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二次函数专题


二次函数专题
1、二次函数的三种表示方法:
① y ? ax2 ? bx ? c, ; (a ? 0) (定义式) ② y ? a( x ? h) 2 ? k , (a ? 0) (顶点式) ; ③ y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ), (a ? 0) (两根式) 。 【例题 1】根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),

(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2). 2、二次函数的图象和性质: 二次函数 定义域 值 域 (最 值) y=ax +bx+c, (a>0) x∈R
2

y=ax +bx+c, (a<0)

2

? 4ac ? b ? ?y y ? ? 4a ? ?
2

? 4ac ? b 2 ? ?y y ? ? 4a ? ?

图 象

抛物线 (略) , 精确度要求不高时作二次函数图象先考虑二次项系数 a 的 符号,确定图象的延伸方向;然后考虑对称轴方程,确定图象的左右位置; 再考虑顶点坐标,确定图象的上下位置;最后考虑与轴的交点,确定图象的 开口大小。

顶 点 对称轴 开口方向 奇偶性

? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b x?? 2a
开口向上 开口向下 b=0 时,是偶函数;b≠0,是非奇非偶函数。

单调性

? b ? ,?? ? ? 2a ? b? ? 递减区间 ? ? ?,? 2a ? ? ?
递增区间 ??
2

? b ? ,?? ? ? 2a ? b? ? 递增区间 ? ? ?,? 2a ? ? ?
递减区间 ?? ) )

【例题 2】函数 y ? x ? bx ? c, ( x ? [0,??)) 是单调函数的充要条件是( A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0
2

【例题 3】已知函数 y ? ax ? bx ? c ,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能是(

练习:1.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时是增函数,则 m 的取值范围是 A.[-8,+∞) B.[8,+∞) C.(-∞,-8] D.(-∞,8]

(

)

1

2. 若 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值 A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.与 m 有关 3.已知函数 y=x2-4ax(1≤x≤3)是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 4 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1)

(

)

(

)

3、二次函数在区间上的最值问题。 设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0? ,则二次函数在闭区间 ?m, n? 上的最大、最小值有如下的分布情况:
m?n?? b 2a m?? b b ? n即? ? ?m, n? 2a 2a ? b ?m?n 2a

图 象

最 大 、 最 小 值

f ?x ?max ? f ?m ? f ?x ?min ? f ?n ?

f ?x ?max ? max? f ?n ?, f ?m?? ? b ? f ?x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

f ?x ?max ? f ?n ? f ?x ?min ? f ?m?

对于开口向下的情况,讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ? (2)若 ?
b ? ? ? ? ? b ? ? b ? ? ?m, n? ,则 f ?x ?max ? max? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? , f ?x ?min ? min? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? ; 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? ?

b ? ?m, n? ,则 f ?x?max ? max? f ?m?, f ?n??, f ?x?min ? min? f ?m?, f ?n?? 2a 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来, 当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小.
【例题 5】求 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 [0,2] 上的最大值和最小值。

【例题 6】已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 3 在区间 [? ,2] 上的最大值为 1,求实数 a 的值。

3 2

2

4.透彻领悟“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的内在联系。
Δ =b -4ac
2 2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

函数 y=ax +bx+c, (a>0)的图象

方程 ax +bx+c=0 的根 不等式 ax +bx+c>0 的解集 2 不等式 ax +bx+c<0 的解集 *两条规律:
2

2

x1, 2 ?

?b? ? 2a

x1, 2 ? ?

b 2a

无实根 R Φ

x<x1 或 x>x2 x1<x<x2

x≠x1,2 Φ

①二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, a ? 0 的图象与轴的交点的横坐标 x1 , x 2 即二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根, 且对称

x1 ? x 2 ; 2 2 ②不等式 ax ? bx ? c ? 0 (或 ?, ?, ? )的解集为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, a ? 0 图象上方(或下方)的点的横坐标的
轴方程为 x ? 集合。
2 2 【例题 5】已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | x ? ?2或x ? ? } ,求不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解

1 2

集。

一种应用:不等式恒成立的条件,令 y ? ax ? bx ? c, a, b, c ? R 。
2

?a ? 0 ?a ? b ? 0 f ( x) ? 0(? 0)对任意x ? R恒成立 ? ? 或? , ? ? 0 ( ? 0 ) c ? 0 ( ? 0 ) ? ? ?a ? 0 ?a ? b ? 0 f ( x) ? 0(? 0)对任意x ? R恒成立 ? ? 或? , ? ? 0 ( ? 0 ) c ? 0 ( ? 0 ) ? ? f ( x) ? m恒成立 ? [ f ( x)]min ? m; f ( x) ? m恒成立 ? [ f ( x)]max ? m.
2 【例题 6】若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。 〖解答〗

【例题 7】已知函数 y ? ax ? b(a ? 0) 对任意 x ? [?1,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求 a , b 满足的条件。

【例题 8】 (1)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? a ? 2 ,若 f ( x) ? 0 有解,求实数 a 的取值范围;

(2)已知 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ,当 x ? [?1,1] 时,若 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

5、二次函数的图象与二次方程根的分布
3

(一) .一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一 负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两 侧。 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为 x1,x2,且 x1≤x2。 △=b2-4ac≥0 △=b2-4ac≥0 △=b2-4ac≥0 ? ? b ?a>0 ?a<0 x1+x2=-a>0 (1)x1>0,x2>0 ? ,? ? 或? f(0)=c>0 f(0)=c<0 c ? ? ?b<0 ?b>0 x1x2=a>0 上述推论结合二次函数图象不难得到。 y y b

? ? ?

a?0
c?0 O x1 O

?

