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中山市2012届高二下学期期末考试(数学)


中山市 2012 届高二下学期期末考试 数学试卷
本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答

案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改 液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、不可以使用计算器.
? 参考公式:回归直线 y ? bx ? a ,其中 b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , a ? y ? bx . ? nx
2

i

? x)

2

?x
i ?1

2 i

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.在复平面上,复数 z ? (?2 ? i)i 的对应点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.下列论断中错误的是 .. A.a、b、m 是实数,则“am2>bm2”是“a>b”的充分非必要条件; B.命题“若 a>b>0,则 a2>b2”的逆命题是假命题; C.向量 a,b 的夹角为锐角的充要条件是 a?b>0; D.命题 p:“?x∈R,x2-3 x+2≥0”的否定为?p:“?x∈R,x2-3x+2<0” 3.已知函数 y ? xn e x ,则其导数 y ' ? A. nx n ?1e x B. x n e x C. 2 x n e x D. (n ? x) xn?1e x

4.每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为 A. (1 ? p)
3

B. 1 ? p

3 3 2 2

C. 3(1 ? p)
2

D. (1 ? p) ? p(1 ? p) ? p (1 ? p)

5.若集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? a} , 则“ A ? B ? ? ”的充要条件是 A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?1 D. a ? ?1

6.圆上有 10 个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为 A.720 B.360 C.240 D.120

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是

A. 2 或 2 2 C. ? 2 或 ? 2 2

B. 2 2 或 ? 2 2 D. 2 或 ? 2 2

8.定义在 R 上的函数 f ( x ) 及其导函数 f ?( x ) 的图象 都是连续不断的曲线,且对于实数 a, b(a ? b) , 有 f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0 .现给出如下结论: ① ?x0 ?[a, b], f ( x0) ;② ?x0 ?[a, b], f ( x0) f (b) ; =0 ? ③ ?x0 ?[a, b], f ( x0) f (a) ;④ ?x0 ?[a, b], f (a) f (b) ? f ?( x0 )(a ? b) . ? ? 其中结论正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题 卡相应横线上) (一)必做题(9~13 题) 9. 在国家宏观政策的调控下, 中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在 2010 年 1~5 月的收入,得到月份 x (月)与收入 y (万元)的情况如下表: 月份 x 收入 y y 关于 x 的回归直线方程为 10. 1 120 . . . 2 130 3 150 4 160 5 190

? ?x
2 ?2
3

3

? 1? dx ?

11. ( x ?

1 5 ) 展开式的常数项是 x2

12.已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 1 ?

1 1 1 1 1 1 3 ,1 ? ? ? 1,1? ? ? ? ? ? , 2 3 2 3 7 2 2
.

1?

1 1 1 ? ? ? ? ? 2 , ? ,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 2 3 15

13.如果对任意一个三角形,只要它的三边 a, b, c 都在函数 f ( x ) 的定义域内,就有

f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 f ( x) 为“和美型函数”.现有下列函
数:① f ( x) ?

x ; ② g ( x) ? sin x, x ? (0, ? ) ; ③ h( x) ? ln x, x ?[2, ??) .其中
. (写出所有正确的序号)

是“和美型函数”的函数序号为

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,若两题都做,取 14 题得分为最后得分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 是

D E A

C
O
B

l

? x ? 2cos ? ? 2 ( ? 是 参 数 ) 若 以 O 为 极 点 ,x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ,则 曲 线 , ? ? y ? 2sin ? C 的极坐标方程可写为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 ,

C 为圆周上一点, BC ? 3 .过 C 作圆的切线 l ,过 A 作
l 的垂线 AD , AD 分别与直线 l 、圆交于点 D,E ,则
线段 AE 的长为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

1 16. (13 分)用数学归纳法证明: 1 ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? (n ? 2) ? ? ? n ?1 ? n(n ? 1)(n ? 2). 6

17. (13 分)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,其中 60 名男大学 生 中 有 40 人 爱 好 此 项 运 动 , 女 大 学 生 中 有 20 人 爱 好 此 项 运 动 , 其 中
K2 ? n(ad ? bc)2 ,附表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(k2>k) k

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

能不能有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

18. (13 分)若 x, y 都是正实数,且 x ? y ? 2, 求证: 立.

1? x 1? y ?2与 ? 2 中至少有一个成 y x

19. (13 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1 ( m 为常数,且 m ? 0 )有极大值 9 . (1)求 m 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 有斜率为 ?5 的切线,求此切线方程.

