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高中数学:三角函数 【of good quality】


第三章 三角函数、解三角形

高考目标定位

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩
命题热点
近几年的高考中,对本章内容的考查多以选 择题和填空题的形式出现,解答题独立命题 的情形也有,主要是三角与其他知识的综合 渗透,如与数列、不等式综合;独立命题, 考查三角函数性质及图象变换.从高考试题 分析,高考对本章考查侧重于

: 1.三角函数的性质、图象及其变换,主要是 y=Asin(ωx+φ)的性质、图象及变换. 2.已知三角函数值求角. 3.灵活运用公式,通过简单的三角恒等变换 解决三角函数的化简、求值或证明问题,借 助三角变换解与三角形有关的问题. 根据高考的最新动态,我们预测今后有关三 角函数高考命题的趋势是:①试题的题型、 题量及难度将基本保持稳定.②三角函数是 重要的基本初等函数,是研究其他知识的重 要工具,高考将注重基础知识、基本技能、 基本思想和方法的考查.③考查的重点仍是 三角函数的定义、图象和性质.④新教材更 加突出了应用问题的地位,这也是今后的命 题方向.

内容分析

1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基 础,弧度制的引入,也简化了弧长公式、面 积公式等. 2.三角函数同二次函数、幂函数、指数函数 、对数函数一样,其图象、性质和应用是考 查的重点,其中y=Asin(ωx+φ)的图象是研 究函数图象变换的代表. 3.三角恒等式的化简、求值和证明,是培养 学生分析问题、解决问题能力和提升学生思 维品质的良好载体.公式的逆用和变形都需 要较强的应变能力. 4.解三角形进一步体现了数学的应用性,正 弦定理和余弦定理的推导和应用,有利于培 养学生的建模、解模能力. 5.本章概念多、公式多(如同角三角函数关 系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正 切、正余弦定理等)、符号变化多,这几多决 定了学习本章要加强记忆.本章与其他章节 联系也很密切,是综合应用所学知识的一章.

第一节 任意角、弧度制及 任意角的三角函数

1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能由 三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 4.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.

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梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.终边相同的角 (1)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合

____________________________ 或____________________________ . {β|β=α+k·360°,k∈Z} {β|β=α+2kπ,k∈Z}
(2)终边相同的角的同一三角函数的值 __________ ,即 相等 sinα (其中k∈Z); sin(α+k·2π)= __________ cosα (其中k∈Z); cos(α+k·2π)= __________ tan(α+k·2π)= __________ tanα (其中k∈Z).

2.弧长及扇形的面积公式

1 1 l=|α|· r,S= lr= |α|r2,其中l为扇形弧长,α为圆心角,r为扇形半径. 2 2

3.三角函数的定义 已知P(x,y)是角α终边上任一点,|OP|=r,则

三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数

定义式
y sinα= _______ r
x r cosα= _______ y tanα= _______ x

定义域 R R
π { α | α ≠ kπ + ,k∈Z} _________________ 2

4.各象限角的三角函数值的符号 可用口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦来判断.

5.三角函数线

图1 图中有向线段MP、OM、AT分别表示 _________ 正弦线 、 _________ 余弦线 、 _________ 正切线 .

课 前 自 测
1.点P(tan2007°,cos2007°)位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

解析:∵2007°=360°×6-153°, ∴2007°与-153°的终边相同, ∴2007°是第三象限角,∴tan2007°>0,cos2007°<0.

∴P点在第四象限,故选D.
答案:D

2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( A.x轴上 C.直线y=x上 B.y轴上 D.直线y=-x上

)

解析:由角α的余弦线长度为1分析可知,角α的终边与x轴重合. 答案:A

3.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1或4 C.4 B.1 D.8

)

? ? ?l+ 2r= 6 ?l= 4 解析:设扇形的半径和弧长分别为r,l,则易得?1 ,解得? 或 ? r = 1 lr = 2 ? ? ?2
?l= 2 ? ? ? ? r= 2

,故扇形的圆心角的弧度数是1或 4.

答案:A

4.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是 ________.

? ?sinα- cosα>0 解析:由已知得? ? ?tanα>0



π π 5π 解得α∈( , )∪ (π, ). 4 2 4 π π 5π 答案:( , )∪(π, ) 4 2 4

5.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则a,b,c的大小关系为 ________.

解析:∵a=-sin1,b=cos1,c=-tan1, ∴a<0,b>0,c<0. 又∵sin1<tan1,∴-sin1>-tan1,∴c<a<b.

答案:c<a<b

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热点之一

终边相同角的表示

1.角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在y轴的负半轴上的角的集 π 3π 合可以表示为{x|x= 2kπ- ,k∈ Z},也可以表示为{x|x= 2kπ+ ,k∈ Z}. 2 2 2.(1)利用终边相同的角的集合S={β|β= 2kπ+ α, k∈ Z}判断一个角β所在 的象限时,只需把这个角写成[0,2π]范围内的一个角α与 2π的整数倍的和,然后 判断角α的象限. π (2)角度制和弧度制不能混用,如α= 2kπ+ 30° (k∈ Z), β= k· 360° + (k∈ Z)都 2 是不正确的.

[例1] (1)如果角α是第三象限角,那么-α,π-α,π+α角的终边落在第几 象限? (2)写出终边落在直线y= 3x上的角的集合; θ (3)若θ是与168° 终边相同的角,求在[0° ,360° )内终边与 角的终边相同的 3 角.

[思路探究]

(1)一般地,角α与-α终边关于x轴对称;角α与π-α终边关于y轴

对称;角α与π+α终边关于原点对称. (2)求终边落在某一直线上的角的集合,只需找到(0,π)内终边落在此直线上的 角α,然后代入S={β|β=kπ+α,k∈Z},集合S即为所有角的集合. (3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法为先写出与这个角 的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合参数k赋值来求得所需角.

[课堂记录]

3π (1)π+ 2kπ<α< + 2kπ(k∈ Z), 2

3π ∴- - 2kπ<-α<-π- 2kπ(k∈ Z), 2 π 即 + 2kπ<-α<π+ 2kπ(k∈ Z). 2 ∴-α 角终边在第二象限. 又由①各边都加上 π,得 3π + 2kπ<π-α<2π+ 2kπ(k∈ Z). 2 ∴π-α 是第四象限角. 同理可知,π+α 是第一象限角. π (2)在 (0,π)内终边在直线 y= 3 x 上的角是 , 3 π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合是{α|α= + kπ, k∈ Z}. 3 ①

(3)∵ θ= 168° + k· 360° (k∈ Z), θ ∴ = 56° + k· 120° (k∈ Z). 3 ∵ 0° ≤56° + k· 120° <360° , θ ∴ k= 0,1,2 时, ∈[0° , 360° ). 3 θ 故在[0° , 360° )内终边与 角的终边相同的角是 56° , 176° , 296° . 3

α 若 α 是第二象限角,则 是第几象限的角? 2

解:由 α是第二象限的角,得 k· 360° + 90° <α<k· 360° + 180° , k∈ Z. α (1)k· 180° + 45° < <k· 180° + 90° , k∈ Z. 2 ①当k= 2n,n∈ Z时, α 2n· 180° + 45° < <2n· 180° + 90° ,n∈ Z, 2 α 则 是第一象限角; 2 ②当k= 2n+ 1,n∈ Z时, α 2n· 180° + 225° < <2n· 180° + 270° ,n∈ Z, 2 α 则 是第三象限角. 2 α 综合①,②可知 是第一或第三象限角. 2

热点之二

扇形的弧长与面积

涉及弧长和扇形面积的计算,可用的公式有角度和弧度两种表示方法,其中弧 度表示的公式结构简单易记好用.弧长和扇形面积的核心公式是圆的周长公式C=

2πr和圆的面积公式S=πr2,当用圆心角的弧度数α代替2π时,即可得到一般弧长和
扇形面积公式l=|α|r,S=1/2|α|r2.

[例2] 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积.

[课堂记录] (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, π 10 ∵ α= 60° = ,R= 10,∴l= π(cm), 3 3
? 1 10 1 2 π 3? ?π 2 S 弓=S 扇-S△= · π· 10- · 10 · sin = 50? - ? ?(cm ). 2 3 2 3 2? ?3

(2)∵扇形周长 C= 2R+l= 2R+ αR, C ∴ R= , 2+ α
2 ? 1 2 1 ? 1 C2 1 C2 ? C ?2 C ∴S 扇= α· R = α? = α· = · ≤ . 2 2 ?2+ α? 2 4+ 4α+ α2 2 4 16 ? 4+ α+ α 4 C2 ∴当 α= ,即 α= 2(α=-2 舍去)时,扇形面积有最大值 . α 16

[思维拓展] 涉及弧长和扇形面积的计算可用的公式有角度和弧度表示的两种, 其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.

即时训练: 已知扇形OAB的圆心角为4弧度,其面 积为2平方厘米,求扇形周长和弦AB的长.

解:设 AmB 的长为 l,OA=r, 1 1 ∵S 扇形= lr,∴ lr= 2① 2 2 l 又由已知 = 4② r 由①②得 r= 1,l= 4, ∴扇形的周长为 l+ 2r= 4+ 2×1= 6(cm). 如右图,作 OH⊥ AB 于 H, 2π- 4 则 AB= 2AH= 2rsin 2 = 2rsin(π- 2)= 2sin2(cm).

热点之三

三角函数的定义

1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角 函数的定义求解.

2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点
到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题,若直线的倾斜角为特殊角, 也可直接写出角α的值.

[例3] 已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.

[思路探究]

本题求α的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角α的终边上

任取一点P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定义得出结论.

[课堂记录] ∵角 α 的终边在直线 3x+ 4y= 0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,- 3t)(t≠0), 则 x= 4t,y=- 3t. r= x2+ y2= ?4t?2+?- 3t?2= 5|t|, y - 3t 3 当 t>0 时, r= 5t,sinα= = =- , r 5t 5 x 4t 4 y - 3t 3 cosα= = = , tanα= = =- ; r 5t 5 x 4t 4 y - 3t 3 当 t<0 时, r=-5t,sinα= = = , r - 5t 5 x 4t 4 y - 3t 3 cosα= = =- , tanα= = =- . r - 5t 5 x 4t 4

5π 5π 即时训练: 已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),则角 α 的最小 3 3 正值为( 5π A. 6 5π C. 3 ) 2π 3 11π D. 6 B.

5π 5π 解析:∵ sin <0, cos >0, 3 3 5π 5π ∴点(sin , cos )落在第二象限, 3 3 5π cos 3 3 π 5π 又∵ tanα= =- ,∴α=π- = ,故选 A. 5π 3 6 6 sin 3
答案:A

热点之四

三角函数的符号判定

1.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 2.对于已知三角函数的符号判断角所在的象限,可先根据三角函数式的符号

确定三角函数值的符号,再判断角所在的象限.

[例4] (1)判断下列各式的符号: ①sin340°·cos265°;②sin4·tan. (2)判断下列各式中角α的终边所在的象限. ①sinα·tanα<0; ②tanα>0且sinα+cosα>0.

[思路探究]

确定符号,关键是确定每个因式的符号,而要分析因式的符号,

则关键是看角所在的象限.

[课堂记录]

(1)①∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,

∴sin340°<0,cos265°<0, ∴sin340°·cos265°>0.

3 ②∵π<4< π,∴ 4弧度角是第三象限角. 2 23 π ∵- π=- 6π+ , 4 4 23 ∴- π弧度角是第一象限角. 4
? 23 ? ? 23 ? ? ? ∴ sin4<0, tan?- π?>0,∴sin4· tan? - π? <0. ? 4 ? 4 ? ? ? ?

(2)①∵ sinαtanα<0,
? ?sin α>0, ∴? ? ?tan α<0 ?sin α<0, ? 或? ? ?tan α>0,

∴ α的终边在第二或第三象限. sinα ②∵ tanα= >0,∴ sinαcosα>0 cosα 又∵sinα+cosα>0,∴ sinα>0且 cosα>0, ∴角α的终边在第一象限.

即时训练: (1)若sinθ· cosθ<0,则θ在第________象限. α α (2)若α是第一象限角,则sin2α,cos2α,sin ,cos , 2 2 α tan 中一定为正值的有________个. 2
解析:(1)∵ sinθ· cosθ<0,故sinθ, cosθ异号,显然θ只有在第二、四象限才 符合要求. π (2)由 α是第一象限角,得 2kπ<α<2kπ+ , k∈ Z, 2 ∴ 4kπ<2α<4kπ+π,故 2α是第一或第二象限角或在y轴的正半轴上,显然 sin2α>0; α α 同理可知 是第一或第三象限角,此时tan >0一定成立. 2 2 综上,一定为正值的有2个.
答案:(1)二、四 (2)2

高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能

直 指 考 向
三角函数的概念是三角函数的基础,也是高考对于基础知识和基本技能考查的 重要内容之一,试题经常出现且多为选择题、填空题,难度一般不高,主要考查角 的范围,判定三角函数值的符号.

