4 2 81
?

2 3

1 2

3

例 3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中 a > 0)

a3 ? a;

a2 ? 3 a2 ;

a?3 a.

例 4、计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ;
1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(2) (m 4 n

?

3 8 8

) 。

例 5、计算下列各式:

52

(1) (3 25 ? 125) ? 4 25 ; (2)

a2 a ? 3 a2

(a ? 0) 。

(三)无理指数幂 问题:当指数是无理数时,如 5 2 ,我们又应当如何理解它呢?

一般地,无理数指数幂 a (a > 0, ? 是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的
?

运算性质同样适用于无理数指数幂。 四、知识反馈:P54,练习,1,2,3。 补充练习: 1、已知 x
?3

? 1 ? a ,求 a 2 ? 2ax ?3 ? x ?6 的值。

2、计算下列各式: (1)

a2 ? b2 a ?b
1 2 1 2

1

1

?

a2 ? b2 a ?b
1 2 1 2

1

1



(2) (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) 。
2 2

?2

?2

3、已知,求下列各式的值: (1) x ? x 4、化简 (
3 6

1 2

?

1 2

; (2) x ? x

1 2

?

1 2

。 )
53

a 9 ) 4 ? ( 6 3 a 9 ) 4 的结果是(

(A) a 5、 2

16

(B) a

8

(C) a )

4

(D) a

2

? (2 k ?1)

? 2? (2 k ?1) ? 2?2 k 等于(
(B) 2
? 1 2
? (2 k ?1)

(A) 2

?2 k

(C) ?2

? (2 k ?1)

(D)2 。

6、 (| x | ?1)
x

有意义,则的取值范围是
y
3x? y 2

7、若 10 ? 2,10 ? 3 ,则 10

?




8、 a, b ? R ,下列各式总能成立的是( (A) ( 6 a ? 6 b )6 ? a ? b (C) 4 a4 ? 4 b4 ? a ? b
1 32 1 16 1 8

2 2 n 2 2 (B) n ( a ? b ) ? a ? b

(D) 10 ( a ? b)
1 4 1 2

10

? a?b


9、化简 (1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 的结果是(
1 1 32 ?1 (A) (1 ? 2 ) 2

(B) (1 ? 2 )

1 32 ?1

(C) 1 ? 2

1 32

1 1 32 (D) 1 (1 ? 2 ) 2

五、三维体系构建 1、根式与分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质: (1) a ? a ? a
r s r ?s

; (2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r, s ? Q) 。
r s rs r r r

六、课后作业:P59,习题 2.1,A 组:1,2,3,4;B 组:2。 教学反思:

2.1.2

指数函数及其性质
54

第一课时

指数函数的图象和性质

三维目标定向
〖知识与技能〗 (1)掌握指数函数的概念、图象和性质; (2)能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题。 〖过程与方法〗 通过对现实问题情境的探究,感受数学与现实生活的密切联系,理解从特殊到一般,转 化与化归等数学思想方法。 〖情感、态度与价值观〗 在本节的学习过程中要注意列表计算中结果的分析, 它是掌握指数函数的图象和性质的 基础, 函数图象是研究函数性质的直观工具, 利用图象可以帮助我们记忆函数的性质和变化 规律,因此,本节的学习要注重类比分析法、发现法、转化与化归等数学思想的应用,了解 事物之间的普遍联系与相互转化,体验数学知识在生产生活实际中的应用。

教学重难点:掌握指数函数的图象、性质及应用。 教学过程设计
一、问题情境设疑 材料 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个??一个这样的细胞分 裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 的函数关系是什么? 材料 2:当生物死后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年 衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” 。根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 思考 1:函数 P ? ( ) 5730 (t ? 0) 与函数 y ? 2x ( x ? N * ) 有什么共同特征?

1 2

t

x 如果用字母 a 来代替数 ( ) 5730 和 2,那么以上两个函数都可以表示为形如 y ? a 的函

1 2

1

数,其中自变量 x 是指数,底数 a 是一个大于 0 且不等于 1 的变量。 这就是我们要学习的指数函数: y ? a (a > 0 且 a ? 1 ) 。
x

思考 2: y ? a (a > 0 且 a ? 1 ) ,当 x 取全体实数对 y ? a 中的底数为什么要求 a > 0
x x

且 a ? 1?
55

方法:可举几个“特例” ,看一看 a 为何值时,x 不能取全体实数;a 为何值时,x 可取 全体实数;不能取全体实数的将不研究。 结论:当 a > 0 且 a ? 1 时, a 有意义;
x

当 a = 1 时, y ? 1x ? 1 是常量,无研究价值; 当 a = 0 时,若 x > 0, a ? 0 ? 0 无研究价值;若 x ? 0 , a ? 0 无意义;
x x x x

