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日照一中2014届高三12月月考 理科数学 Word版含答案


高三阶段检测理科数学
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的. 1. 已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 )

2. 若 i

为虚数单位,图 1 中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,则复数 的共 1-2i 轭复数是( )

z

图1 3 3 A.- i B. I C.-i D.i 5 5 3. 设 ?、? 为两个不同的平面, 、 为两条不同的直线, m ? ? , n ? ? ,有两个命题:p : m // n , 且 若 m n 则 ? // ? ; q :若 m ? ? ,则 ? ? ? ;那么 A.“ p 或 q ”是假命题 C.“非 p 或 q ” 是假命题 B.“ p 且 q ”是真命题 D.“非 p 且 q ”是真命题
2

4. 已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga(x+ x +k)在(-∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,则函数 g(x)=loga|x-k|的图象是( )

5.

设偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ? ? 2 x ? 4?x ? 0? ,则不等式 f ? x ? 2? >0 的解集为 A. x x < ? 2 或 x > 4? C. x x <0 或 x > 6?

? ?

B. x x <0 或 x > 4? D. x x < ? 2 或 x > 2?

?

?

1

→ 1→ → 6.一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 分别交于 E、F 两点,且交其对角线于 K,其中AE= AB,AF 3 1→ → → = AD,AK=λ AC,则 λ 的值为( ) 2

图2 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 7. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,

则这个几何体的外接球的表面积为( ) 8π 16π A.2 3π B. C.4 3 D. 3 3 π? π? π ? ? 8.若将函数 y=tan?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan?ω x+ ?的图象重 4? 6? 6 ? ? 合,则 ω 的最小值为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2 9. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4] 上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 sin θ 3 3cos θ 2 ? 5π ? 10.设函数 f(x)= x+ x +tan θ ,其中 θ ∈?0, ?,则导数 f′(1) 12 ? 3 2 ? 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2] S1+S2+?+Sn 11.项数为 n 的数列 a1,a2,a3,?,an 的前 k 项和为 Sk(k=1,2,3,?,n),定义 为该项数

n

列的“凯森和”,如果项数为 99 项的数列 a1,a2,a3,?,a99 的“ 凯森和”为 1 000,那么项数为 100 的数列 100,a1,a2,a3,?,a99 的“凯森和”为( ) A.991 B.1 001 C.1 090 D.1 100

? 1 ,x≠2, ? 12. 设定义在 R 上的函数 f(x)=?|x-2| ?1, x=2, ?

若关于 x 的方程 f (x)+af(x)+b=0 有 3 个不同实

2

数解 x1、x2、x3,且 x1<x2<x3,则下列说法中错误的是 A.x1+x2+x3=14 C.a -4b=0
2 2 2 2

B.1+a+b=0 D.x1+x3=4
2

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 13.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 2 =1+3,3 =1+3+5,4 =1+3+5+7;2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19. 根据上述分解规律, n =1+3+5+?+19, m (m∈N )的分解中最小的数是 21, m+n 的值为________. 若 则 14.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为 ________. 15 . 已 知 a ?
2 3 * 2 2 2 3 3 3

x 0 ?l n x,? x ( , 则 ( e ? 2 x) d xe 为 自 然 对 数 的 底 数 ), 函 数 f ( x) ? ? ? x ?0 ?2 , x ? 0
1

f (a) ? f (log 2 1 ) ? __________. 6
? x2 ? y 2 ? 4 ? 16.16.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是___________ ? y?0 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分) π 2 已知函数 f(x)=cos(2x+ )+sin x 3 (1)求函数 f(x)的单调递减区间及最小正周期; 1 C 1 (2)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c= 6,cosB= ,f( )=- ,求 b. 3 2 4 18.(本小题满分 12 分) “地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种 从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函 数关系可以近似的表示为:

?1 3 2 [ ? 3 x ? 80x ? 5 040x, x ? 120,144) ? y?? , 且每处理一吨“食品残渣”, 可得到能利用的生物柴油价值为 1 2 ? x ? 200x ? 80 000, x ? 144,500) [ ?2 ?
200 元,若该项目不获利,政府将补贴. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少 需要补贴多少元才能使该项目不亏损. (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 19.(本小题满分 12 分)
3

已知命题 p: 1 和 x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根, x 不等式 a -5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1] 恒成立; 命题 q:不等式 ax +2x-1>0 有解, 若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,求 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、 BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的平面角的 余弦值. 21.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Sn ? 2an ? n ? N * , 且 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , 且点 P(bn , bn ?1 ) (n ? N * ) 2( ) 在直线 y ? x ? 2 上. (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ; (Ⅲ)设 cn ? an ? sin 2
2