经 典 考 题
π 1 [例5] (2009· 北京卷)“α= ”是“cos2α= ”的( 6 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
π π 1 [解析] 当α= 时,cos2α= cos = ; 6 3 2 π π 1 而当α=- 时,cos2α= cos(- )= . 6 3 2 1 π 这说明当cos2α= 时,α除 还可以取其他的值. 2 6 π 1 所以“α= ”是 “cos2α= ”的充分而不必要条件. 6 2
[答案] A

)

自 主 体 验
1.(2008·全国Ⅱ)若sinα<0且tanα>0,则α是( A.第一象限角 C.第三象限角 ) B.第二象限角 D.第四象限角

解析:由sinα<0且tanα>0得α是第三象限角,选C. 答案:C

2.(2007·北京卷)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

)

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

解析:cosθ· tanθ<0 sinθ<0 ? ? sinθ ?cosθ· <0?? π cosθ θ ≠ kπ + , k∈ Z ? 2 ? ?θ为第三或第四象限角.故选C.
答案:C

为方便教学使用,本部分单独装订 成活页装,请做课时作业(16)

第二节 同角三角函数的 基本关系与诱导公式

1.理解同角三角函数的基本关系式: sinx sin2x+ cos2x= 1, = tanx. cosx π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π± α的正 2 弦、余弦、正切的诱导公式.

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: _________________ sin2α+cos2α=1 ;

sinα tanα= (2)商数关系:_________________ ; cosα
tanα· cotα=1 (3)倒数关系: _________________.

2.sinα±cosα与sinα·cosα的关系

(sinα±cosα)2= _________________ 1±2sinα· cosα ;

?sinα+cosα?2-1 1-?sinα-cosα?2 = sinα·cosα=____________________________________. 2 2

3.诱导公式(填表):α∈R,有

2kπ+α 正弦 余弦
sinα _________ cosα _________ tanα _________

π-α
sinα _________ -cosα _________ -tanα _________

π+α
-sinα _________ -cosα _________ tanα _________

2π-α
-sinα _________ cosα _________ -tanα _________

正切

-α 正弦 余弦 正切
-sinα _________
cosα _________

π -α 2
cosα _________
sinα _________

π +α 2
cosα _________
-sinα _________

3π -α 2
-cosα _________
-sinα _________

3π +α 2
-cosα _________
sinα _________

-tanα _________

kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”, 2 kπ 意思是说 ± α,k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正 2 弦;当k为偶数时,函数名不变,然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原 函数值的符号.”

课 前 自 测
1.sin585° 的值为( A.- C.- 2 2 3 2 B. D. ) 2 2 3 2

解析:sin585° = sin(360° + 225° ) = sin(180° + 45° )=-
答案:A

2 . 2

2sinα-cosα 2.若tanα=2,则 的值为( sinα+2cosα A.0 C.1 3 4 5 D. 4 B.

)

2sinα- cosα 2tanα- 1 2×2-1 3 解析: = = = . 4 sinα+2cosα tanα+2 2+2
答案:B

5 3.已知cos(α-π)=- ,且α是第四象限的角,则sin(-2π+α)=( 13 12 12 A.- B. 13 13 12 C.± 13 D. 5 12

)

5 5 解析:由 cos(α-π)=- 得, cosα= ,而α为第四象限角,∴sin(- 2π+α) 13 13 12 = sinα=- 1- cos2α=- . 13
答案:A

π 1 2π 4.若sin( -α)= ,则cos( +2α)等于( 6 3 3 7 1 A.- B.- 9 3 C. 1 3 D. 7 9

)

π π π 解析:∵( + α)+ ( -α)= , 3 6 2 π π π π 1 2π π ∴ sin( -α)=sin[ -( +α)]= cos( +α)= .则 cos( + 2α)= 2cos2( + α)- 1 6 2 3 3 3 3 3 7 =- . 9
答案:A

5.已知tan(3π+α)=2,则 π π sin?α-3π?+cos?π-α?+sin? -α?-2cos? +α? 2 2 =____________. -sin?-α?+cos?π+α?

解:由tan(3π+ α)= 2得tanα= 2, sinα ∴ = 2,即sinα= 2cosα, cosα - sinα- cosα+ cosα+ 2sinα sinα 原式= = sinα- cosα sinα- cosα sinα = = 2. 1 sinα- sinα 2
答案:2

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热点之一

同角三角函数基本关系的应用

运用基本关系式可以求解两类问题: (1)已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值; (2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明. 该部分高考命题难度不大,对公式的应用要求准确、灵活,尤其是在利用平方 关系sin2α+cos2α=1及其变形形式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时, 要特别注意对符号的判断.

3π [例1] 已知sin(3π+α)=2sin( +α),求下列各式的值. 2 sinα-4cosα (1) ;(2)sin2α+sin2α. 5sinα+2cosα

[思路探究]

化简已知式 →

将所求式 应用已知 → 进行转化 条件求值

[课堂记录]

3π ∵sin(3π+α)= 2sin( +α) 2

∴- sinα=-2cosα.∴sinα= 2cosα,即tanα= 2. 解法一:(直接代入): 2cosα- 4cosα 1 (1)原式= =- . 6 5×2cosα+ 2cosα sin2α+ 2sinαcosα sin2α+ sin2α 8 (2)原式= = = . 1 2 5 sin2α+ cos2α 2 sin α+ sin α 4 解法二:(同除转化): tanα- 4 2- 4 1 (1)原式= = =- . 6 5tanα+ 2 5×2+ 2 sin2α+ 2sinαcosα (2)原式=sin α+ 2sinαcosα= sin2α+ cos2α
2

tan2α+ 2tanα 8 = = . 5 tan2α+ 1

即时训练: 已知tanα=2,求下列各式的值: 2sinα-3cosα (1) ; 4sinα-9cosα (2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α.

解:(1)注意分式的分子、分母均为关于sinα,cosα的一次齐次式,将分子、 2tanα- 3 2×2- 3 分母同除以cosα(cosα≠0),然后代入tanα= 2即可,原式= = = 4tanα- 9 4×2- 9 - 1. (2)∵sin2α+ cos2α= 1, 4sin2α- 3sinαcosα- 5cos2α ∴4sin α- 3sinαcosα- 5cos α= sin2α+ cos2α
2 2

4tan2α- 3tanα- 5 4×4- 3×2- 5 = = = 1. tan2α+ 1 4+ 1

π 1 [例2] 已知- <x<0,sinx+cosx= . 2 5 (1)求sinx-cosx的值; x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2 2 2 2 (2)求 的值. tanx+cotx

1 1 24 (1)由sinx+ cosx= 知 1+ 2sinxcosx= ,即 2sinxcosx=- . 5 25 25 π 49 又- <x<0, ∴sinx<0,且cosx>0,∴(sinx- cosx)2= 1- 2sinxcosx= .又 2 25 [课堂记录] 7 sinx- cosx<0, ∴sinx- cosx=- ; 5 1 ? sin x + cos x = , ? 5 (2)由? 7 sin x - cos x =- , ? 5 ? 3 4 知 sinx=- , cosx= , 5 5

x x x x 3sin2 - 2sin cos + cos2 3 2 2 2 2 因此tanx=- .∴ 4 tanx+ cotx x 4 3 2sin2 - sinx+ 1 2- + 2 2- cosx- sinx 5 5 108 = = = =- . 3 4 125 tanx+ cotx tanx+ cotx - - 4 3

1 即时训练: 已知α是三角形的内角,若sinα+cosα= ,求tanα的值. 5 1 1 解:由 sinα+ cosα= 两边平方,得1+ 2sinαcosα= , 5 25 24 ∴2sinαcosα=- <0. 25
∵α是三角形内角,sinα>0,从而 cosα<0, π ∴ <α<π. 2 24 49 (sinα- cosα)2= 1- 2sinαcosα= 1+ = , 25 25 7 ∴sinα- cosα= 5 1 ? sin α + cos α = ? 5 由? 7 sin α - cos α = ? 5 ? sinα 4 ∴tanα= =- . cosα 3 4 ? sin α = ? 5 得? 3 cos α =- ? 5 ?

热点之二 1.解决给角求值问题的一般步骤为:

诱导公式的应用

任意负角的 任意正角的 0~ 2π的角 用公式一 ―――――――→ ―――――――→ 或公式三 用公式一 三角函数 三角函数 的三角函数 用公式二 ―――――――→ 锐角三角函数 或公式四
2.解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被求值式的特点,寻找它们
之间的内在联系,特别是角之间的联系,然后恰当地选择诱导公式求解.

[例 3] 设 k 为整数, sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 化简 . sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?
[课堂记录] 解法一:当 k 为偶数时,设 k=2m,m∈ Z.

sin?2mπ- α?cos[?2m- 1?π- α] 原式= sin[?2m+ 1?π+ α]cos?2mπ+ α? = sin?- α?cos?π+ α? - sinα?-cosα? = =- 1 sin?π+ α?cosα - sinαcosα

当 k 为奇数时,设 k= 2m+ 1(m∈ Z). 同理可得:原式=-1,∴原式=-1. 解法二:由(kπ- α)+(kπ+ α)= 2kπ,[(k- 1)π-α]+[(k+ 1)π+ α]= 2kπ. 得 sin(kπ-α)=-sin(kπ+α), cos[(k- 1)π-α] = cos[(k+ 1)π+ α]=- cos(kπ+α) sin[(k+ 1)π+α]=-sin(kπ+ α), - sin?kπ+ α?[- cos?kπ+α?] ∴原式= =-1. - sin?kπ+ α?cos?kπ+ α?

[思维拓展]

诱导公式sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα,其中2kπ是π的偶数倍 若遇sin(kπ±α),必须要对k的奇偶性进行讨论,但不论k是奇数还是偶数都有

tan(kπ+α)=tanα.

3π sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+ ? 2 即时训练: 已知 α 是第三象限角, 且 f(α)= ; cotαsin?π+α? (1)化简 f(α); 3π 1 (2)若 cos(α- )= ,求 f(α)的值. 2 5
sinα· cosα· cotα 解:(1)f(α)= =-cosα. - cotαsinα 3π π (2)∵ cos(α- )= cos(- 3·+ α) 2 2 1 =-sinα,∴sinα=- , 5 52- 1 2 ∵α 为第三象限角,∴cosα=- =- 6 , 5 5 2 ∴ f(α)= 6. 5

高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能

直 指 考 向
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角函数部分的重要基础知识,对三角 函数的考查都会涉及到这部分知识.在高考中除了和其他知识一起综合考查外,有 时也直接考查,直接考查时常以小题形式出现.

经 典 考 题
3 π [例 4] (2010· 全国Ⅰ)已知 α 为第三象限的角,cos2α=- ,则 tan( +2α)= 5 4 ________. [解析] ∵α 为第三象限的角, 3π ∴π+ 2kπ<α< + 2kπ, k∈ Z. 2

∴ 2π+ 4kπ<2α<3π+ 4kπ, k∈ Z. 3 又∵cos2α=- ,∴ 2α 为第二象限角. 5 3 4 1- ?- ?2= . 5 5 sin2α 4 ∴ tan2α= =- . cos2α 3 π 4 tan + tan2α 1- π 4 3 1 ∴ tan( + 2α)= = =- . 4 π 4 7 1- tan · tan2α 1+ 4 3 1 [答案] - 7 ∴ sin2α=

自 主 体 验
1.(2010· 全国Ⅰ)记 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k k C. 1-k2 1-k2 B.- k k D.- 1-k2 )

解析: sin80° = 1- cos280° = 1- cos2?- 80° ?= 1- k2, ∴tan100° =- tan80° sin80° 1- k2 =- =- . cos80° k

答案:B

α 1+tan 4 2 2.(2010· 海南 )若 cosα=- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 1 A.- B. 2 2 C.2 D.-2

)

4 3 解析:∵ cosα=- ,α 是第三象限角,∴sinα=- , 5 5 α 3 1+ tan 1- 2 1+ sinα 5 1 ∴ = = =- . α cosα 4 2 1- tan - 2 5
答案:A

为方便教学使用,本部分单独装订 成活页装,请做课时作业(17)

第三节 三角函数的图象与性质

1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数 的周期性.

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单
调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在 区间(-π/2,π/2)内的单调性.

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.周期函数及最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,

都有 ________________ ,则称f(x)为周期函数,T为它的一个周期.若在所有周期中, f(x+T)=f(x)
有一个最小的正数,则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期.