当 a < 0 时, a 不一定有意义,如 (?2) 2 。
x

1

为了便于研究,规定: a > 0 且 a ? 1 。 提问:那么什么是指数函数呢?思考后回答。 二、核心内容整合 1、指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R。 练习 1:下列函数中,那些是指数函数? 。

(1) y ? 4x (2) y ? x4 (3) y ? ?4x (4) y ? (?4) x (5) y ? ? x (6) y ? 42 x (7)

y ? x x (8) y ? (2a ? 1) x ( a ?
2、指数函数的图象和性质:

1 且 a ? 1) 2

思考 3:我们研究函数的性质,通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质? 答:1、定义域;2、值域;3、单调性;4、对称性等。 思考 4:得到函数的图象一般用什么方法? 列表、求对应的 x 和 y 的值、描点、作图。 用描点法画出指数函数 y ? 2 , y ? ( ) 的图象。
x x

1 2

x x 思考:函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关系?可否利用 y ? 2 的图象
x

1 2

画出 y ? ( ) 的图象?(两个函数的图象关于轴对称)
x

1 2

56

(3)相关结论 0<a<1 a>1

图 象

定义域 值域 性 质 定点

R (0 , +∞) 过定点(0,1) ,即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。

单调性 对称性

在 R 上是减函数

在 R 上是增函数

y ? a x 和 y ? a ? x 关于 y 轴对称

三、例题分析示例 例 1、已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象经过点(3,π ) ,求 f (0), f (1) ,

f (?3) 的值。

例 2、比较下列各题中两个值的大小: (1)1.7 2.5,1.7 3; (2)0.8 – 0.1,0.8 – 0.2; (3)1.7 0.3,0.9 3.1。

四、学习水平反馈:课本 P58,练习 1、2、3。 五、三维体系构建 1、指数函数的定义; 2、指数函数简图的作法以及应注意的地方; 3、指数函数的图象和性质(见上表) 六、课后作业:P59,习题 2.1,A 组:5、6、7、8。 教学反思:

第二课时

指数函数性质的应用
57

三维目标定向
〖知识与技能〗 在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比较大小、 求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题,充分体现指数函数的性质应用,并且会借助 指数函数模型求解实际问题。 〖过程与方法〗 通过应用指数函数的性质解决实际问题的过程, 体会应用知识分析问题、 解决问题的思 维方法,学会转化和化归的数学思想。 〖情感、态度与价值观〗 增强学生的应用意识, 树立学好数学的信心, 最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

教学重难点:指数函数性质的应用。 教学过程设计
一、温故而知新 指数函数的概念、图象与性质(强调单调性) 二、核心内容整合 1、图象的平移与对称变换 一般地, 对形如 y ? a 得到。 将指数函数的图象通过翻折、对称,再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。 例 1、若函数 f ( x) ? a
x ?1 x?m

? n 形式的函数,其图象可由 y ? a x 的图象经过左右上下平移

? 3 恒过定点 P,试求点 P 的坐标。

解:将指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象沿 x 轴右移一个单位,再沿 y 轴上移 3 个
x

单 位 即 可 得 到 f ( x) ? a

x ?1

,故相应的 ? 3的 图 象 , 因 为 y ? a x 的 图 象 恒 过 ( 0 , 1 )

。 f ( x) ? a x?1 ? 3 恒过定点(1,4) 练习 1、说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系,并画出他们的图象:
x

(1) y ? 2

x ?1



(2) y ? 2
| x ?1|

x ?2

?1 。

练习 2:画出函数 y ? 2

的图象。

2、复合函数单调性的应用
58

指数函数的单调性应用十分广泛, 可以用来比较数或式的大小, 求函数的定义域、 值域、 最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。 对复合函数 y ? f [ g ( x)] ,若 u ? g ( x) 在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d) , 又函数 y ? f (u ) 在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数。可推广为 下表(简记为同增异减) :

u ? g ( x)

增 增 增

增 减 减

减 增 减

减 减 增

y ? f (u )
y ? f [ g ( x)]

例 2、求不等式 a 2 x?7 ? a 4 x?1 (a ? 0且a ? 1) 中 x 的取值范围。 解:当 a > 1 时,函数 y ? a x 在 R 上是增函数,所以

a 2 x?7 ? a 4 x?1 ? 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? x ? ?3 ;
当 0 < a < 1 时,函数 y ? a x 在 R 上是减函数,所以

a 2 x?7 ? a 4 x?1 ? 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? x ? ?3 。
例 3、求函数 f ( x) ? ( )

1 2

x 2 ? 6 x ?17

的定义域、值域、单调区间。

解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (??, ??) ,
2 (2)令 t ? x ? 6x ? 17 ,则 f (t ) ? ( ) ,
t