2

2

n? n? ? bn ? cos 2 ( n ? N *) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2
1 )+ m 2

22.(本小题满分 13 分) 已知二次函数 g(x)对任意 x∈R 都满足 g(x-1)+g(1-x)=x -2x-1 且 g(1)=-1,设函数 f(x)=g(x+
2

9 ln x + (m∈R,x>0). 8
(1)求 g(x)的表达式; (2)若存在 x∈(0,+∞),使 f(x)≤0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x, 求证:对于任意 x1,x2∈[1,m] ,恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

4

高三数学(理科)参考答案
5

一、选择题: 1. B [解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系.解题的突破口为集合元素的互异性和 集合的包含关系. 由 A∪B=A 得 B? A,所以有 m=3 或 m= m.由 m= m得 m=0 或 1,经检验,m=1 时 B={1,1}矛盾, m=0 或 3 时符合,故选 B. z 2+i ? 2+i? ? 1+2i? 2.C [解析] 由题意 z=2+i,所以 = = =i,则其共轭复数是-i, 1-2i 1-2i ? 1-2i? ? 1+2i? 选 C. 3. D 4. A[解析]由已知 f(0)=0,得 loga k=0,∴k=1, ∴f(x)=loga(x+ x +1),又∵其为增函数, ∴a>1.故 g(x)=loga|x-1|的图象可由 y=loga|x|的图象向右平移一个单位得到,且在(-∞,1)上为减 函数,在(1,+∞)上为增函数,故选 A. 5. B 6.A [解析] 本题主要考查向量的线性运算.属于基础知识、基本运算的考查. 1 AK 3 2 → 2→ 2 过点 F 作 FG∥CD 交 AC 于 G,则 G 是 AC 的中点,且 = = ,所以AK= AG= × KG 1 3 5 5 2 1→ 1→ 1 AC= AC,则 λ 的值为 . 2 5 5 2 2 2 7.D [解析] 设几何体的外接球的半径为 r,由( 3-r) +1=r 得 r= ,几何体的外接球的表面积 3 16π 为 . 3 π? π ? 8.D [解析] 函数 y=tan?ω x+ ?向右平移 后得到 4? 6 ? ωπ π ? π π ωπ π π ? ? π? π? ? + ?.又因为 y=tan?ω x+ ?, y=tan?ω ?x- 6 ?+ ?=tan?ω x- ∴ ? ? ∴令 4 - 6 = 6 +kπ , 12 6 4? 6? ? 4? ? ? ? ? ωπ 1 = +kπ (k∈Z),由 ω >0 得 ω 的最小值为 . 6 2 9. D [解析] 由于 f(x)是 R 的上的偶函数, f(x)在[0,1]上为增函数时, 当 根据对称性知 f(x)在[- 1,0]上为减函数.根据函数 f(x)的周期性将 f(x)在[-1,0]上的图象向右平移 2 个周期即可得到 f(x)在 [3,4]上的图象,所以 f(x)在[3,4]上为减函数;同理当 f(x)在[3,4]上为减函数时,根据函数的周期性将 f(x)在[3,4]上的图象向左平移 2 个周期即可得到 f(x)在[-1,0]上的图象,此时 f(x)为减函数,又根据 f(x)为偶函数知 f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示,如图 1-1 所示),所以“f(x) 为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件,选 D. 2 10.D[解析]由已知 f′(x)=sin θ ·x + 3cos θ ·x, π? ? ∴f′(1)=sin θ + 3cos θ =2sin?θ + ?, 3? ? π 3π ? 5π ? π 又 θ ∈?0, ?.∴ ≤θ + ≤ , 12 ? 3 3 4 ? π? 2 ? ∴ ≤sin?θ + ?≤1,∴ 2≤f′(1)≤2. 3? 2 ? 答案 D S1+S2+?+S99 11. C [解析] 项数为 99 项的数列 a1,a2,a3,?,a99 的“凯森和”为 1 000,所以 99
6
2

=1 000,又 100,a1,a2,a3,?,a99 的“凯森和”为 100+100+S1+100+S2+?+100+S99 S1+S2+?+S99 =100+ =100+990=1 090,故选 C. 100 100 12.C[解析] 作出函数 f(x)的图象,令 t=f(x), 则方程 f (x)+af(x)+b=0 化为 t +at+b=0, ∵t=f(x)>0,故要使原方程有 3 个不同的实数解, 则需方程 t +at+b=0 的根,t1=t2=1 或 t1=1,t2≤0,
? ?Δ =a -4b>0 2 故 Δ =a -4b=0 或? ?b≤0 ?
2 2 2 2

,故 C 错误.