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义域 值域

x∈R {y|-1≤y≤1} ________________

x∈R {y|-1≤y≤1} ________________

x∈R且x≠π/2+kπ, k∈Z

R __________

π π [(2k-1)π,2kπ] 在[ ________________ - +2kπ, +2kπ] 在________________
单调性 上递增,k∈Z; 上递减,k∈Z

2

2

在[ ________________ [2kπ,(2k+1)π] +2kπ, +2kπ] 在________________ 上递减,k∈Z

π 2

3π 2

上递增,k∈Z;

π π ( - + kπ , +kπ) 在________________ 2 2 上递增,k∈Z;

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

π +2kπ (k∈Z) x= _________ 2
最值 时,ymax=1; 时,ymin=-1 奇偶性 对称 中心 奇 _______________ (kπ,0),k∈Z _______________

2kπ x= _________ (k∈Z) 时,ymax=1; π+2kπ (k∈Z) x= _________ 时,ymin=-1 偶 _______________ 奇 _______________ 无最值

π y=_________ - +2kπ (k∈Z) 2

对 称 性

π ( kπ + ,0),k∈Z _______________ 2
x=kπ,k∈Z _______________

kπ ( ,0),k∈Z _______________ 2

对称 轴

π x = kπ + ,k∈Z _______________ 2
2π __________

无对称轴

最小正 周期

2π __________

π __________

课 前 自 测
π 1.下列函数中,周期为 的是( ) 2 x A.y=sin B.y=sin2x 2 x C.y=cos 4 D.y=cos4x

2π 解析:利用公式 T= . ω
答案:D

2.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是(
? π π? ? A.? ?-4,4? ? ? ? 3π? ? C.?π, ? 2? ? ? ?π 3π? ? B. ? ? 4, 4 ? ? ? ?3π ? ? D.? ,2π? ? ?2 ?

)

解析: 由
? 3 ? ? 得?π, π? 为 2 ? ? ?

? π? ? y= |sinx|图象易得函数单调递增区间?kπ, kπ+ ? , k∈ Z, 当 2? ? ?

k= 1 时,

y=|sinx|的单调递增区间.

答案:C

π 3.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误 的是( .. 2 A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数
? π? ? f(x)在区间?0, ? 上是增函数 2? ? ?

)

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

π 解析:∵ y=sin(x- )=- cosx,∴T= 2π,A 正确; 2
? ? π? π? ? ? ? y= cosx 在?0, ? 上是减函数, y=-cosx 在?0, ? 上是增函数,B 正确; 2? 2? ? ? ?

由图象知 y=- cosx 关于直线 x= 0 对称,C 正确. y=-cosx 是偶函数,D 错误.
答案:D

3 1 4.设函数 f(x)=A+Bsinx,若 B<0 时,f(x)的最大值是 ,最小值是- ,则 A 2 2 =________,B=________.

3 ? A - B = , ? 2 解析:根据题意,由? 1 A + B =- . ? 2 ? 1 答案: -1 2

1 ? ?A= , 2 可得? ? ?B=- 1.

π π 5.比较大小:sin(- )________sin(- ). 18 10

π π π π 解析:因为 y=sinx 在[- ,0]上为增函数且- >- ,故 sin(- )>sin(- 2 18 10 18 π ). 10

答案:>

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热点之一

三角函数的定义域问题

三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域事实上就 是解最简单的三角不等式(组),通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解,注

意数形结合思想的应用.

[例 1] 求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sinx-1)+ 1-2cosx; (2)y= 1 2+log x + tanx. 2

[思路探究]

?2sin x- 1>0 ? (1)第(1)小题实际就是求使? ? ?1- 2cosx≥0

同时成立的 x 值,可

用图象或三角函数线解决; 1 ? ?2+ log x≥0 2 (2)第 (2)小题解不等式组? ,然后利用数轴求解. ? ?tanx≥0

[课堂记录]

(1)要使原函数有意义,必须有: 1 ? sin x > , ? 2 即? 1 cos x ≤ . ? 2 ?

? ?2sin x- 1>0, ? ? ?1- 2cosx≥0,

由图知,原函数的定义域为: π 5π [2kπ+ , 2kπ+ )(k∈ Z). 3 6 (2)要使函数有意义

?2+ log1x≥0, ? 2 ?x>0, 则? tanx≥0, ? π x ≠ kπ + , k∈ Z, ? 2 ?

0<x≤4, ? ? 得? π kπ ≤ x < kπ + ?k∈ Z?. ? 2 ?

π ∴函数定义域是{x|0<x< 或 π≤x≤4}. 2

即时训练: 求函数 y=

1 2+log x+ tanx的定义域. 2

解:要使函数有意义, 1 ? 2 + log x≥0, ? 2 ?x>0, 则? tanx≥0, ? π x≠kπ+ ?k∈ Z?, ? 2 ?

? ?0<x≤4, 得? π kπ ≤ x < kπ + ?k∈ Z?. ? 2 ?

π 所以函数的定义域是{x|0<x< 或 π≤x≤4}. 2

热点之二

三角函数的值域与最值问题

求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用sinx、cosx的值域; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根 据正弦函数单调性写出y=Asin(ωx+φ)的值域; (3)换元法:把sinx、cosx看作一个整体,可化为二次函数. 提醒:换元后注意新元的范围.

[例 2] (1)求函数 y=acosx+b 的最大值和最小值; π π π (2)求函数 y=2sin(2x+ )(- <x< )的值域; 3 6 6 (3)求函数 y=2cos2x+5sinx-4 的值域.

[思路探究]

(1)由 cosx∈[- 1,1],分 a≥0 和 a<0 讨论.

π π π π (2) - <x< → 2x的范围 → 2x+ 的范围 → sin?2x+ ?的范围 6 6 3 3 π → 2sin?2x+ ?的范围 3 (3)设 sinx=t∈ [- 1,1],转化为二次函数在[- 1,1]上的值域问题.

[课堂记录]

(1)∵cosx∈[-1,1],

∴当a=0时,y=b,无最值; 当a>0时,函数的最大值为a+b,最小值为-a+b. 当x=2kπ,k∈Z时取得最大值. 当x=2kπ+π,k∈Z时取得最小值. 当a<0时,函数最大值为-a+b,最小值为a+b.

当x=2kπ+π,k∈Z时取得最大值.
当x=2kπ,k∈Z时取得最小值.

π π π π (2)∵- <x< ,∴- <2x< . 6 6 3 3 π 2 π ∴ 0<2x+ < π,∴ 0<sin(2x+ )≤1. 3 3 3 π ∴ 0<2sin(2x+ )≤2. 3 π π π ∴函数 y= 2sin(2x+ )在 (- , )上的值域为(0,2]. 3 6 6

(3)由已知得 y= 2(1- sin2x)+ 5sinx- 4 =- 2sin2x+ 5sinx- 2. 设 sinx=t,则 t∈[-1,1], 5 9 则 y=- 2t2+ 5t- 2=- 2(t- )2+ ,t∈[- 1,1]. 4 8 ∴当 t=-1 时,ymin=- 9. 当 t=1 时, ymax= 1. ∴函数 y= 2cos2x+ 5sinx- 4 的值域为[- 9,1].

π π 即时训练: (2010· 大连模拟)已知函数 f(x)=2sin(2x+ ), 求 f(x)在区间[- , 3 6 π ]上的最大值和最小值. 2

π π 解:由- ≤x≤ , 6 2 π 得- ≤2x≤π, 3 π 4 ∴ 0≤2x+ ≤ π,∴ f(x)∈[- 3 , 2], 3 3 π π ∴ f(x)在区间[- , ]上的最大值为 2,最小值为- 3. 6 2

热点之三

三角函数的奇偶性与周期性问题

1.三角函数奇偶性的判断:①首先看定义域是否关于原点对称;②在满足① 的前提下看f(-x)与f(x)的关系.

2.周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件:
①当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x); ②T是不为零的最小正数. 一般地,若T为f(x)的周期,则nT(n∈Z)也为f(x)的周期,即f(x)=f(x+nT).特别 注意:a.最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这 个正数是对x而言的.b.不是所有的周期函数都有最小正周期.周期函数f(x)=C(C为 常数)就没有最小正周期.

[例3] (1)若三角函数y=1-(sinx+cosx)2,则该三角函数是最小正周期为 ________的________函数(第二个空填“奇”或“偶”). (2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)满足f(1)=0,则下列选项中正确

的是(

)

A.f(x-1)一定是偶函数 B.f(x-1)一定是奇函数 C.f(x+1)一定是偶函数 D.f(x+1)一定是奇函数

[思路探究]

正弦型函数(或余弦型函数)的奇偶性、周期性一般是根据函数奇

偶性、周期性的定义来判断的.

[课堂记录]

(1)因为y=1-(sinx+cosx)2

=1-(sin2x+cos2x+2sinx·cosx)=-sin2x, 所以T=2π/2=π. 又f(-x)=-sin2(-x)=sin2x=-f(x), 故y为奇函数. (2)由f(1)=0,知ω+φ=kπ(k∈Z).

当k是偶数时,f(-x+1)=Asin(-ωx+ω+φ)=-Asinωx=-f(x+1);
当k是奇数时,f(-x+1)=Asin(-ωx+ω+φ)=Asinωx=-f(x+1), 故f(x+1)是奇函数,故选D.

即时训练: (1)若函数f(x)=sin2x-1/2 (x∈R),则f(x)是( A.最小正周期为π/2的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数

)

(2)(2007·安徽卷)定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一 个正周期,若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为( A.0 C.3 B.1 D .5 )

1 1 解析:(1)∵ f(x)=sin2x- =- (1- 2sin2x) 2 2 1 =- cos2x,∴T=π,且为偶函数. 2 (2)由于 f(x)为 R 上的奇函数,则 f(0)= 0, 又 f(x)是以 T 为周期的周期函数, 则 f(T)= f(0)= f(- T)= 0. T T T T 又 f( )= f( - T)= f(- )=- f( ). 2 2 2 2 T T ∴ f( )= f(- )= 0. 2 2 所以 n 的值可能为 5,故选 D.
答案:(1)D (2)D

热点之四

三角函数的单调性问题

1.形如 y= Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把 ωx+ π π π φ 看作一个整体,由- + 2kπ≤ωx+ φ≤ + 2kπ(k∈ Z)求得函数的增区间,由 + 2 2 2 3π 2kπ≤ωx+ φ≤ + 2kπ(k∈ Z)求得函数的减区间. 2 2.形如 y= Asin(-ωx+ φ)(A>0, ω>0)的函数,可先利用诱导公式把 x 的系 π π 数变为正数,得到 y=- Asin(ωx-φ),由- + 2kπ≤ωx+φ≤ + 2kπ(k∈Z)得到函 2 2 π 3π 数的减区间,由 + 2kπ≤ωx-φ≤ + 2kπ(k∈ Z)得到函数的增区间. 2 2 注意:对于函数 y= Acos(ωx+φ),y= Atan(ωx+φ)的单调区间的求法与 y= Asin(ωx+φ)的单调区间的求法相同.

π [例 4] 已知函数 f(x)=log2[ 2sin(2x- )]. 3 (1)求函数的定义域; (2)求满足 f(x)=0 的 x 的取值范围; (3)求函数 f(x)的单调递减区间.

[思路探究]

求f(x)的单调递减区间必须在定义域内求解.

π π π (1)令 2sin(2x- )>0?sin(2x- )>0?2kπ<2x- <2kπ+π, k∈ Z 3 3 3 π 2 ?kπ+ <x<kπ+ π, k∈ Z. 6 3 [课堂记录] π 2 故函数的定义域为(kπ+ , kπ+ π), k∈ Z. 6 3

π 2 (2)∵ f(x)= 0,∴sin(2x- )= 3 2 π π 3 ?2x- = 2kπ+ 或 2kπ+ π, k∈ Z 3 4 4 7 13 ?x= kπ+ π 或 x= kπ+ π, k∈ Z, 24 24 故 x 的取值范围是 7 13 {x|x= kπ+ π 或 x= kπ+ π, k∈ Z}. 24 24 π π (3)令 2kπ+ ≤2x- <2kπ+ π,k∈ Z 2 3 5 4 ?2kπ+ π≤2x<2kπ+ π, k∈ Z 6 3 ?kπ+ 5 2 π≤x<kπ+ π, k∈ Z, 12 3

故函数 f(x)的单调递减区间是 5 2 [kπ+ π, kπ+ π),k∈ Z. 12 3

π 即时训练: 求函数 y=2sin( -x)的单调增区间. 4
π π 解:∵ y= 2sin( - x)=- 2sin(x- ). 4 4 π π ∴函数 y= 2sin( - x)的递增区间就是函数 u=2sin(x- )的递减区间. 4 4 π π 3π 由 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈ Z), 2 4 2 3 7π 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ (k∈ Z). 4 4 π ∴函数 y= 2sin( - x)的递增区间为: 4 3π 7π [2kπ+ , 2kπ+ ](k∈ Z). 4 4

高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能

直 指 考 向
从近两年的高考试题来看,三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点, 题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中低档;常与三角恒等变换交汇命题, 在考查三角函数性质的同时,又考查三角恒等变换的方法与技巧,注重考查函数方 程、转化化归等思想方法.

