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河南省焦作市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题


河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟考试 数学理试题
一、选择题(60 分) 1、设 A={x|2≤x≤6},B={x|a≤x≤a+3},若 B ? A,则实数 a 的取值范围是 A、 [2,3] 2、若复数 Z= B、 (3,+ ? ) C、 [2,+ ? ) D、 (1,3)

i 2 ? i3 ? i 4 ,则 z= 1? i
B

、-

A、- 3、

1 1 - i 2 2

1 1 + i 2 2

C、

1 1 - i 2 2

D、

1 1 + i 2 2

? (e
0

1

x

?2 x)dx 等于
B、e-1 C、e D、e+1

A、1 4、在 (

x 3 6 ? ) 的二项展开式中, x 2 的系数为 3 x
4 27
B、-

2 2 4 C、 D、 27 27 27 ? ? ? ? 3 2 5、已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) ,且 a ? b ,则 cos x 的值为 2 1 4 8 20 A、 B、 C、 D、 13 13 13 13
A、- 6、棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,N 分别在线段 AB1,BC1 上,且 AM=BN,给 出以下结论: ①AA1⊥MN ②异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60° ③四面体 B1-D1CA 的体积为

1 3

④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为 A、4 B]3 C、2 D、1 7、设随机变量

8、一个侧面积为 4 ? 的圆柱,其主视图、俯视图是 如图所示的两个边长相等的正方形,则与这个圆柱 具有相同的主视图、俯视图的三棱柱的相应的左视 图可以为

19 27 7 C、 9
A、

5 X ? B(2,P) ,随机变量 Y ? B(3,P) ,若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥1)等于 9 5 B、 9 5 D、 27

·1·

9、直线 l 被圆 C:x2+y2=2 所截得的弦长不小于 2,则直线 l 与下列曲线一定有公共点的是 A、 (x-1)2+y2=1 B、x2+y2=1 C、y=x2 D、x2-y2=1 10、已知实数 x,y 满足 ?

? y2 ? x ? 0 ?x ? y ? 2
C、0,6

学科网 ,则 2x+y 的最小值,最大值分别为

1 ,6 8 1 n ?1 1 n ?1 1 11、已知数列{ an }满足: an ? ( ) [( ) ? ] ,则数列{ an } 2 2 3
A、3,6 B、0,3 D、- A、有最大值 a1 ,最小值 a3 B、有最大值 a1 ,最小值 a4

C 、有最大值 a1 ,最小值不存在 D、最大值不存在,最小值 a4 12、定义在(0,+ ? )上的函数 f(x)满足下列条件: (1) x ? (0, ??) ,有 f(2x)=2f(x)成 立, (2)当 x ? (1,2] 时,f(x)=2-x,设函数 g(x)=f(x)-k(x-1)恰有三个零点,则实数 k 的取值范围是

1 1 4 , ] ? [ , 2) 16 4 3 1 1 4 C、 ( ? , ? ] ?[ , 2) 7 15 3
A、 ( 二、填空题(20 分)

B、 ( ?

1 1 ,? ] 7 15

D、 [ , 2)

4 3

13、已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若 S2=10,S5=55,则 a10 =___ 14、若函数 f(x)=2x2-lnx 在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取 值范围是_____ 15、设 A,B 为双曲线

x2 y 2 ? ? ? (a ? 0, b ? 0, ? ? 0) 同一条近线上的两个不同的点,已 a 2 b2

??? ?? ? ??? ? ?? AB?m 知向量 m ? (1,0) , | AB |? 6, ?? =3,则双曲线的离心率为_____ |m|
16、已知正四棱住 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长 AB=6,侧棱长 AA1=2 7 ,它的外接球的球心为 O,点 E 是 AB 的中点,点 P 是球 O 上任意一点,有以下判断: (1)PE 的长的最大值是 9; (2)三棱锥 P-EBC 体积的最大值是

(3)存在过点 E 的平面,截球 O 的截面面积是 9 ? ; (4)三棱锥 P-AEC1 体积的最大值是 20 其中判断正确的序号是_______
·2·

32 3

三、解答题(70 分) 17、 (本小题满分 12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=2bsinC。 (1)求 B 的大小; (2)求 sinA+cosC 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分)甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) , 比赛进行到有一个人比对方多 2 分或比满 8 局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 P(P> 各局胜负相互独立,已知第二局比赛结果时比赛停止的概率为

1 ) ,且 2

5 。 8

(1)若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总的得分 S,T 的程序框图,其中如果甲获胜,输 入 a=1,b=0;如果乙获胜,则输入 a=0,b=1。请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件? (2)求 P 的值; (3)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 X 的分布列和数学期望。

·3·

19、 (本小题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角形, 且平面 PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点。 (1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:平面 EDB⊥平面 PBC; (3)求二面角 D-PB-C 的正切值。

20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xoy 中,长为 2 +1 的线段的两端点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上滑动, CP ? 2 PD学科网,记点 P 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A,B 两点, OM ? OA ? OB ,当点 M 在曲线 E 上时, 求四边菜 OAMB 的面积。

??? ?

??? ?

???? ?

??? ??? ? ?

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? e

? a sin x



(1)若 a=-1,求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)若 1 ? a ? e ,且 sin x ? ?

2 ln t ,用 t 表示 f(x)后得到 f(x)的解析式高为 g(t) ,求 g(t) a

的单调区间; (3)在(2)的解析式 g(t)中的定义域扩展为(0,+ ? ) ,若 a=2,设 h(x)=g(x+1)-2x -1,证明:

(n ? N *)

·4·

选做题(任选一题,如果多做,则按所做第一题计分) 22、选修 4-1,几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图, 在△ABC 中, 边上的点 D 满足 BD=2DC, BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A, BC 以 过点 B 作 BE⊥CA 于点 E,BE 交圆 D 于点 F。 (1)求∠ABC 的度数; (2)求证:BD=4EF

23、选修 4-4,坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,在极坐标系(与直角 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? ? 5 sin ? 。
(1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求|PA|+|PB|。 24、选修 4-5,不等式选讲(本小题满分 10 分) 设 f ( x) ?| x | ?2 | x ? a | (a ? 0) 。 (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)≤4; (2)若 f(x)≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围。

·5·

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