2a

?0

x
x1
c?0

??0

x2

??0 a?0

x2 x b ? ?0 2a

△=b2-4ac≥0 b x1+x2=-a<0 (2)x1<0,x2<0 ? ,? c x1x2=a>0 由二次函数图象易知它的正确性。 y y b
a?0

? ? ?

△=b2-4ac≥0 △=b2-4ac≥0 ? ? ?a>0 ?a<0 或 ?f(0)=c>0 ?f(0)=c<0 ? ? ?b>0 ?b<0

?

c?0

2a

?0

x1
??0

x2 O

x

??0

x1
? b ?0 2a

x2 O x
a?0

c?0

c (3)x1<0<x2 ? a<0?af(0)>0 b b (4)①x1=0,x2>0 ? c=0 且a<0;②x1<0,x2=0 ?c=0 且a>0。 y y
a?0 a?0
O

O

x1

x2
? b ?0 2a

x
?

x1
b ?0 2a

x2

x

4

y

?

b ?0 2a

?

b ?0 2a

y

O

O

x1

x2

x
a?0

x1
a?0

x2

x

(二) .一元二次方程根的非零分布——k 分布 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根为 x1,x2,且 x1≤x2。k 为常数。则一元二次方 程根的 k 分布(即 x1、x2 相对于 k 的位置)有以下若干结论。 △=b -4ac≥0 ? ?af(k)>0 ? b ? ?-2a>k
y
a?0
O
2

(1)k<x1≤x2 ?

y
f (k ) ? 0
?

x??

b 2a

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

(2)x1≤x2<k ?

△=b -4ac≥0 ? ?af(k)>0 。 ? b ? ?-2a<k
y
x??
O

2

y
a?0
O

f (k ) ? 0
?

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

(3)x1<k<x2 ? af(k)<0。 y y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

特殊地①x1<0<x2 ? ac<0。②x1<1<x2 ? a(a+b+c)<0。
5

(4)有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 ? f(k1)f(k2)<0 y y
a?0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

f ( k1 ) ? 0
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

(5)k1<x1<k2≤p1<x2<p2

? k )>0 ?ff( ? ? (k )<0 f(p )<0 ? ?f(p )>0
a>0
1 2 1 2

? k )<0 ?ff( 或? (k )>0 f(p )>0 ? ?f(p )<0
a<0
1 2 1 2

(6)k1<x1≤x2<k2

? ? ? ? ? ?

△=b2-4ac≥0 △=b2-4ac≥0 a>0 a<0 f(k1)>0 f(k1)<0 或 f(k2)>0 f(k2)<0 b b k1<- <k2 k1<- <k2 2a 2a
y
x?? b 2a

? ? ? ? ?

y
? ?

a?0

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

【例题 9】(1)关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

(2)关于 x 的方程 x2 ? 2(m ? 3)x ? 2m ? 14 ? 0 有两个实根,且一个大于 1,一个小于 1,求 m 的取值范围;

(3)关于 x 的方程 x2 ? 2(m ? 3)x ? 2m ? 14 ? 0 有两实根都在 [0,4) 内,求 m 的取值范围;

(4)关于 x 的方程 x ? 2(m ? 3) x ? 2m ? 14 ? 0 有两实根在 ?1 ,3? 外,求 m 的取值范围
2

6

(5)关于 x 的方程 mx2 ? 2(m ? 3)x ? 2m ? 14 ? 0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,求 m 的取值范围.

[评注]求解二次方程根的分布问题,结合二次函数图象,主要考虑三个方面的问题(1)判别式 (2)对称轴(3)区间端点函数值

练习 1:已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 在原点右侧至少有一个零点,求实数 m 的取值范围.

练习 2: 已知函数 f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2 的图象与 x 轴的非负半轴至少有一个交点,求 a 的取值范围

练习 3:若关于 x 的方程 3tx2+(3-7t)x+4=0 的两个实根α ,β 满足 0<α <1<β <2,实数 t 的取值范围是______.

练习 4: 若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,则实数 k 的取值范围 是______________ .

6、二次函数的综合问题
【例题 10】已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c .

(1)若 a>b>c,

且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点;

(2)在(1)的条件下,是否存在 m∈R,使得 f(m)=- a 成立时,f(m+3)为正数,若存在,证 明你的结论,若不存在,说明理由;
1 ( 3 )若对 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,方程 f ( x) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 有 2 个不等实根, 2

证明必有一个根属于 ( x1 , x2 )
解: (1) f (1) ? a ? b ? c ? 0a ? b ? c,?a ? 0c ? 0,?? ? b2 ? 4ac ? 0,? f ( x)

的图象与 x 轴有两个交点. (2) f (1) ? 0 ,∴1 是 f ( x) ? 0 的一个根,由韦达定理知另一根为
c ∴ a ? 0且c ? 0,? ? 0 ? 1, 又a ? b ? c, b ? ?a ? c, a c c c 则a(m ? )( m ? 1) ? ?a ? 0 ? ? m ? 1 ? m ? 3 ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 a a a

c , a

? f ( x) 在(1,+∞)单调递增,? f (m ? 3) ? f (1) ? 0 ,即存在这样的 m 使 f (m ? 3) ? 0
7

1 (3)令 g ( x) ? f ( x) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ,则 g ( x) 是二次函数. 2
? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ][ f ( x2 ) ? ] ? ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 ? 0 2 2 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ), g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,? g ( x) ? 0 有两个不等实根,且方程 g ( x) ? 0 的根必有一个属于

( x1 , x2 ) .

8


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