经 典 考 题
[例 5] (2010· 天津卷)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
? π? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, ? 上的最大值和最小值; 2? ? ? ?π π? 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈? , ? ? ? ,求 cos2x0 的值. 5 4 2 ? ?

[解] 本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y=Asin(ωx+φ) 的性质,同角三角函数的基本关系,两角差的余弦等基础知识,考查基本能力.一

般思路先整理、化简f(x)=Asin(ωx+φ)形式.

(1)由 f(x)= 2 3sinxcosx+ 2cos2x- 1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+ (2cos2x- 1) =
? π? ? 3sin2x+ cos2x= 2sin?2x+ ? . 6? ? ?

∴函数 f(x)的最小正周期为 π.
? ? ?π π? π? π? ? ? ? ? ∵ f(x)= 2sin?2x+ ? 在区间?0, ? 上为增函数, 在区间? , ? 又 ? ?上为减函数, 6? 6? ? ? ?6 2 ?

f(0)

π π = 1, f( )= 2, f( )=- 1, 6 2 ? π? ? ∴函数 f(x)在区间?0, ? 上的最大值为 2,最小值为- 1. 2? ? ?

π (2)由 (1)可知 f(x0)= 2sin(2x0+ ). 6
? 6 π? 3 ? ∵ f(x0)= ,∴sin?2x0+ ? = ? 5. 5 6 ? ?



?π π? ? x0∈? ? 4,2? ,得 ? ?

? π ? ?2π 7π? 2x0+ ∈? , ?, 6 ?3 6?

从而

? π? ? cos?2x0+ ? =- 6? ? ?

π? 4 1- sin ?2x0+ ? =- . 6? 5 ? ?
2?

?

?? ? π? ?? ? π? ∴ cos2x0= cos?? 2x0+6?-6? ?? ? ? ? ? π? π π? π ? ? ? = cos?2x0+ ?cos + sin?2x0+ ? sin 6? 6 6? 6 ? ? ?



3- 4 3 . 10
本题属于基础题目,关键整理出f(x)=Asin(ωx+φ)一定要小心谨慎,明

[评析]

确正弦型函数的单调性.

自 主 体 验
? π? ? 1. (2010· 江苏卷)定义在区间?0, ? ? 上的函数 2 ? ?

y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图

象的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________.

解析:本题考查三角函数的概念和性质.线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,且 sinx 其中的 x 满足 6cosx= 5tanx,6cosx= 5 ,6cos2x= 5sinx,6(1- sin2x)= 5sinx,解得 cosx 2 2 sinx= ,线段 P1P2 的长为 . 3 3 2 答案: 3

2.(2010· 陕西卷)对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是(
?π π? ? A.f(x)在? ?4,2?上是递增的 ? ?

)

B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2

解析:f(x)=2sinxcosx=sin2x,f(-x)=sin(-2x)=-f(x). 答案:B

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第四节
函数y=Asin(ωx+φ)的 图象及三角函数模型的 简单应用

1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx +φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.

2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,
会用三角函数解决一些简单实际问题.

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 振幅 y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,x∈R)表示一个振动量时,A 叫做 _________ , 2π 1 T= 叫做 __________ , f = 叫做 __________ ,ωx+φ 叫做 __________ ,φ 叫 周期 频率 相位 ω T 初相 . 做 __________

2.图象变换
(1)相位变换:y=sinx→y=sin(x+φ)把y=sinx图象上所有的点向 __________ 左 (φ>0)或向 __________ (φ<0)平行移动 __________ |φ| 个单位. 右

1 标变为原来的__________ ω 倍.

(2)周期变换:y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)(ω>0)把y=sin(x+φ)图象上各点横坐

(3)振幅变换:y=sin(ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ)(A>0)把y=sin(ωx+φ)图象上各点 的纵坐标变为原来的 __________ A 倍.

3.函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0)的图象 可以看作用下面的方法得到:先把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或

__________ (当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度,再把所得各点的横坐标 __________ 向右
(当ω 缩短 >1时)或 __________ (当0< 伸长 ω<1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变),再把所得各点的 缩短 纵坐标 __________ (当A>1 时)或 __________ (当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 伸长 而得到.

课 前 自 测
1 1.把 y=sin x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y=sinωx 的图象, 2 则 ω 的值为( A.1 C. 1 4 ) B.4 D.2

1 横坐标变为原来的 2倍 11 1 1 解析:y= sin x――――――――――――→ y= sin ( x)= sin x.∴ ω= . 2 22 4 4
答案:C

π 2.将函数 y=sin4x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin(4x+φ)的图象, 12 则 φ 等于( π A.- 12 C. π 3 ) π B.- 3 D. π 12

π 解析:将函数 y=sin4x 的图象向左平移 个单位后得到的图象的解析式为 y 12 π π π = sin4(x+ )= sin(4x+ ),则 φ= . 12 3 3
答案:C

π 3. 将函数 y=sin(x- )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 3 π 变),再将所得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是( ) 3 1 A.y=sin x 2 1 π C.y=sin( x- ) 2 6 1 π B.y=sin( x- ) 2 2 π D.y=sin(2x- ) 6

1 π 解析:横坐标伸长为原来的 2 倍,得到的图象解析式为 y=sin( x- ),再将 2 3 π 1 π π 1 π 所得的图象向左平移 个单位得到的解析式为 y=sin[ (x+ )- ]= sin( x- ). 3 2 3 3 2 6
答案:C

4.图中的曲线是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(A>0, π ω>0,|φ|< ),则 ω=________,φ=________. 2

3 5 π 3 解析:设周期为 T,则 T= π- = π,∴ T=π,∴ω= 2. 4 6 12 4 5 ? ?Asin?2× π+ φ?= 0 6 又? , ? ?A>0 5π ∴φ= kπ- (k∈ Z), 3 π π 由|φ|< ,得 k= 2.∴φ= . 2 3 π 答案:2 3

5.若y=|2sin2x+k|的周期为π,则k的范围是________.

解析:当把y=2sin2x的图象上、下平移|k|个单位后,图象能够都在x轴上方或 下方时,y=|2sin2x+k|的周期才为π.∴|k|≥2,∴k∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)

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热点之一

五点法作图

用“五点法”作正、余弦函数的图象要抓住四点:(1)化为正弦型y=Asin(ωx+ φ)或余弦型y=Acos(ωx+φ);(2)周期T=2π,|ω|;(3)振幅A(A>0)?最大值A和最小值-

A;(4)列出一个周期的五个特殊点.

[例 1] 已知函数 f(x)=2sinx· (sinx+cosx). (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; π π (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[- , ]上的图象. 2 2

[思路探究] 三角函数的形式.

欲画f(x)的图象求f(x)的周期和最大值,需把f(x)化成一个角的一个

(1)f(x)= 2sin2x+ 2sinxcosx π = 1- cos2x+ sin2x= 1+ 2sin(2x- ), 4 [课堂记录] ∴ f(x)的最小正周期为π,最大值为1+ 2. (2)由 (1)知 x y π - 2 2 3π - 8 1 π - 8 1- 2 π 8 1 3π 8 1+ 2 π 2 2

π π 故函数y= f(x)在区间[- , ]上的图象如下: 2 2

1 3 即时训练: 设f(x)= cos2x+ 3sinxcosx+ sin2x(x∈R). 2 2 (1)画出f(x)在[0,π]上的图象; (2)求函数的单调区间.

1 1+ cos2x 3 3 1- cos2x 3 1 解:y= · + sin2x+ · = 1+ sin2x- cos2x= 1+ sin(2x 2 2 2 2 2 2 2 π - ). 6 (1) x y 0 1 2 π 3 2 7 π 12 1 5 π 6 0 π 1 2

故函数f(x)在[0,π]上的图象如下:

π π π π (2)由- + 2kπ≤2x- ≤ + 2kπ, k∈ Z,得单调增区间为[- + kπ, kπ+ 2 6 2 6 π ], k∈ Z. 3 π π 3π π 5π 由 + 2kπ≤2x- ≤ + 2kπ, k∈ Z,得单调减区间为[ +kπ,kπ+ ], k∈ 2 6 2 3 6 Z.

热点之二 (1)平移变换

三角函数的图象变换

①沿x轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1,ω倍(纵坐标y不 变); ②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不 变).

π π [例2] (2009· 全国卷Ⅱ)若将函数y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单 4 6 π 位长度后,与函数y=tan(ωx+ )的图象重合,则ω的最小值为( ) 6 1 A. 6 1 C. 3
[思路探究]

1 4 1 D. 2 B.
根据三角函数图象变换规律,写出变换后的函数解析式,与另一

个函数解析式比较即可.

π π [课堂记录] 将函数y= tan(ωx+ )的图象向右平移 个单位后,得到的函数 4 6 π π πω π π 为 y= tan[ω(x- )+ ]= tan(ωx- + ),这个函数的图象与函数y= tan(ωx+ )的 6 4 6 4 6 ωπ π π 图象重合,根据正切函数的周期是kπ,故其充要条件是- + = kπ+ (k∈ Z), 6 4 6 1 1 即 ω=-6k+ (k∈ Z),当 k= 0时,ω的最小值为 ,故选 D. 2 2

π 即时训练: (2009· 山东卷)将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位,再向上 4 平移1个单位,所得图象的函数解析式是( A.y=cos2x π C.y=1+sin(2x+ ) 4 ) B.y=2cos2x D.y=2sin2x

π 解析:所得解析式是y= sin2(x+ )+ 1= cos2x+ 1= 2cos2x,故选 B. 4
答案:B

热点之三

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

确定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步骤: (1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,

M-m M+m 则 A= ,b= . 2 2 2π (2)求 ω,确定函数的周期T,则ω= . T
(3)求φ,常用方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω,b已知)或代入图象与直 线y=b的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) ②最值法:代入取得最值点的坐标求φ.

π [例3] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ< )的图象与x 2 π 2π 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点M( ,-2). 2 3 (1)求f(x)的解析式;
?π π? ? (2)当x∈? , ? ?时,求f(x)的值域. ?12 2 ?

2π (1)由最低点M( ,-2)得 A= 2. 3 π T π 2π 2π 由 x轴上相邻两个交点之间的距离为 得 = ,即T=π,∴ω= = = 2. 2 2 2 T π [课堂记录] 2π 2π 4π 由点M( ,-2)在图象上得 2sin(2× +φ)=-2,即sin( +φ)=- 1. 3 3 3 4π π 11π 故 +φ= 2kπ- (k∈ Z),∴φ= 2kπ- (k∈ Z). 3 2 6 π π π 又φ∈(0, ),∴φ= ,故f(x)= 2sin(2x+ ). 2 6 6
?π ? π? π ? ? ? ?π 7π? (2)∵ x∈? , ?,∴ 2x+ ∈? , ? , 6 ?3 6 ? ?12 2 ?

π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值- 1, 6 6 2 故 f(x)的值域为[-1,2].

即时训练: (2010· 株洲市模拟)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I= π 1 Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象如下图所示,则当t= 秒时,电流强度是 2 100 ( ) A.10安 C.5 3 安 B.5安 D.-5安

1 π 4 解析:由图知 A= 10,且t= 时,相当于ωt+ φ= ,当t= 时,相当于 300 2 300 3π 3 1 7 7π ωt+ φ= ,所以t= = 时,相当于ωt+φ= π,由此可得I= 10sin =- 2 300 100 6 6 5,选 D.
答案:D

热点之四

三角函数模型的简单应用

将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点: (1)审题:把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成为“数学语言”; (2)描点画图,建立数学模型; (3)求出三角函数解析式; (4)利用函数的性质进行解题.

[例4] 如下图1所示为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8米,圆上的最低点与 地面的距离为0.8米,且每60秒转一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针 转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h.

(1)求h与θ间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求该缆车 首次到达最高点时所用的时间.

(1)过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于 π π 点 M(如上图2),当 θ> 时,∠BOM= θ- ,h=OA+BM+ 0.8= 5.6+ 4.8sin(θ- 2 2 π ). 2 π 当 0≤θ≤ 时,上式也成立. 2 π ∴h与 θ间的函数关系式为h= 5.6+ 4.8sin(θ- ). 2 π (2)点 A在圆上转动的角速度是 弧度/秒, 30 π ∴t秒转过的弧度数为 t, 30 π π ∴h= 5.6+ 4.8sin( t- ), t∈[0,+∞). 30 2 首次到达最高点时,h=10.4米, π π π π π 即 sin( t- )= 1, t- = , 30 2 30 2 2 即t= 30秒时,该缆车首次到达最高点.