1 2

2 2 因为 t ? x ? 6 x ? 17 ? ( x ? 3) ? 8 在 (??,3] 上是减函数, 而 f (t ) ? ( ) 在其定义域内
t

1 2

是减函数,所以函数 f ( x ) 在 (??,3] 上为增函数。
2 2 又因为 t ? x ? 6 x ? 17 ? ( x ? 3) ? 8 在 [3, ??) 上是减函数, 而 f (t ) ? ( ) 在其定义域
t

1 2

内是减函数,所以函数 f ( x ) 在 [3, ??) 上为增函数。
2 2 (3)因为 t ? x ? 6 x ? 17 ? ( x ? 3) ? 8 ? 8 ,而 f (t ) ? ( ) 在其定义域内是减函数,
t

1 2

所以 f ( x) ? ( )

1 2

x 2 ? 6 x ?17

1 1 1 ? ( )8 ? ]。 ,所以函数 f ( x ) 的值域为 y ? ( ??, 2 128 128
2

练习:讨论函数 y ? 5x

?2 x

的单调性。
59

3、奇偶性分析及应用 无论 0 < a < 1 或 a > 1, y ? a x 均不为奇函数或偶函数,但由其参与而构成的较为复杂 的函数式的奇偶性,是经常出现的题型之一,其判断方法仍是判断 f ( x) 与 f (? x) 之间的关 系。 例 4、已知 f ( x) ? (

1 1 ? )? x, 2 ?1 2
x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。 (3)求证: f ( x) ? 0 。 解: (1)由 2 ? 1 ? 0 ,得 x ? 0 ,所以函数的定义域为 {x | x ? 0, x ? R} ;
x

(2) f ( x) ? (

1 1 x(2 ? 2 x ? 1) x(2 x ? 1) , ? ) ? x ? ? 2x ? 1 2 2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1)

则 f ( ? x) ?

? x(2? x ? 1) ? x(1 ? 2x ) x(2 x ? 1) ? ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为偶函数。 2(2? x ? 1) 2(1 ? 2 x ) 2(2 x ?1)
x

(3)当 x > 0 时,由指数函数的性质知 2 ? 1 ,所以

1 1 ? ? 0 ,所以当 x > 0 时, 2 ?1 2
x

f ( x) ? (

1 1 ? ) ? x ? 0 。由于 f ( x) 为偶函数,所以当 x < 0 时, f ( x) > 0。 2 ?1 2
x

总之, x ? R 且 x ? 0 时,函数 f ( x) ? 0 。 练习:已知 f ( x) ? k ? a ? a (a ? 0且a ? 1) 为奇函数,则 k =
x ?x



4、实际应用 指数函数应用广泛,如银行复利、人口增长、细菌繁衍、分期付款、土地流失等,这些 问题有些模型是指数函数 y ? a ,有些则是指数型函数 y ? ka 或 y ? ka ? b ,要具体问
x x x

题具体分析。 例 5、截止 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
60

解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿, 则有 y ? 13 ? (1 ? 1%) x ? 13 ?1.01x (亿) ,当 x = 20 时, y ? 13 ?1.0120 ? 16 (亿) 。 所以,经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿。 小结:在实际问题中,经常会遇到类似的指数增长模型:设原有量为 N,每次的增长率 为 p ,经过 x 次增长,该量增长到 y ,则 y ? N (1 ? p)x ( x ? N )。我们把形如 y ? kax ( k ? R, a ? 0 且 a ? 1 )的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型。 练习(1)如果人口年平均增长率提高 1 个百分点,那么 20 年,33 年后我国的人口数 是多少? (2)如果年均增长率保持在 2%,试计算 2020 ~ 2100 年,每隔 5 年相应的人口数。 (3)我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待我国的计划生育政策?

三、课后作业:P65,习题 2.1,A 组 9,B 组 3,4。

教学反思:

指数函数小结
61

学情分析: 本节要解决的问题是:运用幂的运算性质进行化简、求值,利用指数函数的定义、图象 和性质解决有关问题。 解决上述问题的关键是: 类比整数指数幂的运算性质记忆分数指数幂的运算公式, 能实 现根式和分数指数幂的转化,通过指数函数的图象牢记指数函数的定义域、值域、单调性等 性质,注意底数对指数函数性质的影响。 一、利用幂的运算性质进行化简、求值: 例 1:求

a2 a ? 3 a2
a2 a2 ? a3
1 2

(a ? 0) 的值。
1 2 2? ? 2 3

解:原式

?a

? a6 。

5

说明:对于计算题的结果,不要求用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂 的形式表示,如果有特殊要求,可根据要求给出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数 幂,也不能既有分母又含有负指数。 练习 1:化简:

a2 (1) b

b3 a 3 0 1 ?1 ?2 (a ? 0, b ? 0) ; (2) (2 ) ? 2 ? (2 ) 2 ? (0.01) 0.5 。 3 a b 5 4

二、指数函数的图象 例 2: 函数 f ( x) ? a 则下列结论正确的是( (A)a > 1,b > 0 (C)0 < a < 1,b > 0
x ?b

y 的图象如图所示, 其中 a、 b 为常数, 2 ) (B)a > 1,b < 0 (D)0 < a < 1,b < 0 O 1 x 1

练习:如图所示曲线是指数函数的图象,已知 a 的 值取 2 、

y

4 1 3 、 、 ,则相应于曲线 C1、C2、C3、 3 10 5


C4

C3

C4 的 a 依次为( (A)