令 f(x)=1,易得 x1=1,x2=2,x3=3, 所以 A、B、D 皆正确. 答案 C 二、填空题: 13.答案:15 10×? 1+19? 2 [解析] 依题意得 n = =100, 2 ∴n=10. 易知 m =21m+
3

m? m-1?
2
*,

×2,

整理得(m-5)(m+4)=0, 又 m∈N 所以 m=5, 所以 m+n=15. 14 答案 2 [解析]设 x=a 与 f(x)=sin x 的交点为 M(a,y1), x=a 与 g(x)=cos x 的交点为 N(a,y2), 则|MN|=|y1-y2|=|sin a-cos a| ? ? π ?? = 2?sin?a- ??≤ 2. 4 ?? ? ? 15.答案 7; 16.答案 2 5

[ 解 析 ] 由 z ? 2 x ? y 得 , y ? ?2 x ? z . 作 出 不 等 式 对 应 的 区 域 ,

,平移直线

y ? ?2 x ? z ,由图象可知,当直线 y ? ?2 x ? z 与圆在第一象限相切时,直线 y ? ?2 x ? z 的截距最大,
此时 z 最大.直线与圆的距离 d ?

z 22 ? 1

? 2 ,即 z ? ?2 5 ,所以目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是

2 5.

7

三、解答题: π 2 17【解析】(1)∵f(x)=cos(2x+ )+sin x 3 π π 1-cos2x =cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2 1 3 1 1 = cos2x- sin2x+ - cos2x 2 2 2 2 =- 3 1 sin2x+ ,…………………………………3 分 2 2

2π ∴最小正周期 T= =π , 2 π π 令 2kπ - ≤2x≤2kπ + (k∈Z), 2 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 4 4 π π ∴f(x)的单调递减区间是[kπ - ,kπ + ](k∈Z). …………………………………6 分 4 4 (2)由(1)f(x)=- 3 1 sin2x+ 得: 2 2

C 3 1 1 f( )=- sinC+ =- , 2 2 2 4 ∴sinC= 3 , 2 1 2 2 2 1-( ) = , 3 3 6× 2 2 3 8 = , 3

1 又 cosB= ,∴sinB= 3

b c c·sinB ∴ = ,即 b= = sinB sinC sinC 8 故 b= . 3

3 2

…………………………………12 分

18【解析】(1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则 1 2 1 2 1 2 S=200x-( x -200x+80 000)=- x +400x-80 000=- (x-400) , 2 2 2 所以当 x∈[200,300]时,S<0.因此,该项目不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, 所以政府每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损. …………………………6 分 (2)由题意可知,食品残渣的每吨平均处理成本为:

?1 2 x ? 80x ? 5 040, x ? 120,144) [ y ?3 ? ?? . x ?1 x ? 80 000x ? 200, x ? 144,500) [ ?2 ?
8

y 1 2 1 2 ①当 x∈[120,144)时, = x -80x+5 040= (x-120) +240, x 3 3 y ∴当 x=120 时, 取得最小值 240;…………………………………8 分 x y 1 80 000 ②当 x∈[144,500)时, = x+ -200≥2 x 2 x 1 80 000 x· -200=200. 2 x

1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200. 2 x x ∵200<240, ∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低……………………12 分 19. 【解析】∵x1,x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根, ∴x1+x2=m,x1·x2=-2,∴|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= m +8, ∴当 m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3,…………………………………4 分 由不等式 a -5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立, 可得:a -5a-3≥3,∴a≥6 或 a≤-1,…………………………………6 分
2 2 2 2 2

∴命题 p 为真命题时 a≥6 或 a≤-1, 若不等式 ax +2x-1>0 有解,则 ①当 a>0 时,显然有解,②当 a=0 时,ax +2x-1>0 有解, ③当 a<0 时,∵ax +2x-1>0 有解, ∴Δ =4+4a>0,∴-1<a<0, 所以不等式 ax +2x-1>0 有解时 a>-1.又∵命题 q 是假命题,∴a≤-1, 故命题 p 是真命题且命题 q 是假命题时,a 的取值范围为 a≤-1. ……12 分
2 2 2 2

20. 【解析】方法一:(1)∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°, AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0). 不妨令 P(0,0,t),∵ PF =(1,1,-t), DF =(1,-1,0), ∴ PF · DF =1×1+1×(-1)+(-t)×0=0, 即 PF⊥FD. …………………………………4 分 (2)存在.设平面 PFD 的一个法向量为 n=(x,y,z),结合(1),

???