[课堂记录]

即时训练: 如右图所示,一个摩天轮半径为10米, 轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮每20秒转一 圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高 度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相 对于地面的高度不超过7米.

解:(1)设此人相对于地面的高度为h,时间为t, π 则有h= 12+ 10sin t(t≥0). 10 π π 1 (2)由h= 12+ 10sin t≤7得sin t≤- , 10 10 2 7π π 11π 35 55 所以 ≤ t≤ ,即 ≤t≤ , 6 10 6 3 3 55 35 20 所以 - = , 3 3 3 故此人相对于地面的高度不超过 7米的时间大约为7秒.

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直 指 考 向
从近两年的高考试题来看,函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移和伸缩变换以及 根据图象确定A、ω、φ问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题, 难度中低档,主要考查识图、用图能力,同时考查了利用三角公式进行三角恒等变 换的能力.

经 典 考 题
? 1 1 ? 2 ?π [例5] (2010· 山东卷)已知函数f(x)= sin2xsinφ+cos xcosφ- sin? +φ? 2 2 ?2 ? ? ?π 1? ? (0<φ<π),其图象过点? ? 6,2? . ? ?

(1)求φ的值; 1 (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到 2
? π? ? 函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在?0, ? 上的最大值和最小值. 4? ? ?

? 1 1 ? 2 ?π [解] (1)因为 f(x)= sin2xsinφ+ cos xcosφ- sin? +φ? ?(0<φ<π). 2 2 ?2 ?

1 1+ cos2x 1 所以 f(x)= sin2xsinφ+ cosφ- cosφ 2 2 2 1 1 1 = sin2xsinφ+ cos2xcosφ = (sin2xsinφ+ cos2xcosφ) 2 2 2 1 = cos(2x-φ). 2 π 1 又函数图象过点( , ), 6 2
? ?π ? 1 1 π ? ? ? ? 所以 = · cos?2× -φ? ,即cos? -φ? ?= 1. 2 2 6 ? ? ?3 ? π 又 0<φ<π,所以φ= . 3

1 π (2)由 (1)知 f(x)= cos(2x- ),将函数 y= f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原 2 3 1 1 π 来的 ,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)= f(2x)= cos(4x- ). 2 2 3
? π? ? 因为x∈?0, ? ?,所以4x∈ [0,π], 4 ? ? ? π ? ? π 2π ? 因此 4x- ∈?- , ? , 3 ? 3 3? ? 1 π? ? 故- ≤cos?4x- ? ≤1. 2 3? ? ? ? π? 1 1 ? 所以y=g(x)在?0, ? 上的最大值和最小值分别为 和- . 4? 2 4 ? ?

自 主 体 验
1.(2010· 课标全国)如下图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始 位置为P0( 2,- 2),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大 致为( )

解析:本题可采用特值法验证.P在 P0点时,P点到 x轴的距离d= 2 ,此时t 2π = 0,故排除A、 D;由已知ω= 1,T= = 2π,当P点到达P1点时,此时 P点正好 ω 2π π 在 x轴上,所以d=0,此时经过t= = ,故选C. 8 4

答案:C

? π? ? 2.(2010· 全国Ⅱ)为了得到函数y=sin?2x- ? 的图象,只需把函数y= 3? ? ? ? π? ? sin?2x+ ? 的图象( 6? ? ?

)

π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2

? ? ? ? π? π? ? ? ?? ? ? 解析:y= sin?2x+ ? = sin?2?x+12??, 6? ? ? ?? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ?? ? ? y= sin?2x- ? = sin?2?x-6??, 3? ? ? ?? ? ? π ? ? π? π 故应向右平移 -?- ?= 个长度单位. 12 ? 6? 4

答案:B

为方便教学使用,本部分单独装订 成活页装,请做课时作业(19)

第五节 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公

式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、 正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的 内在联系.

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cosαcosβ+sinαsinβ ; C(α-β):cos(α-β)= ________________________ C(α+β):cos(α+β)= ________________________ cosαcosβ-sinαsinβ ; S(α+β):sin(α+β)= ________________________ sinαcosβ+cosαsinβ ; S(α-β):sin(α-β)= ________________________ sinαcosβ-cosαsinβ ;

tanα+tanβ T(α+β):tan(α+β)= ________________________ ;
由此可得公式的变形:

1-tanαtanβ

tanα+tanβ= ________________________ tan(α+β)(1-tanαtanβ) .

tanα-tanβ T(α-β):tan(α-β)= ________________________ ;
由此可得公式的变形:

1+tanαtanβ

tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2α:sin2α= _________________ ; 2sinαcosα C2α:cos2α= _________________ cos2α-sin2α = _____________ 2cos2α-1 = _____________ 1-2sin2α ; 由此可得变形公式sin2α= _____________ ,cos2α= _____________ ,它的双向 应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用,应用广泛.

1-cos2α 2

1+cos2α 2

2tanα T2α:tan2α= _____________. 1-tan2α

3.形如asinα+bcosα的化简

a

b

2 β= _________. asinα+bcosα=sin(α+β).其中cosβ= _________ , sin a2+b2 a2+ b

课 前 自 测
1.cos43° cos77° +sin43° cos167° 的值为( 1 1 A. B.- 2 2 1 1 C. D.- 3 3 )

解析:原式=cos43° cos(90° - 13° )+ sin43° cos(180° - 13° )= cos43° sin13° - 1 sin43° cos13° = sin(13° - 43° )=- sin30° =- . 2
答案:B

1 2.下列各式中,值为 的是( 2 A.sin15° cos15° C. 1+cos30° 2

) π -1 12

B.2cos2 D.

tan22.5° 1-tan222.5°

tan22.5° 1 1 解析: = tan45° = . 2 2 1-tan 22.5° 2
答案:D

π π 1 3.已知α∈( ,π),tan(α+ )= ,则cosα等于( 2 4 7 3 3 4 4 A. B.- C. D.- 5 5 5 5

)

π 1 1+ tanα 1 解析:由 tan(α+ )= 得 = , 4 7 1- tanα 7 3 所以 tanα=- , 4 π 4 又∵α∈( , π),∴ cosα=- . 2 5
答案:D

4.设a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= 大排列为__________.

6 ,则把a,b,c从小到 2

解析:a= 2sin(14° + 45° )= 2sin59° , b= 2sin61° , c= 2sin60° ,∴ a<c<b.
答案:a<c<b

5.tan20°tan60°+tan60°tan10°+tan10°tan20°=__________.

解析:原式=tan60° (tan20° + tan10° )+ tan10° tan20° = 3tan(20° + 10° )(1- tan10° tan20° )+ tan10° tan20° = 1- tan10° tan20° + tan10° tan20° = 1.
答案:1

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热点之一

基本公式的应用

应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用变形应用则往往 容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转

化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.

[例1] 求[2sin50° +sin10° (1+ 3tan10° )]· 2sin280° 的值.

[思路探究]

注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式

结构的差异,寻找解题思路,同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.
? ? ? ? 原式=?2sin50° + sin10° ?1+ ? ? ?? 3sin10° ?? = ?· 2sin80° cos10° ? ??

[课堂记录]

? ? cos10° + 3sin10° ? ? + sin10° × ?2sin50° ? · 2sin80° cos10° ? ?

? ? 1 3 ? cos10° + sin10° ? =? 2 2 ? ·2cos10° 2sin50° + 2sin10° × cos10° ? ? ? ? 2sin10° sin40° ? ? =?2sin50° + · 2cos10° cos10° ? ? ? 2sin60° = ·2cos10° = 2 2sin60° = 6. cos10°

即时训练: 求值:tan70° cos10° + 3sin10° tan70° -2cos40° .

解:tan70° cos10° + 3sin10° tan70° - 2cos40° = tan70° (cos10° + 3sin10° )- 2cos40° = 2tan70° sin(30° + 10° )- 2cos40° sin70° = 2( · sin40° - cos40° ) cos70° sin70° sin40° - cos70° cos40° = 2· cos70° - cos?70° + 40° ? - cos110° = 2· = 2· = 2. cos70° cos70°

热点之二

角的变换

(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的 形式.

(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的
关系,然后用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的配角技巧

α α= 2· ; 2 α=(α+ β)- β; α= β-(β- α); 1 α= [(α+ β)+(α- β)]; 2 1 β= [(α+ β)-(α- β)]. 2

π β 1 α 2 [例2] (1)已知0<β< <α<π,且cos(α- )=- ,sin( -β)= ,求cos(α+β) 2 2 9 2 3 的值; 1 1 (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)= ,tanβ=- ,求2α-β的值. 2 7

[思路探究]

α+ β β α (1)α+ β= 2× = 2[α- -( - β)] 2 2 2

(2)2α- β= α+(α- β)=[(α- β)+ β]+(α- β).

π (1)∵ 0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < - β< , <α- <π, 4 2 2 4 2 [课堂记录] α ∴ cos( - β)= 2 β sin(α- )= 2 α 1- sin2? - β?= 2 β 1- cos2?α- ? = 2 2 5 1- ? ?2= , 3 3 1 4 5 1- ?- ?2= . 9 9

? ? α+ β β α ? ∴ cos = cos??α- ?- ? - β?? ? 2 2 2 ? ?

β α β α = cos(α- )cos( - β)+sin(α- )sin( - β) 2 2 2 2 1 5 2 4 5 7 5 =- × + × = . 9 3 3 9 27 α+ β 49×5 239 ∴ cos(α+ β)= 2cos2 - 1= 2× - 1=- . 2 729 729

1 1 - tan?α- β?+ tanβ 2 7 1 (2)∵ tanα= tan[(α- β)+ β]= = = . 1 1 3 1- tan?α- β?tanβ 1+ × 2 7 ∴ tan(2α- β)= tan[α+(α- β)] 1 1 + tanα+ tan?α- β? 3 2 = = = 1. 1 1 1- tanα· tan?α- β? 1- × 3 2 1 1 ∵ α, β∈(0,π), tanα= <1, tanβ=- <0, 3 7 π π ∴ 0<α< , <β<π,∴-π<2α- β<0, 4 2 3π ∴ 2α- β=- . 4

即时训练:

2 π 1 π 已知tan(α-β)= ,tan(β- )= ,则tan(α- )的值是 5 4 4 4

π π 解析:tan(α- )= tan[(α- β)+ (β- )] 4 4 π 2 1 tan?α- β?+ tan?β- ? + 4 5 4 13 = = = . π 2 1 18 1- tan?α- β?tan?β- ? 1- × 4 5 4 13 答案: 18

热点之三

公式的灵活运用

π [例 3] 已知 α、β、γ∈(0, ),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求 β-α 2 的值.

[思路探究]

条件式中含角α、β、γ,而待求式中只有β与α,故可运用消元思

想,先通过sin2γ+cos2γ=1消去γ.

[课堂记录] 由已知,得 sinγ=sinβ-sinα, cosγ= cosα-cosβ. 平方相加得(sinβ- sinα)2+ (cosα- cosβ)2= 1. ∴- 2cos(β- α)=- 1, 1 π ∴ cos(β- α)= .∴ β- α=± . 2 3 π ∵ sinγ= sinβ- sinα>0,∴ β>α,∴ β-α= . 3

π [思维拓展] 本题极易因不注意隐含条件 sinγ>0 而错得 β- α=± .因此三角 3 求值问题要注意分析隐含条件.

π 即时训练: 若sinα+cosα=tanα(0<α< ),则α∈( 2 π π π A.(0, ) B.( , ) 6 6 4 π π C.( , ) 4 3 π π D.( , ) 3 2

)

π 解析:设 y=sinα+ cosα(0<α< ) 2 π ∴ y=sinα+ cosα= 2sin(α+ ),∴ y∈(1, 2] 4 π π ∴ tanα∈ (1, 2],∴α∈ ( , ),故选 C. 4 3
答案:C

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直 指 考 向
高考对本节的考查,主要集中在对公式的变换能力上,以选择题、填空题、解 答题的形式出现,重点考查对公式进行逆用、变形用和配凑用的能力.