4 1 3 、 2、 、 3 5 10 4 3 1 (B) 2 、 、 、 3 10 5

1
(C)

C2 C1 x

3 1 、 、 2、 10 5

O

62

4 3

(D)

1 4 3 、 、 、 2 5 10 3

三、指数函数性质的综合应用 例 3:已知 f ( x) 是定义在(– 1,1)上的奇函数,当 x ?(0,1)时, f ( x) ? (1)求 f ( x) 在(– 1,1)上的解析式; (2)研究 f ( x) 的单调性; (3)求 f ( x) 的值域。 分析:依奇函数定义 f (? x) ? ? f ( x) 写出在(– 1,0)上的解析式,按单调性定义求单 调区间可得函数的值域。

2x , 4x ? 1

a x ?1 练习 3:已知函数 f ( x) ? x (a > 0 且 a ? 1 ) 。 a ?1
(1)求 f ( x) 的定义域和值域; (2)讨论 f ( x) 的单调性。

四、与指数函数有关的最值问题 例 4:求函数 y ? 4
?x

? 2? x ? 1, x ?[?3, 2] 的最大值与最小值。

分析: 指数函数与二次函数复合构成的复合二次函数最值, 一般都要先通过换元化去指 数式,转化为二次函数的最值讨论,要留意换元后“新元”的取值范围。

练习 4:如果函数 y ? a 的值。

2x

? 2a x ?1 (a > 0 且 a ? 1 )在[– 1,1]上的最大值为 14,求 a

2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算

63

第一课时

对数的概念

三维目标定向
〖知识与技能〗 理解对数的概念,掌握对数恒等式及常用对数的概念,领会对数与指数的关系。 〖过程与方法〗 从指数函数入手, 引出对数的概念及指数式与对数式的关系, 得到对数的三条性质及对 数恒等式。 〖情感、态度与价值观〗 增强数学的理性思维能力及用普遍联系、 变化发展的眼光看待问题的能力, 体会对数的 价值,形成正确的价值观。

教学重难点:指、对数式的互化。 教学过程设计
一、问题情境设疑 引例 1:已知 22 ? 4, 25 ? 32 ,如果 2 ? 26 ,则 x = ?
x

引例 2、改革开放以来,我国经济保持了持续调整的增长,假设 2006 年我国国内生产 总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国内生产总值比 2006 年翻两番? 分析: 设经过 x 年国内生产总值比 2006 年翻两番, 则有 a(1 ? 8%) ? 4a , 即 1.08 x = 4。
x

这是已知底数和幂的值,求指数的问题,即指数式 a ? N 中,求 b 的问题。
b

能否且一个式子表示出来?可以, 下面我们来学习一种新的函数, 他可以把 x 表示出来。 二、核心内容整合 1 、对数:如果 a ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
x

x ? loga N 。其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当 a > 0 且 a ?1 时,

ax ? N ? x ? l o g a N (符号功能)——熟练转化
如: 1.01 ?
x

18 18 ? x ? log 1.01 ,4 2 = 16 ? 2 = log 4 16 13 13

2、常用对数:以 10 为底 log10 N 写成 lg N ; 自然对数:以 e 为底 log e N 写成 ln N (e = 2.71828?)
64

3、对数的性质: (1)在对数式中 N = a x > 0(负数和零没有对数) ; (2)log a 1 = 0 , log a a = 1(1 的对数等于 0,底数的对数等于 1) ; (3)如果把 a ? N 中 b 的写成 log a N ,则有 a
b

loga N

? N (对数恒等式) 。

三、例题分析示例 例 1、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 4 = 625; (2) 2
?6

?