20. (14 分)投掷四枚不同的金属硬币 A、B、C、D ,假定 A、B 两枚正面向上的概率均 为

1 ,另两枚 C、D 为非均匀硬币,正面向上的概率均为 a(0 ? a ? 1) ,把这四枚硬币 2

各投掷一次,设 ? 表示正面向上的枚数. (Ⅰ) 若 A、B 出现一枚正面向上一枚反面向上与 C、D 出现两枚正面均向上的概率相 等,求 a 的值;

(Ⅱ) 求 ? 的分布列及数学期望(用 a 表示).

21. (14 分)一个截面为抛物线形的旧河道(如图 1),河口宽 AB ? 4 米,河深 2 米,现要将 其截面改造为等腰梯形(如图 2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河 道填土. (Ⅰ) 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧 AB 的标准方程; (Ⅱ) 试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时,才能使挖出的土最少?

参考答案
一、选择题:CCDBC DDB 二、填空题:9. y ? 17x ? 99 ; 10. 4 ; 11. 10 ; 12. 1 ?

13. ①③ ; 14. ? ? 4 cos? . 15.3 . 三、解答题: 16.证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? 1 ? 1, 1 右边 ? ?1? 2 ? 3 ? 1, 等式成立. 6 (2)假设当 n ? k (k ? N * ) 时等式成立,即 1 1 ? k ? 2 ? (k ? 1) ? 3 ? (k ? 2) ? ? ? k ? 1 ? k (k ? 1)(k ? 2), 那么, 6 1 ? (k ? 1) ? 2 ? k ? 3 ? (k ? 1) ? ? ? k ? 2 ? (k ? 1) ? 1 ? (k ? 1) ? [1 ? k ? 2 ? (k ? 1) ? 3 ? (k ? 2) ? ? ? k ? 1] ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? 2 ? 1 1 (k ? 1)(k ? 2) ? k (k ? 1)(k ? 2) ? 6 2 1 ? (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 6 即当 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N * 都成立 17. 解:列联表: 男 女 40 20 爱好 20 30 不爱好 60 50 总计 2 110 ? (40 ? 30 ? ?20 ? 20) K2 ? ? 7.8. 60 ? 50 ? 60 ? 50 有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 18.证明:假设 总计 60 50 110

1 1 1 n ? ??? n ? ; 2 3 2 ?1 2

1? y 1? x 1? x 1? y ?2和 ? 2 同时成立, ? 2和 ? 2 都不成立,则有 y x x y

因为 x ? 0 且 y ? 0 , 所以 1 ? x ? 2 y 且 1 ? y ? 2 x 两式相加,得 2 ? x ? y ? 2 x ? 2 y . 所以 x ? y ? 2 ,这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾. 1? x 1? y ?2和 因此 ? 2 中至少有一个成立. y x

1 19.解: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 2mx ? m2 ? ( x ? m)(3x ? m) ? 0 则 x ? ?m 或 x ? m .当 x 变化时, 3 ' f ( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

(??, m)

?m
0

?


1 (?m, m) 3 ?


1 m 3 0
极小值

1 ( m, ??) 3 ?


极大值

从而可知,当 x ? ?m 时,函数 f ( x) 取得极大值 9 ,即 (2)由(1)知, f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 1,
3 2

f (?m) ? ?m3 ? m3 ? m3 ? 1 ? 9, ? m ? 2.

依题意知 f ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 ? ?5, 1 ? x ? ?1或x ? ? . 3 1 68 又 f (?1) ? 6, f (? ) ? , 3 27 所以切线方程为 y ? 6 ? ?5( x ? 1) 或 y ? 即 5 x ? y ? 1 ? 0 或 135 x ? 27 y ? 23 ? 0.

68 1 ? ?5( x ? ) 27 3

2 ? 1 ?? 1 ? 2 20.解: (Ⅰ)由题意,得 2 ? ? ?? 1 ? ? ? a . ? a ? . ……………………3 分 2 ? 2 ?? 2 ? (Ⅱ) ? =0,1,2,3,4. …………………4 分 1 2 0 1 0 2 2 p (? ? 0) ? C2 (1 ? ) C2 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ; …………5 分 2 4

1 0 1 1 1 1 0 1 p(? ? 1) ? C2 (1 ? )C2 (1 ? a) 2 ? C2 (1 ? ) 2 C2 a(1 ? a) ? (1 ? a) ;……………6 分 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1 1 0 p (? ? 2) ? C2 ( ) C2 (1 ? a ) ? C2 (1 ? )C2 a (1 ? a ) ? C2 (1 ? ) C2 a 2 2 2 2 1 2 ? (1 ? 2a ? 2a ); …………………………7 分 4 1 2 2 a 2 1 2 1 1 1 p (? ? 3) ? C2 ( ) C2 a (1 ? a ) ? C2 (1 ? )C2 a ? , …………………………8 分 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 p (? ? 4) ? C2 ( ) C2 a ? a . ………………………………………9 分 2 4 得 ? 的分布列为:

?