经 典 考 题
π π 1 1 [例4] (2010· 湖北卷)已知函数f(x)=cos( +x)cos( -x),g(x)= sin2x- . 3 3 2 4 (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
π π 1 3 1 3 [解] (1)f(x)= cos( + x)cos( - x)=( cosx- sinx)( cosx+ sinx) 3 3 2 2 2 2 1 3 1+ cos2x 3- 3cos2x = cos2x- sin2x= - 4 4 8 8 1 1 = cos2x- , 2 4 2π f(x)的最小正周期为 =π. 2 1 1 2 π (2)h(x)= f(x)-g(x)= cos2x- sin2x= cos(2x+ ), 2 2 2 4 π 2 当 2x+ = 2kπ(k∈ Z)时,h(x)取得最大值 . 4 2 π h(x)取得最大值时,对应的x的集合为{x|x=kπ- , k∈ Z}. 8

自 主 体 验
1.(2010· 福建卷)计算sin43° cos13° -cos43° sin13° 的结果等于( 1 A. 2 C. 2 2 B. D. 3 3 3 2 )

解析:∵sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=1/2.∴ 选A. 答案:A

为方便教学使用,本部分单独装订 成活页装,请做课时作业(20)

第六节 简单的三角恒等变换

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、

和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.半角公式

α α α (1)用cosα表示sin2 ,cos2 ,tan2 . 2 2 2 1-cosα 1+cosα 2α 2α sin =_______________ ;cos =_______________ ; 2 2 2 2 1-cosα α 1+cosα tan2 =_______________. 2 α α α (2)用cosα表示sin ,cos ,tan . 2 2 2 1-cosα 1+cosα α α ± ± sin =_______________ ;cos =_______________ ; 2 2 2 2 1-cosα α ± tan =_______________ 1+cosα ; 2 α (3)用sinα,cosα表示tan . 2 α sinα 1-cosα tan = = . 2 1+cosα sinα

2.形如asinx+bcosx的化简

a2+b2 asinx+bcosx=_______________sin( x+φ).
在asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)中如何确定角φ?

课 前 自 测
α 1.已知π<α<2π,则cos 等于( 2 A.- C.- 1-cosα 2 1+cosα 2 B. D. ) 1-cosα 2 1+cosα 2

π α α 解析:∵π<α<2π,∴ < <π, cos <0. 2 2 2 α α 又∵cosα= 2cos2 - 1,∴ cos =- 2 2
答案:C

1+ cosα . 2

π 5 2.已知sin(x+ )=- ,则sin2x的值等于( 4 13 120 119 A. B. 169 169 120 119 C.- D.- 169 169

)

π 5 5 解析:因为sin(x+ )=- ,所以sinx+cosx=- 2,则(sinx+ cosx)2= 1 4 13 13 50 119 + sin2x= ,所以sin2x=- . 169 169
答案:D

3.化简 2+cos2-sin21的结果是( A.-cos1 C. 3cos1 B.cos1 D.- 3cos1

)

解析: 2+cos2-sin21= 1-sin21+1+cos2 = cos21+2cos21= 3cos1.
答案:C

4.函数f(x)=2sinx-2cosx的值域是________.

π 解析:f(x)= 2 2sin(x- ). 4 π 又- 1≤sin(x- )≤1,∴- 2 2≤f(x)≤2 2. 4 答案:[-2 2,2 2]

1+tanα 1 5.若 =2009,则 +tan2α=________. cos2α 1-tanα

1 1+ sin2α ?cosα+sinα?2 解析: + tan2α= = cos2α cos2α cos2α- sin2α cosα+ sinα 1+ tanα = = = 2009. cosα- sinα 1- tanα
答案:2009

热点分类讲练
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热点之一 1.化简的思路

三角函数式的化简

对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分

子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以
用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 2.化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂等.

α 2sin2 -1 2 π [例1] (1)f(α)=2tanα- ,求f( ); α α 12 sin cos 2 2 (2)已知tan2θ=-2 2,π<2θ<2π, θ 2cos2 -sinθ-1 2 求 的值. π 2sin?θ+ ? 4

[思路探究]

要先化简再求值,将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已

知式子的形式,运用整体代入的方法求值.

[课堂记录]

- cosα 2sinα 2cosα 4 (1)f(α)= 2tanα- = + = , 1 cosα sinα sin2α sinα 2

π 4 ∴ f( )= = 8. 12 π sin 6 cosθ- sinθ 1- tanθ (2)原式= = , sinθ+ cosθ 1+ tanθ 2tanθ 又 tan2θ= =-2 2. 1- tan2θ 1 解得 tanθ=- 或 tanθ= 2. 2 π ∵π<2θ<2π,∴ <θ<π. 2 1 1+ 1 2 ∴ tanθ=- ,故原式= = 3+ 2 2. 1 2 1- 2

即时训练: 化简
? θ θ? ? ?1+sinθ+cosθ??sin -cos ? 2 2? ? ?

2+2cosθ

(0<θ<π).

解:原式=

? ?? θ θ θ θ? ? 2θ?? ? ?2sin2cos2+ 2cos 2?? sin2- cos2? ? ?? ?

θ 4cos2 2

? θ? θ ? 2θ 2θ? cos ?sin - cos ? - cos · cosθ 2? 2 2? 2 = = ? , ? ? ? θ θ ? ? ? ? ?cos2 ? ?cos2? ? ? ? ? θ π θ ∵ 0<θ<π,∴ 0< < , cos >0,∴原式=- cosθ. 2 2 2

热点之二

三角函数式的求值

已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: (1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

π 2 π 3π [例2] (2009· 天津卷)已知cos(x- )= ,x∈( , ). 4 10 2 4 (1)求sinx的值; π (2)求sin(2x+ )的值. 3

π 3π (1)解法一:因为 x∈( , ), 2 4 π π π 所以x- ∈( , ),于是 4 4 2 [课堂记录] π sin(x- )= 4 π 7 2 1- cos2?x- ?= . 4 10 π π π π π π sinx= sin[(x- )+ ]= sin(x- )cos +cos(x- )sin 4 4 4 4 4 4 = 7 2 2 2 2 4 × + × = . 10 2 10 2 5 2 2 2 cosx+ sinx= , 2 2 10

解法二:由题设得

1 即 cosx+sinx= .又 sin2x+ cos2x= 1, 5 从而 25sin2x- 5sinx- 12= 0, 4 3 解得sinx= 或sinx=- . 5 5 π 3π 4 因为x∈ ( , ),所以sinx= . 2 4 5

π 3π (2)因为 x∈( , ), 2 4 故 cosx=- 1- sin2x, 4 3 1- ? ?2=- . 5 5 24 sin2x= 2sinxcosx=- , 25 7 cos2x= 2cos2x- 1=- . 25 π π π 所以sin(2x+ )= sin2xcos + cos2xsin 3 3 3 =- 24+ 7 3 =- . 50

1 13 π 即时训练: 已知cosα= ,cos(α-β)= ,且0<β<α< . 7 14 2 (1)求tan2α的值; (2)求β.

1 π 解:(1)由 cosα= , 0<α< , 7 2 得 sinα= 1- cos α=
2

?1? ?2 4 3 1-? ?7? = 7 . ? ?

sinα 4 3 7 ∴ tanα= = × = 4 3. cosα 7 1 2tanα 2×4 3 8 3 于是 tan2α= =- . 2 = 47 1- tan α 1- ?4 3?2 π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α- β< . 2 2 13 又∵cos(α- β)= , 14 ∴ sin(α- β)= 1- cos ?α- β?=
2

?13 ? ?2 3 3 1-? ?14 ? = 14 . ? ?

由 β= α-(α- β),得 cosβ= cos[α- (α- β)]=cosαcos(α- β)+sinαsin(α- β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π 所以 β= . 3

热点之三 1.证明三角恒等式的方法

三角函数式的证明

观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异),从解决某一差异入手(同时消除

其他差异),确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简),当从解决差异方面不易
入手时,可采用转换命题法或用分析法等. 2.证明三角条件等式的方法 首先观察条件与结论的差异,从解决这一差异入手,确定从结论开始,通过变 换,将已知表达式代入得出结论,或通过变换已知条件得出结论,如果这两种方法 都证不出来,可采用分析法;如果已知条件含参数,可采用消去参数法;如果已知 条件是连比的式子,可采用换元法等.

[例3] 已知tan(α+β)=2tanβ,求证:3sinα=sin(α+2β). [课堂记录] 证明:由已知tan(α+β)=2tanβ可得=

sin?α+ β? 2sinβ = cos?α+ β? cosβ

∴sin(α+β)·cosβ=2cos(α+β)·sinβ 而sin(α+2β)=sin[(α+β)+β] =sin(α+β)·cosβ+cos(α+β)·sinβ =2cos(α+β)·sinβ+cos(α+β)·sinβ

=3cos(α+β)·sinβ.
又sinα=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ =2cos(α+β)·sinβ-cos(α+β)·sinβ =cos(α+β)·sinβ. 故sin(α+2β)=3sinα.

[思维拓展]

三角式的化简或证明,主要从三方面寻求思路:一是观察函数特

点,已知和所求中包含什么函数,它们可以怎样联系;二是观察角的特点,它们之 间可经过何种形式联系起来;三是观察结构特点,它们之间经过怎样的变形可达到 统一.

α γ 1 即时训练: 设α、β、γ是锐角,且tan =tan3 ,tanβ= tanγ,求证:α、β、 2 2 2 γ成等差数列.
? γ? γ ? 2γ ? 3γ tan ?1+ tan ? tan + tan 2? 2? 1 2 2 解:tanβ= tanγ= =? = ?? ? 2 γ γ 3γ 2γ ?? 2γ ? 1- tan2 ? 1 - tan · tan 1- tan ??1+ tan ? 2 ? 2 2 2?? 2? ? γ α tan + tan 2 2 α+ γ = = tan . α γ 2 1- tan · tan 2 2 π π ∵ 0<α< , 0<γ< . 2 2 α γ π π ∴ 0< + < ,而 0<β< . 2 2 2 2

γ tan 2

α+ γ ∴ β= .即 α、 β、γ成等差数列. 2

高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能

直 指 考 向
高考对三角恒等变换的考查一般与三角函数的图象与性质相结合,有时也会在 三角形中综合考查三角恒等变换,考查学生运算求解能力.

经 典 考 题
[例4] (2009· 广东卷)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其 π 中θ∈(0, ). 2 (1)求sinθ和cosθ的值; π (2)若5cos(θ-φ)=3 5cosφ,0<φ< ,求cosφ的值. 2

[解] (1)∵a⊥b,∴a· b=sinθ- 2cosθ= 0, 即 sinθ= 2cosθ. 又∵sin2θ+ cos2θ= 1, 1 4 ∴ 4cos2θ+ cos2θ= 1,即 cos2θ= ,∴sin2θ= . 5 5 π 2 5 5 又∵θ∈ (0, ),∴sinθ= , cosθ= . 2 5 5 (2)∵ 5cos(θ- φ)= 5(cosθcosφ+sinθsinφ) = 5cosφ+ 2 5sinφ= 3 5cosφ, ∴ cosφ= sinφ, 1 ∴ cos2φ=sin2φ= 1- cos2φ,即cos2φ= . 2 π 2 又∵ 0<φ< ,∴cosφ= . 2 2

自 主 体 验
π 1.(2010· 上海卷)已知0<x< , 2
? ? ? ? 2x ? 化简:lg?cosx· tanx+1-2sin ?+lg? ? 2? ? ? ? ? π? ? ?? 2cos?x- ? ?-lg(1+sin2x). 4? ? ?

? ? ? 2x ? 解:lg?cosx· tanx+ 1- 2sin ?+ lg(sinx+ cosx)- lg(sinx+ cosx)2= lg(sinx+ 2? ?

cosx)2- lg(sinx+cosx)2= 0.

2.(2010· 湖南卷)已知函数f(x)= 3sin2x-2sin2x. (1)求函数f(x)的最大值; (2)求函数f(x)的零点的集合.

解:(1)∵ f(x)=

? π? ? 3sin2x- (1- cos2x)= 2sin?2x+ ? - 1, 6? ? ?