1 ; 64

(3) ( )

1 3

m

? 5.73 ;

(4) log1 16 ? ?4 ; (5)lg0.01 = – 2; (6)ln10 = 2.303。
2

例 2、求下列各式中 x 的值: (1) log 64 x ? ? (3)lg100 = x;

2 ; 3

(2)log x 8 = 6; (4)– ln e 2 = x。

补充例题:求值(1) log 9 27 ; (2) log 3

54

625 。

四、学习水平反馈:P64,练习 1,2,3,4。 补充练习:求下列各式中的值。 log2 (log5 x) ? 1 , log4 [log3 (log 1 x)] ? 0 。
2

五、三维体系构建 1、对数的相关概念,常用对数,自然对数; 2、对数与指数的互换; 3、对数的基本性质; 4、求值(已知对数、底数、真数其中两个,会求第三个) 。 六、课后作业:P74,习题 2.2,A 组 1、2。 教学反思:

第二课时

对数的运算

三维目标定向
〖知识与技能〗
65

理解并会推导对数的运算法则, 并会用语言叙述该法则, 理解并能用换底公式化简求值。 〖过程与方法〗 理解积、商、幂的对数运算法则,能灵活应用换底公式化简求值。 〖情感、态度与价值观〗 从新颖别致的运算法则中感受奇异美,并能体会对数运算的使用价值。

教学重难点:灵活运用对数法则,求值或化简。 教学过程设计
一、复习引入 1、对数的概念: a x ? N ? x ? loga N ,常用对数 lg x,自然对数:ln x。 2、对数的性质:N = a x > 0;log a 1 = 0 , log a a = 1; a 3、课前练习: (1)给出四个等式:① lg(lg10) ? 0 ③若 lg x ? 10 ,则 x = 10 ② lg(ln e) ? 0
2

loga N

? N。

④若 ln x ? e 则 x ? e 。 。

其中正确的是



(2) log3 1 ? log3 3 ? log3 27 ? (3) ln e ? lg100 ? (4) lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18 ? ? 3

二、核心内容整合 对数的运算性质:如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N ; (2) log a (3) loga M n ? n loga M (n ? R) 。 语言表达:两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和; 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差; 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数的 n 倍。 证明: loga MN ? loga M ? loga N 证:设 loga M ? p,log a N ? q ,由对数的定义可以得: M ? a , N ? a ,
p q

M ? log a M ? log a N ; N

所以 MN ? a ? a ? a
p q

p ?q

? loga MN ? p ? q ,
66

即证得 loga MN ? loga M ? loga N 。 学生类比证明(2) (3) 。 三、例题分析示例 例 1、用 loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

xy (1) log a ; z

(2) loga

x2 y
3

z



例 2、求下列各式的值: (1) log2 (4 7 ? 25 ) ; (2) lg 5 100 。

课堂小结:对数的运算性质 如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N ; (2) log a (3) loga M n ? n loga M (n ? R) 。 说明(1)简易语言表达; (2)有时可逆向运用公式; (3)底数的取值必须是 (0, ??) ; (4)注意: loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N 巩固练习:P68,练习 1、2、3。 提高练习: 1(1)若 lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c ,则 x = (2) 。 。 。

M ? log a M ? log a N ; N

1 log 6 12 ? log 6 2 的值为 2

(3) log 2 8 ? 4 3 ? log 2 8 ? 4 3 ? 四、探究 (1) log a m N ?
n

n log a N ; m

67

(2) loga b ?

logc b ; (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) (换底公式) logc a

(3) loga b ? logb a ? 1 。 分析: (1)设 logam N n ? x ? (am )x ? N n ? amx ? N n ? loga N n ? mx , 所以 x ?

1 n log a N n ? log a N 。 m m

(2)设 x ?

logc b ? logc b ? x logc a ? logc a x ? b ? a x ? x ? loga b , logc a logc b 。 logc a
lg b lg a ? ? 1。 lg a lg b

所以 loga b ?

(3) log a b ? log b a ?

应用:P75,练习,4。 五、课后作业:P74 习题 2.2,A 组,3、4、5。 教学反思:

第三课时

对数运算性质的应用

一、课标定位
(一)知识与技能 1、掌握对数的运算性质,能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求
68

值问题。 2、掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一 些简单的化简和证明。 3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。 (二)过程与方法 1、利用类比的方法,得出对数的运算性质,体会数学知识的前后连贯性,加深对公式 内容及公式适用条件的记忆。 2、结合实例探究换底公式,并通过换底公式的应用,体会化归与转化的数学思想。 3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨,培养探究能力。 (三)情感态度与价值观 1、通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性, 激发学生的学习兴趣,培养严谨的科学精神。 2、通过计算器来探索对数的运算性质,认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和 工具,激发学生学习数学的热情。

二、教学过程设计
(一)知识梳理 1、对数的运算性质 如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N ; (2) log a (3) loga M n ? n loga M (n ? R) ; 2、换底公式: loga b ?

M ? log a M ? log a N ; N n n (4) log a m N ? log a N ; m

logc b (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) ; logc a

(二)对数运算性质的运用 例 1、若 a ? 0, a ? 1, x ? y ? 0, n ? N * ,则下列各式中: ① (loga x) ? n loga x ; ② (loga x) ? loga x ;
n n n

③ log a x ? ? log a ⑥

1 ; x



log a x y ? log a ; log a y x

⑤ n log a x ?