0
1 4 (1 ? a )
2

1
1 2 (1 ? a ) 1 4

2
(1 ? 2a ? 2a )
2

3
a 1

4
2

a 2 4 1 1 a 1 ? 的数学期望为: E? ? 1 ? (1 ? a ) ? 2 ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) ? 3 ? ? 4 ? a 2 ? 2a ? 1, 2 4 2 4 21.解: (1)如图:以抛物线的顶点为原点, AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系

p

则 A(?2, 2), B(2, 2) 设抛物线的方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,将点 B (2, 2) 代入得 p ? 1
2 2 所以抛物线弧 AB 方程为 x ? 2 y ( ?2 ? x ? 2 ) (2)解法一:
2 设等腰梯形的腰与抛物线相切于 P (t , t ),

1 2

(不妨t ? 0)
2 则过 P(t , t ) 的切线 l 的斜率为 y

1 2

' x ?t

?t

t2 t2 ? t ( x ? t ) ,即 y ? tx ? 2 2 t t 2 令 y ? 0 ,得 x ? , 令 y ? 2 ,得 x ? ? , 2 2 t 1? t 2 t? 2 所以梯形面积 S ? ? 2 ? ( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2(t ? ) ? 4 2 2? 2 t 2? t 2 当仅当 t ? ,即 t ? 2 时, " ? " 成立 t 2 2 此时下底边长为 2( ? )?3 2 2 2
所以切线 l 的方程为: y ? 答:当梯形的下底边长等于 3 2 米时,挖出的土最少.
2 解法二:设等腰梯形的腰与抛物线相切于 P (t , t ), (不妨t ? 0)

1 2

2 则过 P(t , t ) 的切线 l 的斜率为 y

1 2

' x ?t

?t

所以切线 l 的方程为: y ?

t2 t2 ? t ( x ? t ) ,即 y ? tx ? 2 2

运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积:
t t 2 2 2 x ? ? 2 x2 ? t2 t2 2 t S ? 2 ?? dx ? ?t ( ? (tx ? ))dx ? ? (2 ? (tx ? ))dx ? -----10 分 0 2 2 2 2 2 ? 2 ? t t 2 t 2 2 2 2 2 x 2 ? ? ? x ? t t2 ? 2 ? ? 2 dx ? ?t dx ? ?t (tx ? )dx ? ? 2 t 2dx ? ? 2 t (tx ? )dx ? 0 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? t 2 t 2 ? ? ? 2 x2 ? t2 2 t 2 t ? 2 ?? dx ? ? 2dx ? ?t (tx ? )dx ? 0 2 2 2 2 ? ? 2 ?4 t 2 t t 2 t t 2 t t2 t2 t ? ? 2 ? ? 2 ? ( ? ? 2) ? ? ( ? ) 2 ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ? 2 t 2 2 t 2 2 t 2 4 2 2? ?3 16 ? 2 8? ? 2 ?t ? ? ? ? 4 2 ? 3 ? t 3? 2 2 2 当仅当 t ? ,即 t ? 2 时, " ? " 成立,此时下底边长为 2( ? )?3 2 t 2 2

答:当梯形的下底边长等于 3 2 米时,挖出的土最少. 解法三:设等腰梯形上底(较短的边)长为 2a 米,则一腰过点 (a,0),(a ? 0) ,可设此腰所

? y ? k ( x ? a) ? 2 在直线方程为 y ? k ( x ? a),(k ? 0) , 联立 ? ,得 x ? 2kx ? 2ka ? 0 , 1 y ? x2 ? ? 2 2 令 ? ? 4k ? 8ka ? 0 ,得 k ? 2a ,或 k ? 0 (舍) , 故此腰所在直线方程为 y ? 2a( x ? a) , 1 令 y ? 2 ,得 x ? a ? , a 1 1 1 故等腰梯形的面积: S ? 2 ? [a ? (a ? )] ? 2 ? 2(2a ? ) ? 4 2 2 a a

1 2 ,即 a ? 时,有 Smin ? 4 2 a 2 1 2 2 此时,下底边长 2(a ? ) ? 2( ? )?3 2 a 2 2
当且仅当 2a ? 答:当梯形的下底边长等于 3 2 米时,挖出的土最少.


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