π π ∴当 2x+ = 2kπ+ , 6 2 π 即 x=kπ+ (k∈ Z)时,函数 f(x)取最大值 1. 6

π 1 (2)解法一:由(1)及 f(x)= 0得 sin(2x+ )= , 6 2 π π π 5π ∴ 2x+ = 2kπ+ 或 2x+ = 2kπ+ , 6 6 6 6 π 即 x=kπ或 x=kπ+ . 3 ∴函数f(x)的零点的集合为 π {x|x= kπ或x= kπ+ , k∈ Z}. 3 解法二:由 f(x)= 0得 2 3sinxcosx= 2sin2x, 于是sinx= 0,或 3cosx= sinx,即tanx= 3. π 由 sinx= 0可知 x=kπ;由tanx= 3可知,x=kπ+ . 3 ∴函数f(x)的零点的集合为 π {x|x= kπ或x= kπ+ , k∈ Z}. 3

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第七节 正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度 量问题

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.正弦定理、余弦定理 设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,R是△ABC的外接圆半 径.

a b c = = =2R (1)正弦定理:______________________________. sinA sinB sinC
(2)正弦定理的变式 2RsinA ,b= __________ 2RsinC . ①a= __________ 2RsinB ,c= __________ b c a ②sinA=__________ ,sinB=__________ ,sinC=__________. 2R 2R 2R ③a:b:c= ____________________. sinA:sinB:sinC (3)余弦定理 ①a2= _______ ____________ _, b2+c2- 2bc· cosA ②b2= _______ ____________ _, c2+a2- 2ca· cosB ③c2= _______ ____________ a2+b2- 2ab· cosC _

(4)余弦定理的变式

b2+c2-a2 cosA=____________________ ; 2bc c2+a2-b2 cosB=____________________ ; 2ca a2+b2-c2 cosC=____________________. 2ab

2.解斜三角形的类型 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求得其他边、角; (3)已知三边,求三个角; (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

A为锐角

A为钝角 或直角

图形

关系式 解的个数

a=bsinA
一解 __________

bsinA<a<b
两解 __________

a≥b
一解 __________

a>b
一解 __________

课 前 自 测
1.在△ABC中,a=8,B=60° ,C=75° ,则b的值为( A.4 2 C.4 6 B.4 3 32 D. 3 )

3 8× asinB 2 解析:由已知得 A= 45° ,则b= = = 4 6.故选 C. sinA 2 2
答案:C

2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c= 2,b= 6 ,B= 120° ,则a等于( A. 6 C. 3 ) B.2 D. 2

b c 解析:由正弦定理,得 = , sinB sinC c· sinB 2sin120° 1 ∴ sinC= = = . b 2 6 ∵ c<b,∴∠C为锐角.∴ C= 30° . ∴ A= 180° - 120° - 30° = 30° .∴ a=c= 2.
答案:D

3.在△ABC中,AB=3,BC= 13,AC=4,则边AC上的高为( 3 3 A. 2 B. 3 2 2 3 C. D.3 3 2

)

AC2+ AB2- BC2 42+ 32-? 13?2 1 解析:由余弦定理可得: cosA= = = .∴ sinA 2AC· AB 2 2×3×4 = 3 3 3 ,则 AC边上的高h= AB· sinA= 3× = 3 ,故选 B项. 2 2 2
答案:B

4.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若( 3 b-c)cosA= acosC,则cosA=________.

解析:由( 3b- c)cosA=acosC, b2+ c2- a2 a2+ b2- c2 得( 3b- c)· =a· , 2bc 2ab b2+ c2- a2 3 即 = , 2bc 3 由余弦定理,得cosA= 3 答案: 3 3 . 3

5.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A=60° ,b=1, 三角形ABC的面积为 3 ,则a的值为________.

1 1 解析:由面积公式S= bc· sinA,即 ×1· c· sin60° = 3 ,得 c= 4,再由余弦定 2 2 理得a= b2+ c2- 2bccosA= 答案: 13 1 1+ 16- 2×4×1× = 13. 2

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热点之一

利用正、余弦定理解三角形

1.已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、一解、无解三种情况,应 根据已知条件判断解的情况,主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断.

2.应熟练掌握余弦定理及其推论.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用
余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷. 3.三角形中常见的结论 (1)A+B+C=π. (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

[例1] 在△ABC中, (1)若b= 2 ,c=1,B=45° ,求a及C的值; (2)若A=60° ,a=7,b=5,求边c.

[思路探究] 弦定理求解.

(1)可直接使用正弦定理求解,注意解的个数的判断,也可利用余

(2)题目条件是已知两边及一边的对角,这种情况一般用正弦定理解,但本题不 求B,并且求出sinB后发现B非特殊角,故用正弦定理不是最佳选择,而应直接用余 弦定理列出关于c的方程求解.

[课堂记录] 1 所以sinC= . 2

2 1 (1)解法一:由正弦定理得 = , sin45° sinC

因为c<b,所以C<B,故 C一定是锐角, 1 a 所以C= 30° ,所以 A= 105° ,所以 = , sin30° sin105° 所以a= 2sin105° = 6+ 2 . 2 6+ 2 ,解 2

解法二:根据b2=a2+ c2- 2accosB得 2=a2+ 1- 2a,解得a= 角 C方法同上. (2)因为a2=b2+ c2- 2bccosA, 所以 49= 25+ c2- 10ccos60° ,解得c= 8.

即时训练: 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.

解:由已知得a>c>b,∴ A为最大角. b2+ c2- a2 32+ 52- 72 1 由余弦定理得cosA= = =- , 2bc 2 2×3×5 又∵ 0° <A<180° ,∴ A= 120° , ∴ sinA=sin120° = 3 . 2

a c 方法 1:由正弦定理得 = , sinA sinC 3 5× csinA 2 5 3 ∴ sinC= = = , a 7 14 因此最大角 A为 120° , sinC= 5 3 . 14

a2+ b2- c2 72+ 32- 52 11 方法 2:cosC= = = . 2ab 14 2×7×3 ∵ C为三角形的内角,∴C为锐角. sinC= 1- cos2C= 11 5 3 1- ? ?2= . 14 14

5 3 所以最大角为120° , sinC= . 14

热点之二

利用正、余弦定理判断三角形形状

依据已知条件中的边角关系判断时,主要有如下两种方法: 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得

出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系,通过三角函 数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+ C=π这个结论.

[例2] 在△ABC中,已知acosA=bcosB,则△ABC为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

)

[课堂记录]

解法一:由acosA=bcosB得

cosA b = . cosB a

b sinB cosA sinB 由正弦定理得 = ,所以 = , a sinA cosB sinA 即 sinAcosA= sinBcosB,故sin2A= sin2B. 因为角 A、B为三角形的内角, 所以 2A= 2B,或 2A=π- 2B, π 所以 A= B或 A+ B= , 2 即△ ABC为等腰三角形或直角三角形,所以选C. b2+ c2- a2 a2+ c2- b2 解法二:将cosA= , cosB= 代入已知条件,得 2bc 2ac b2+ c2- a2 a2+ c2- b2 a· =b · .去分母,得a2(b2+ c2- a2)=b2(a2+ c2-b2).整理得(a2 2bc 2ac -b2)(a2+b2- c2)= 0,所以a2=b2或a2+ b2- c2= 0,即a=b或a2+b2=c2,所以△ ABC为等腰三角形或直角三角形,故选C.

sinA+sinB 即时训练: 已知△ABC中,sinC= ,试判断△ABC的形状. cosA+cosB
sinA+ sinB 解法一:原等式变形为cosA+ cosB= ,由正、余弦定理代入条件 sinC b2+ c2- a2 a2+ c2- b2 a+b 等式得 + = ,去分母、化简得a2+ b2= c2,所以△ABC 2bc 2ac c 是直角三角形. 1 解法二:原等式变形为sinC· cosA+ sinC· cosB= sinA+ sinB, [sin(C+ A)+ 2 1 sin(C- A)]+ [sin(C+B)+sin(C-B)]= sinA+ sinB,又 A+ B+ C=π,故 sin(C- A) 2 C C- 2A C C- 2B C + sin(C-B)-sinA-sinB= 0,2cos sin + 2cos sin = 0,得 cos sin(C 2 2 2 2 2 C - A- B)cos(B- A)= 0,而 cos ≠0, cos(B- A)≠0,得 sin(C- A- B)= 0, C- A 2 π - B= 0,从而A+ B= ,△ ABC是直角三角形. 2

热点之三

三角形面积公式的应用

1.三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求,或三角形的哪个角 的正弦值可求.

1 1 1 2.在解决三角形问题中,面积公式S= absinC= bcsinA= acsinB最常用, 2 2 2 因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

[例3] 已知△ABC中,cosA= (1)求tan2A;

6 ,a,b,c分别是角A、B、C的对边. 3

π 2 2 (2)若sin( +B)= ,c=2 2 ,求△ABC的面积. 2 3

[思路探究]

(1) 由 cosA → 求 sinA → 求 tanA → 求 tan2A

1 (2) 由已知求得sinB和a → 代入S= acsinB可得 2

[课堂记录] ∴ sinA=

(1)∵cosA=

6 , A∈ (0,π), 3

3 2 ,∴tanA= , 3 2 2tanA ∴ tan2A= = 2 2. 1- tan2A π 2 2 2 2 (2)由 sin( + B)= ,得cosB= . 2 3 3 1 又 B∈(0,π),∴sinB= , 3 ∴ sinC= sin(A+ B)=sinAcosB+ cosAsinB= c· sinA 由正弦定理得a= = 2. sinC 1 2 2 ∴△ ABC的面积S= acsinB= . 2 3 6 . 3

即时训练: 在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,且满足(2a- c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小; (2)若b= 7 ,a+c=4,求△ABC的面积.

解:(1)由正弦定理得 a= 2RsinA, b= 2RsinB,c= 2RsinC, 代入(2a-c)cosB=bcosC, 整理,得2sinAcosB= sinBcosC+sinCcosB, 即 2sinAcosB= sin(B+ C)= sinA. 又 sinA>0,∴ 2cosB= 1, π 由 B∈(0,π),得B= . 3 (2)由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2ac· cosB =(a+c)2- 2ac- 2accosB. π 将b= 7,a+c= 4, B= 代入整理,得ac= 3. 3 ∴△ ABC的面积为 1 3 3 3 S= acsinB= sin60° = . 2 2 4

热点之四

正、余弦定理的综合应用

正弦定理和余弦定理往往和同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与 差的三角函数等相联系,成为高考所考查的重要内容.

[例4] 在△ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对的分别为a、b、c,且 3 10 cos2A= ,sinB= . 5 10 (1)求A+B的值; (2)若a-b= 2 -1,求a、b、c的值.

[思路探究]

本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、

二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力.

[课堂记录]

10 (1)∵ A、 B为锐角,sinB= , 10

3 10 . 10 3 又 cos2A= 1- 2sin2A= , 5 ∴ cosB= 1- sin2B= ∴ sinA= 5 2 5 ,cosA= 1- sin2A= . 5 5

∴ cos(A+ B)= cosAcosB- sinAsinB 2 5 3 10 5 10 2 × - × = . 5 10 5 10 2 π ∵ 0<A+ B<π,∴ A+ B= , 4 =

3π 2 (2)由 (1)知C= ,∴sinC= . 4 2 a b c 由正弦定理 = = 得 5a= 10b= 2c, sinA sinB sinC 即a= 2b, c= 5 b. ∵a-b= 2- 1,∴ 2b-b= 2- 1,∴b= 1. ∴a= 2,c= 5.

[思维拓展]

(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合

理运用,有时还需要交替使用. (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理.

A 即时训练: 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos 2 2 5 → → = ,AB · AC=3. 5 (1)求△ABC的面积; (2)若b+c=6,求a的值.
A 2 5 解:(1)因为cos = , 2 5 A 3 4 所以cosA= 2cos2 - 1= ,sinA= . 2 5 5 →· → = 3,得bccosA= 3,所以bc= 5. 又由AB AC 1 因此S△ ABC= bcsinA= 2. 2 (2)由 (1)知,bc= 5.又b+ c= 6, 所以b= 5,c= 1或b= 1, c= 5. 由余弦定理,得a2=b2+ c2- 2bccosA= 20, 所以a= 2 5.

高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能

直 指 考 向
分析近几年的高考试题,有关三角形求解问题是必考内容,分值大约为4分~ 17分.试题主要包括以下两个方面:(1)直接考查正弦定理、余弦定理及三角形的面 积公式,这类题目常以选择题和填空题的形式出现,难度不大.(2)以正、余弦定理 为框架,以三角形为载体,综合考查三角问题,一般以解答题的形式出现,属于中 档题.

经 典 考 题
[例5] (2010· 安徽卷)设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C π π 所对边长,并且sin2A=sin( +B)sin( -B)+sin2B. 3 3 (1)求角A的值; →· → =12,a=2 7,求b,c(其中b<c). (2)若AB AC

[解] (1)因为sin2A=( 3 sin2B+ sin2B= , 4 3 所以sinA= ± . 2

3 1 3 1 3 1 cosB+ sinB)( cosB- sinB)+sin2B= cos2B- 2 2 2 2 4 4

π 又 A为锐角,所以A= . 3

→· → = 12,可得cbcosA= 12.① (2)由AB AC π 由(1)知 A= ,所以cb= 24.② 3 由余弦定理知a2=c2+b2- 2cbcosA, 将a= 2 7 及①代入,得c2+ b2= 52,③ 由③+②×2,得(c+b)2= 100, 所以c+b= 10. 因此c,b是一元二次方程t2- 10t+ 24= 0的两个根. 解此方程并由c>b知 c= 6,b= 4.

自 主 体 验
1.(2010· 山东卷)在△ABC中,角A,B,C所对的分别为a,b,c.若a= 2, b=2,sinB+cosB= 2,则角A的大小为________.