1 log a x ; n

1 log a x ? log a n x ; n

69

⑦ loga x ? logan xn ; 其中成立的有( (A)3 个 例 2、 lg 25 ? )

⑧ log a

x? y x? y 。 ? ? log a x? y x? y

(B)4 个

(C)5 个

(D)6 个 。 ) (D)b < a < c

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 ? 3 ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? 练习 1、若 a ? ,则( 2 3 5
(A)a < b < c (B)c < b < a

(C)c < a < b

(三)对数换底公式的应用 例 3、已知 log a b ? log 3 a ? 4 ,求 b 的值。 例 4、设 3 ? 4 ? 36 ,求
x y

2 1 ? 的值。 x y


练习 2、若 y ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 ? log8 9 ? log9 10 ,则有(

(A) y ? (0,1) (B) y ? (1,2) (C) y ? (2,3) (D) y ? (3,4)

(四) 、对数运算在实际问题中的应用 例 5、20 世纪 30 年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪 衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常 说的里氏震级 M,其计算公式为 M = lg A – lg A 0,其中,A 是被测地震的最大振幅,A 0 是 “标准地震” 的振幅 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差) 。 (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2) 5 级地震给人的震感已比较明显, 计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振 幅的多少倍(精确到 1) 。

例 6、科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳 14。碳 14 的衰变极有规律, 其精确性可以称为自然界的“标准时钟” 。动植物在生长过程中衰变的碳 14,可以通过与大 气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳 14 含量保持不变。死亡后的动

70

植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减,我们已经知 道其“半衰期”为 5730 年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆 古墓的年代。 练习 3 、声音的强度 D ( dB )由公式: D ? 10 lg( ( W / cm ) ,能量小于 10
2 ?16

I ) 给出,其中 I 为声音能量 10 ?16

W / cm2 时,人听不见声音。求:
?13

(1)人低声说话( I ? 10

W / cm2 )的声音强度;
?6 2

(2)平时常人的交流( I ? 3.16 ?10 W / cm )的声音强度; (3)听交响音乐时,坐在铜管乐前( I ? 5.01?10 W / cm )的声音强度。
2 ?6

(五)探究创新 设 a ? 0, a ? 1, x, y 满足 loga x ? 3log x a ? log x y ? 3 , 用l o g 取何值时, log a y 取得最小值。 (六)课堂小结 1、利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围; 2、初学对数运算法则时,容易出现下面的错误: loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ,
a

x 表示 loga y ,并求当 x

loga M ? loga N ? loga M ? loga N , log a

M log a M , loga N n ? (loga N )n ?;产生 ? N log a N

这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来,把对数符号当作表示数 的字母进行运算; 3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数,是对数运算中非常重要的 工具。 (七)作业:课本 P74,习题 2.2,A 组 11,12;B 组 3。 教学反思:

2.2.2

对数函数及其性质

三维目标定向
〖知识与技能〗
71

(1)掌握对数函数的概念、图象和性质; (2)能够运用对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 〖过程与方法〗 通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 体会对数是一类重要的函数 模型, 借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单调性与特殊 点。 〖情感、态度与价值观〗 注意对比思想的应用,体验用联系的观点分析问题,认识事物之间的相互转化。

教学重难点
〖重点〗对数函数的概念、图象和性质。 〖难点〗底数 a 对对数函数的影响,在解决有关问题时定义域对函数的影响。

教学过程设计
一、引例 复利是计算利息的一种方式,现假设有本金 1 元,每期利率为 2.25%,本利和为 y,试 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数解析式。 ( y ?0 2 1 . 5
x



1、根据对数的定义,这个函数写成对数式的形式是什么?( x ? log1.0225 y ) 2、若要本利和翻一番,至少要存多少期?翻两番呢? 3、存期 x 是否也是本利和 y 的函数呢?(是) 4、用 y 表示函数,x 表示自变量,这个函数的解析式是什么?( y ? log1.0225 x ) 二、核心内容整合 1、对数函数的概念: 函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为

x ? (0,??) 。
2、对数函数模型

v ? 2000 ln(1 ? (1) 火箭的最大速度 v 和燃料质量 M、 火箭质量 m 的函数关系是:

M ); m

( 2 )生物学家研究发现:洄游鱼类的游速 v 和鱼的耗氧量 O 之间的函数关系:

v?