??? ?

???

??? ?

9

??? ?n ? PF ? 0 ? ?x+y-tz=0 ? 由 ? ??? ,得? ? ?x-y=0 ? ?n ? DF ? 0 ?



t t t 令 z=1,解得:x=y= .∴n=( , ,1). 2 2 2

??? ? 1 1 设 G 点坐标为(0,0,m),E( ,0,0),则 EG =(- ,0,m), 2 2 ??? ? 1 t t t 要使 EG∥平面 PFD,只需 EG ·n=0,即(- )× +0× +m×1=m- =0, 2 2 2 4
1 1 得 m= t,从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. …………………………………8 分 4 4 (3)∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB =(1,0,0), 又∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 1 1 得∠PBA=45°,PA=1,结合(2)得平面 PFD 的法向量为 n=( , ,1), 2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? n ? ∴cos〈 AB ,n〉= ??? = | AB | ? | n |

1 2 1 1 + +1 4 4



6 , 6

由题意知二面角 A-PD-F 为锐二面角. 故所求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦值为 方法二:(1)连接 AF,则 AF= 2,DF= 2, 又 AD=2,∴DF +AF =AD ,∴DF⊥AF, 又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A, ∴DF⊥平面 PAF,又∵PF? 平面 PAF,∴DF⊥PF. 1 (2)过点 E 作 EH∥DF 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD,且有 AH= AD, 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP, 4 ∴平面 EHG∥平面 PFD,∴EG∥平面 PFD. 1 从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. 4 (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,且∠PBA= 45°,∴PA=AB=1, 取 AD 的中点 M,则 FM⊥AD,FM⊥平面 PAD, 在平面 PAD 中,过 M 作 MN⊥PD 于 N,连接 FN,则 PD⊥平面 FMN, 则∠MNF 即为二面角 A—PD—F 的平面角,
10
2 2 2

6 .…………………………………12 分 6

MN MD ∵Rt△MND∽Rt△PAD,∴ = , PA PD ∵PA=1,MD=1,PD= 5,∴MN= 又∵∠FMN=90°,∴FN= MN 6 ∴cos∠MNF= = . FN 6 21 5 , 5

6 30 = , 5 5

22.【解析】(1)设 g(x)=ax +bx+c(a≠0),于是 g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1) +2c=(x-1) -2,
2 2

2

1 ? ?a ? 所以 ? 2 . ?c ? ?1 ?
11

又 g(1)=-1,则 b ? ? . 所以 g(x)= (2)f(x)=g(x+

1 2

1 2 1 x ? x ? 1. …………………………………4 分 2 2

1 9 1 2 )+m ln x + = x +m ln x (m∈R,x>0). 2 8 2

当 m>0 时,由对数函数的性质知,f(x)的值域为 R; 当 m=0 时,f(x)=

x2 ,对任意 x>0,f(x)>0 恒成立; 2
m =0 得 x ? ? m, x
(0,

当 m<0 时,由 f′(x)=x+ 列表: x f′(x) f(x)

?m )
- ↘

?m
0 极小值

( ? m ,+∞) + ↗

这时 f(x)min=f( ? m )= ?

m ? mln ? m, 2

? m ?? ? mln ? m ? 0 , 由 f(x)min≤0 得 ? 2 所以 m≤-e, ?m ? 0 ?
综上,存在 x>0 使 f(x)≤0 成立,实数 m 的取值范围是(-∞,-e]∪(0,+∞).…………8 分 (3)由题知 H(x)=

? x ? 1?? x ? m ? . 因为对任意 x∈[1,m] 1 2 x -(m+1)x+mlnx, H? ? x ? ? , x 2

H? ? x ? ?

? x ? 1?? x ? m ? ? 0, 所以 H(x)在[1,m]内单调递减.
x

1 2 1 m -mlnm- . 2 2 1 2 1 要使|H(x1)-H(x2)|<1 恒成立,则需 m -mlnm- <1 成立, 2 2 1 3 即 m-lnm<0. 2 2m 1 3 记 h ? m ? ? m ? lnm ? 则 (1 ? m ? e), 2 2m 1 1 3 3 1 1 1 h? ? m ? ? ? ? ? ( ? ) 2 ? ? 0, 2 2 m 2m 2 m 3 3 1 3 所以函数 h(m)= m-lnm在(1,e]上是单调增函数, 2 2m
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)= 所以 h(m)≤h(e)=

e 3 ? e ? 3?? e ? 1? -1= <0,故命题成立. …………………13 分 2e 2 2e

12


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