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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时1 直线与圆锥曲线课件 文

时间:2016-04-24


§9.8 圆锥曲线的综合问题

课时1 直线与圆锥曲线

内容 索引

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 题型二 弦长问题 题型三 中点弦问题 思想方法 感悟提高 练出高分

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系

题型一

直线与圆锥曲线的位置关系

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解析答案

(2)(2014· 湖北改编)设 a,b 是关于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ=0 的两个不
2 2 x y 等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线cos2θ-sin2θ=1

0 的公共点的个数为________.

解析 关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根为0,-tan θ(tan θ≠0),
则过A,B两点的直线方程为y=-xtan θ,

x2 y2 双曲线cos2θ-sin2θ=1 的渐近线方程为 y=± xtan θ,
所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.

解析答案

解析答案

②设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.

思维升华

解析答案

跟踪训练1

解析答案

(2)有且只有一个公共点;

解析答案

(3)没有公共点.

解析答案

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题型二 弦长问题

题型二

弦长问题
x 2 y2 2 已知椭圆 C: 离心率为 . 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0), a b 2

例2

直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程;
?a=2, ? ?c 2 由题意得? = , 2 ?a ?a2=b2+c2, ?



x2 y2 解得 b= 2,所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.
解析答案

10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
2 2 y x (2015· 湖南) 已知抛物线 C1 : x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0) a b

的一个焦点.C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, → → B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且AC与BD同向. (1)求 C2 的方程;

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(2)若AC=BD,求直线l的斜率.

解析答案

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题型三 中点弦问题

题型三

中点弦问题

解析答案

思维升华

解析答案

跟踪训练3
设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C的方程; 解 设抛物线顶点为P(x,y),则焦点F(2x-1,y). 再根据抛物线的定义得AF=2,即(2x)2+y2=4,
2 y 所以轨迹 C 的方程为 x2+ 4 =1.

解析答案

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.有关弦的三个问题 涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长; 涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算;涉及过 焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法 (1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程 之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.

(2)点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线 段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线 的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点 差法”的常见题型有:求中点弦方程、求( 过定点、平行弦) 弦中点轨迹、 垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别 式Δ是否为正数.

失误与防范

判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一

定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点.
(2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外,易忽视直线与对

称轴平行时也相交于一点.

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4 2 2 由题意知: >2 ,即 m + n <2, 2 2 m +n

x2 y2 ∴点 P(m,n)在椭圆 9 + 4 =1 的内部,故所求交点个数是 2.

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b x2 y2 1 2.直线 y=ax+3 与双曲线a2-b2=1 的交点个数是________.
解析 b b 因为直线 y=ax+3 与双曲线的渐近线 y=ax 平行,

所以它与双曲线只有1个交点.

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x y 2 3.已知椭圆 C 的方程为16+m2=1(m>0),如果直线 y= 2 x 与椭圆的一个 交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为________.
解析 2 根据已知条件得 c= 16-m ,则点( 16-m , 2 16-m2)在椭
2 2

x2 y2 圆16+m2=1(m>0)上, 16-m2 16-m2 ∴ 16 + 2m2 =1,可得 m=2 2.
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5.过抛物线y2 =4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B两点,它们到

直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线有________条.

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7.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为______.

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x y 8.过椭圆16+ 4 =1 内一点 P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是 ____________.

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(2)试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数,并证明你的结论.

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10.(2014· 湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到 y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; 解 设点M(x,y),依题意得MF=|x|+1,

即 ?x-1?2+y2=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
? ?4x,x>0, 2 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y =? ? ?0,x≤0.
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(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共 点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

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解析 直线 AF 的方程为 y=- 3(x-2),

? ?y=- 3x+2 3, 联立? 得 y=4 3,所以 P(6,4 3). ? ?x=-2,

由抛物线的性质可知PF=6+2=8.

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13.过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B,C 两点,l 与抛 → → 物线准线交于点 A,且 AF=6,AF=2FB,则 BC=________.

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14.已知抛物线E:y2=2px(p>0)经过圆F:x2+y2 -2x+4y-4=0的圆心, 则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为________.

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x2 y2 1 15.椭圆 C: 其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10. a2+b2=1 (a>b>0)的离心率为2, (1)求椭圆 C 的标准方程;
解 ∵左焦点(-c,0)到点 P(2,1)的距离为 10,
2

∴ ?2+c? +1= 10,解得 c=1.

c 1 又 e=a=2,解得 a=2,∴b2=a2-c2=3, x y ∴所求椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.
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(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左,右顶点),

且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点
的坐标.

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