1 O log 3 ; 2 100
72

(3)溶液的酸碱度是通过 PH 值来刻画的,PH 值的计算公式为: PH ? ? lg[ H ? ] 。 3、对数函数的图象和性质 (1)用列表法画出函数 y ? log2 x 和 y ? log 1 x 的图象;
2

(2) 几何画板演示对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象, 并引导学生观察获得如 下结论: 0<a<1 a>1

图 象

定义域 值域

(0 , +∞) R (1)过定点(1,0) ,即 x = 1 时,y = 0

性 质

(2)在 R 上是减函数

(2)在 R 上是增函数

(3)同正异负,即 0 < a < 1 , 0 < x < 1 或 a > 1 , x > 1 时,log a x > 0; 0 < a < 1 , x > 1 或 a > 1 , 0 < x < 1 时,log a x < 0。 y

练一练:比较 a、b、c、d、1 的大小: 答:b > a > 1 > d > c。 0 1

y=log a x y=log b x x y=log c x y=log d x

三、例题分析示例 例 1、求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ; (2) y ? loga (4 ? x) 。

73

分析: (1) {x | x ? 0} ; (2) {x | x ? 4} 。 例 2、比较下列各组数中两个值的大小:1og 2 3.4 和 log 2 8.5。 分析:考察对数函数 y ? log 2 x ,因为它的底数 2 > 1,所以它 (0, ??) 在上是增函数, 于是 log 2 3.4 ? log 2 8.5 。 拓展 1: (1) log0.3 3.4,log0.3 8.5 ; (2) loga 3.4,log a 8.5(a ? 0且a ? 1) 。 小结:注意函数思想和分类讨论思想的应用。 练习:已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) loga m ? log a n(0 ? a ? 1) ; (2) log a m ? log a n(a ? 1) 。 拓展 2: (1) log0.3 3.4,log0.5 3.4 ; (2) log 2 3.4,log3.4 2 ; (3) log3.4 2,log 2 0.8 。 小结:体现了数形结合思想的应用; “介值法”体现了问题的转化思想。 练习:已知 0 < a < 1,0 < b < 1,若 a
logb ( x ?3)

? 1 ,求 x 的取值范围。

四、学习水平反馈:P73,练习。 思考题:若函数 y ? log a x 在 [2, ??) 上恒有 | y |? 1 ,求 a 的取值范围。

五、三维体系构建 1、自主探究新知识的方法:从特殊到一般,具体到抽象的归纳;知识之间的类比。 2、本课知识点——对数函数的概念、图象和性质。 3、实现知识内涵到外延应用的途径。

六、课后作业:P74,习题 2.2, (A 组)7、8; (B 组)2。 教学反思:

对数函数性质的应用 三维目标定向
〖知识与技能〗
74

进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质,设计对数型函数的定义域、值域、单调 性等问题。 对于反函数, 只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数, 不要求学生讨论 形式化的反函数的定义,也不要求学生求已知函数的反函数。 〖过程与方法〗 通过问题的探究研讨,体会函数与方程的思想、体会类比的方法解题、体会数形结合的 思想、体会对数函数的模型功能。 〖情感、态度与价值观〗 进一步增强函数与方程意识,培养运用联系发展、变化的观点认识事物的本质,提高数 学思维品质。

教学重难点:对数函数性质的应用。 教学过程设计
一、复习引入 对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象与性质。 二、例题分析示例 例 1、已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) , (1)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)探究 f ( x) ? g ( x) 在其定义域内的单调性。

例 2、已知函数 f ( x) ? log4 (2 x ? 3 ? x ) ,
2

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)求 f ( x) 的最大值,并求取得最大值时的 x 的值。 例 3、溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的,pH 的计算公式为 pH = – lg [H +],其中[H +]表示溶液中 氢离子的浓度,单位是摩尔 / 升。
75

(1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓 度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [ H ? ] ? 10?7 摩尔 / 升,计算纯净水的 pH。

三、反函数 对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 与指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 互为反函数,它 们的图象关于直线 y = x 对称。 (以具体的函数如 y = log 2 x 与 y = 2 x 加以说明,几何画板展 示。 ) 注: 只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数, 不要求学生讨论形式化的 反函数的定义,也不要求学生求已知函数的反函数。 四、学习水平反馈 1、已知函数 f ( x) ? lg (A)b

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) 等于( 1? x 1 1 (B)– b (C) (D) ? b b



2、在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v(m / s)和燃料的质量 M(kg) 、火 箭(除燃料外)的质量 m(kg)的函数关系是 v ? 2000 ln(1 ? 的多少倍时,火箭的最大速度可达 12 km / s? 3、求函数 y ? log5 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调区间。 4、已知函数 f ( x) ? log a (1)求 m 的值; (2)判断 f ( x) 在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明。 5、求函数 y ? log 2

M ) 。当燃料质量是火箭质量 m

1 ? mx (a ? 0且a ? 1) 的图象关于原点对称, x ?1

x x ? log 2 ( x ? [1,8]) 的最大值和最小值。 2 4

五、课后作业:P74,A 组:9、12。 教学反思:

对数函数小结
学情分析:

76

本节要解决的主要问题是: 能熟练地进行简单的对数运算, 能运用对数函数的图象与性 质解决与之有关的问题。 解决上述问题的关键是: 熟练掌握对数式与指数式之间的互化, 掌握对数的各种运算法 则及适用条件。要有数形结合意识,能结合对数函数的图象记忆并运用对数函数的性质。有 分类讨论意识,在底数不确定时,要分 a > 1 和 0 < a < 1 讨论。 一、对数的定义与运算性质的应用 例 1:求下列各式中 x 的值。 (1) log3 (lg x) ? 1 ; (2) log x 27 ?