π 解析:∵ sinB+ cosB= 2,∴ sin(B+ )= 1. 4 π 又 0<B<π,∴B= . 4 2 2 1 由正弦定理,知 = ,∴ sinA= . sinA sinB 2 π 又a<b,∴ A<B,∴ A= . 6 π 答案: 6

2.(2010· 课标全国)在△ABC中,D为边BC上 1 一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 2 的面积为3- 3,则∠BAC=________.

1 3 解析:S△ ADC= ×2×DC× = 3- 3 , 2 2 解得DC= 2( 3- 1), ∴ BD= 3- 1,BC= 3( 3- 1). 在△ ABD中, AB2= 4+( 3 - 1)2- 2×2×( 3- 1)×cos120° = 6,∴ AB= 6. 在△ ACD中, AC2= 4+ [2( 3- 1)]2- 2×2×2( 3 - 1)×cos60° = 24- 12 3, ∴ AC= 6( 3- 1), AB2+ AC2- BC2 则 cos∠BAC= 2AB· AC = 6+ 24- 12 3- 9?4- 2 3? 1 = , 2 2× 6× 6×? 3- 1?
答案:60°

∴∠BAC= 60° .

为方便教学使用,本部分单独装订 成活页装,请做课时作业(22)

第八节 正弦定理和余弦定理 应用举例

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.

基础自主梳理
梳理基础知识 检测自身能力

知 识 梳 理
1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 __________ 的角叫仰角,在水平线 上方

__________ 的角叫俯角(如下图①). 下方

2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如上图②).

3.方向角 相对于某一正方向的水平角,(如右图) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目 标方向. (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目 标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.

4.坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数(如右图,角θ为 坡角). 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如右图,i

为坡比).

课 前 自 测
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是( A.α>β C.α+β=90° B.α=β D.α+β=180° )

解析:根据仰角与俯角的含义,画图即可得知. 答案:B

2.如右图所示,为了测量某障碍物两侧A、B间的距 离,给定下列四组数据,不能确定A、B间距离的是( A.α,a,b )

B.α,β,a
C.a,b,γ D.α,β,b

解析:选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定 理确定AB.选项D同B类似. 答案:A

3.在200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°, 则塔高为________ m.

解析:如右图所示,设塔高为h m. 由题意及图可知: 200 (200- h)· tan60° = , tan60° 400 解得:h= m. 3 400 答案: 3

4.如右图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、 B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮 船,甲船位于灯塔A的北偏西75° ,与A相距3 2 海里的 D处;乙船位于灯塔B的北偏西60° 方向,与B相距5海里 的C处.则两艘轮船之间的距离为__________海里.

解析:连结 AC,则 AC= 5,在△ACD中, AD= 3 2, AC= 5,∠DAC= 45° ,由余弦定理得 CD= 13. 答案: 13

5.某观察站C在A城的南偏西20°方向,由A城出发有一条公路,走向是南偏 东40°,距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到 达D处,此时CD距离为21千米,则此人还需走________千米才能到达A城.

解析:如右图所示,设AD= x, AC= y.∵∠BAC = 20° + 40° = 60° , ∴在△ACD中,有x2+ y2- 2xycos60° = 212,即 x2+ y2- xy= 441①. 而在△ABC中, (x+ 20)2+ y2- 2(x+ 20)ycos60° = 312,即 x2+ y2- xy+ 40x- 20y= 561②. ②- ①得 y= 2x- 6,代入①得 x2- 6x- 135= 0, 解得 x= 15(千米),即此人还需走 15千米才能到达A 城.
答案:15

热点分类讲练
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热点之一

测量距离问题

有关距离测量问题,主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的 距离问题,如海上、空中两地测量,隔着某一障碍物两地测量等.由于该问题不能

采取实地测量,解决它的方法是建立数学模型,即构造三角形,转化为解三角形问
题.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三 角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选 择定理,使解题过程简捷.

[例1] 如右图,南山上原有一条笔直的山路BC,现 在又新架了一条索道AC,小李在山脚B处看索道,发现张 角∠ABC=120°,从B处攀登400米到达D处,回头看索 道,发现张角∠ADC=160°,从D处再攀登800米到达C 处,问索道AC长多少?(精确到米,使用计算器计算)

[思路探究] → 求 AC

△ADB中用正弦定理 → 求 AD → △ADC中用余弦定理

[课堂记录] 在△ABD中, BD= 400米,∠ABD= 120° . ∵∠ADC= 160° ,∴∠ADB= 20° , ∴∠DAB= 40° . BD AD 400 AD ∵ = ,∴ = , sin40° sin120° sin∠DAB sin∠ABD ∴AD≈538.9. 在△ADC中, DC= 800, ∠ADC= 160° , ∴AC2= AD2+ DC2- 2AD· DC· cos∠ADC = 538.92+ 8002- 2×538.9×800· cos160° ≈1740653.8, ∴AC≈1319.∴索道 AC长约 1319米.
[思维拓展] 不理解所致. 解答过程中抓不住AD的桥梁作用导致无法求解,其原因是对题意

即时训练: 要测量河对岸A、B两点之间的 距离,选取相距 3km的C、D两点,并且测得 ∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° , ∠ADB=45° ,则A、 B之间的距离为________.

解析:△ACD中, ∠ACD= 120° , ∠CAD= ∠ADC= 30° , ∴AC= CD= 3 km 在△BCD中, ∠BCD= 45° ,∠BDC= 75° , ∠CBD= 60° , ∴BC= 3sin75° 6+ 2 = sin60° 2

在△ABC中,由余弦定理得 AB2= AC2+ BC2- 2AC· BC· cos∠ACB =( 3)2+( 6+ 2 2 6+ 2 ) - 2· 3· cos75° =5 2 2

∴AB= 5km 答: A、 B之间的距离为 5km. 答案: 5 km

热点之二

测量高度问题

测量高度问题一般是利用地面上的观测点,通过测量仰角、俯角等数据计算物 体的高度,这类问题一般用到立体几何知识,先把立体几何问题转化为平面几何问

题,再通过解三角形加以解决.

[例2] 如下图1所示,在一个奥运场馆建设现场,现准备把一个半径为 m的球 形工件吊起平放到高为6 m的平台上,工地上有一个吊臂DF长为12 m的吊车,吊车 底座FG高1.5 m.当物件与吊臂接触后,钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调 节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度,并判断能否将该 球形工件吊到平台上?

[思路探究]

本题中吊车能把球形工件吊起的高度y取决于吊臂的张角θ,即

∠DFA,因此用θ来表示图中各边之长,再由导数法求其最值.

[课堂记录] 设物件能被吊车吊起的高度为y,由上图2可知, y= AB+ 1.5 = AD-OD-OB+ 1.5 3 3 = DFsinθ- - 3+ 1.5= 12sinθ- - 3 + 1.5, cosθ cosθ 所以 y′= 12cosθ- 得 12cosθ= 3sinθ ,由 y′= 0, cos2θ

3sinθ 2 2 , 4 3 =tan θ(1+ tan θ), cos θ

所以tanθ= 3,θ= 60° . 当 0°<θ<60°时, y′>0, y单调递增,同理,当60°<θ<90°时, y′<0,y单调 递减,所以当θ= 60° 时, y取得最大值. 3 ymax= 12sinθ- - 3+ 1.5= 3 3+ 1.5≈6.7(m), cosθ 所以吊车能把球形工件吊起平放到高度小于等于 6.7 m的平台上.

即时训练: 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向 前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰 角为30°,求塔高.

解:在 △BCD中, CD= 40, ∠BCD= 30° ,∠DBC= CD BD 135° ,由正弦定理,得 = , sin∠DBC sin∠BCD ∴BD= 40sin30° = 20 2. sin135°

在 Rt△BED中, ∠BDE= 180° - 135° - 30° = 15° . ∴BE= DBsin15° = 20 2× 6- 2 = 10( 3- 1). 4

在 Rt△ABE中, ∠AEB= 30° , 10 ∴AB= BEtan30° = (3- 3)(米). 3 10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3

热点之三

测量角度问题

首先应明确方位角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根 据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转

化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的
优点.

[例3] 在海岸A处发现北偏东45° 方向,距A处 ( 3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75° 方向,距A处2海里的C处的我方缉私船,奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正 以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30° 方向逃 窜.问:缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走 私船?并求出所需时间.
[思路探究] 根据题意和图形及方位角等概念,确定所求的角在哪个三角形中,

该三角形中已知哪些量,需要哪些量.

[课堂记录] 设缉私船应沿CD方向行驶 t小时,才能最快截获(在D点 )走私 船,则CD= 10 3t海里, BD= 10t海里.在△ABC中,由余弦定理,得 BC2= AB2+ AC2- 2AB· AC· cosA= ( 3- 1)2+ 22- 2( 3 - 1)· 2· cos120° = 6, ∴BC= 6海里.

BC AC 又∵ = , sinA sin∠ABC ∴sin∠ABC= AC· sinA 2· sin120° 2 = = , BC 2 6

∴∠ABC= 45° , ∴B点在C点的正东方向上, ∴∠CBD= 90° + 30° = 120° . 在△BCD中,由正弦定理,得 BD CD = , sin∠BCD sin∠CBD ∴sin∠BCD= BD· sin∠CBD 10t· sin120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD= 30° , ∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶. 又在△BCD中, ∠CBD= 120° ,∠BCD= 30° , ∴∠D= 30° , ∴BD= BC,即 10t= 6. ∴t= 6 小时≈15分钟. 10

∴缉私船应沿北偏东60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15分 钟.

即时训练: (2010·合肥质检一)如右图,一船在海 上由西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东α 角,前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角, 已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续 东行.当α与β满足条件________时,该船没有触礁危 险.

BM m 解析:由题可知,在△ABM中,根据正弦定理得 = , sin?90° - α? sin?α-β? mcosα mcosαcosβ 解得 BM= ,要使船没有触礁危险需要BMsin(90° - β)= >n, sin?α-β? sin?α-β? 所以α与β的关系满足mcosαcosβ>nsin(α- β)时船没有触礁危险.
答案:mcosαcosβ>nsin(α-β)

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直 指 考 向
在高考试题中,解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就 考查了这一点.该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤,这是一大 难点.同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程,能发挥数学的价值, 这最能体现新课标的意图,还能有效考查考生的能力,代表了一种新的考查方向.

经 典 考 题
[例4] (2009·海南、宁夏卷)为了测量两山顶M、N间 的距离,飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、 M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数 据有俯角和A、B间的距离.设计一个方案,包括:①指出 需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字 和公式写出计算M、N间的距离的步骤.

[解] 方案一:①需要测量的数据有:A点到 M、 N点的俯角α1、β1;B点到 M、 N的俯角α2、 β2; A、 B间的距离d(如右图所示). ②第一步:计算AM.由正弦定理得 dsinα2 AM= ; sin?α1+ α2? 第二步:计算AN.由正弦定理得 AN= dsinβ2 ; sin?β2-β1?

第三步:计算 MN.由余弦定理得 MN= AM2+ AN2- 2AM×ANcos?α1- β1?.

方案二:①需要测量的数据有: A点到 M、 N点的俯角α1、β1; B点到 M、 N点的俯角α2、 β2; A、 B的距离 d(如图所示). ②第一步:计算 BM. dsinα1 由正弦定理得 BM= ; sin?α1+ α2? 第二步:计算 BN. dsinβ1 由正弦定理得 BN= ; sin?β2-β1? 第三步,计算 MN. 由余弦定理得 MN= BM2+ BN2+ 2BM× BNcos?β2+ α2?.

自 主 体 验
1.(2010· 陕西卷)如下图,A,B是海面上位于 东西方向相距5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45° ,B点北偏西60° 的D点有一艘轮船发出 求救信号,位于B点南偏西60° 且与B点相距20 3 海 里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30 海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
解:由题意知AB= 5(3+ 3)(海里), ∠DBA= 90° - 60° = 30° ,∠DAB= 90° - 45° = 45° , ∴∠ADB= 180° - (45° + 30° )= 105° , DB AB 在△DAB中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB ∴DB= AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° = sin105° sin∠ADB

5?3+ 3?· sin45° 5 3? 3+ 1? = = = 10 3(海里), sin45° cos60° + cos45° sin60° 3+ 1 2

又∠DBC= ∠DBA+ ∠ABC= 30° + (90° - 60° )= 60° , BC= 20 3(海里), 在△DBC中,由余弦定理得 CD2= BD2+ BC2- 2BD· BC· cos∠DBC 1 = 300+ 1200- 2×10 3 ×20 3 × = 900, 2 ∴CD= 30(海里), 30 则需要的时间t= = 1(小时). 30 答:救援船到达D点需要1小时.

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