3 ; (3) x ? log8 4 。 4

例 2:求值: (1)

2lg 2 ? lg 3 ; 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3
3 2

(2) lg 5(lg 8 ? lg1000) ? (lg 2 ) ? lg

1 ? lg 0.06 。 6

二、对数函数图象的应用 例 3:已知 y = lg x 的图象,作出 y = | lg x | 和 y = lg | x | 的图象,并解答以下问题: 函数 y = lg | x |( )

(A)是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增 (B)是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减 (C)是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 (D)是奇函数,在区间上(0,+∞)单调递减

练习:将 y = 2 x 的图象( (A)先向左平移 1 个单位

) (B)先向右平移 1 个单位
77

(C)先向上平移 1 个单位

(D)先向下平移 1 个单位

再作关于直线 y = x 的对称图象,可得到 y = log 2 (x + 1) 的图象。

三、对数函数的值域及单调性的问题 例 4:已知 log0.7 (2m) ? log0.7 (m ?1) ,求 m 的取值范围。

练习:求函数 y ? log0.1 (2 x2 ? 5x ? 3) 的递减区间。

四、对数函数性质的综合应用 例 5:已知函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) ,其中 a ∈R。 (1)若函数 f (x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f (x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围。

练习:设函数 y = | lg x |,若 0 < a < b,且 f (a) > f (b),证明:ab < 1。

2.3 幂函数
三维目标定向
〖知识与技能〗 (1)了解幂函数的概念; (2)会画函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象,并了解它们的变化情况。
2 3 ?1 1 2

〖过程与方法〗

78

通过画 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象,由特殊到一般,归纳出幂函数的
2 3

?1

1 2

图象和性质。 〖情感、态度与价值观〗 通过大量实例,感受幂函数的概念,体会幂函数在客观现实中的应用,学会应用数学的 方法,形成一定的数学应用意识。

教学重难点:幂函数的图象和性质。 教学过程设计
一、实例剖析 引例: (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克,那么她需要支付 y = (2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y = (3)如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y = ; ; ; km / s。 元;

(4)如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形的边长为 y = (5)如果某人 x s 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 y = 问题:以上函数具有什么共同特征? 共同特征:函数解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量。 二、幂函数的图象和性质 (一)定义:函数 y ? x 叫做幂函数。 (其中 x 为自变量,α 为常数) 探究 1:你能指几个学过的幂函数的例子吗? 探究 2:你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 名称 式子 a 指数函数: y ? a x 幂函数: y ? x
a

?

x 指数 底数

y 幂值 幂值

底数 指数

探究 3:如何判断一个函数是幂函数还是指数函数? 看看自变量 x 是指数(指数函数)还是底数(幂函数) 。 练习:1、下面几个函数中,哪几个函数是幂函数? (1) y ?

1 2 2 x ; (2) y ? 2x ; (3) y ? x ? x ; (4) y ? 5 x3 ; (5) y ? 2 。 2 x

79

2、已知幂函数 y = f (x)的图象经过点(3 , 3 ) ,求这个函数的解析式。

3、如果函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) ? x m 是幂函数,求实数 m 的值。

(二)幂函数性质的探究: 对于幂函数,我们只讨论 ? ? 1,2,3,?1, 时的情况,
1

1 2

即: y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 探究 4:结合前面指数函数与对数函数的方法,我们应如何研究幂函数呢? 作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质
1

探究 5:在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 的 图象:

探究 6:性质:

y?x
定义域 值域 奇偶性 R R 奇函数

y ? x2
R

y ? x3
R R 奇函数

1

y ? x2
[0,??)
[0,??)
非奇非偶

y ? x ?1
{x | x ? 0}
{ y | y ? 0}
奇函数

[0,??)
偶函数

80

[0,??) 增
单调性 增函数 增函数

(??,0) , [0,??) 增 (0,??) 减
(1,1)

(??,0] 减
公共点

三、例题 例 1:证明幂函数 f ( x) ?

x 在 [0,??) 上是增函数。

(备用)例 2:在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速 率 v(单位:cm3 / s)与管道半径 r(单位:cm)的四次方成正比。 (1)写出气流速率 v 关于管道半径 r 的函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400 cm3 / s ,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流量速率 v 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率。

四、练习:P79,习题 2.3。

81


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