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宁夏回族自治区2012届高三数学文科仿真模拟卷6


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宁夏回族自治区 2012 届高三数学文科仿真模拟卷 6
一、选择题 1.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x ? 2 x ? 0} ,则 A ? B =
2



) B.[-1,1] C. ? 0,1

? D. ? ?1,1?

A. (0,1)

2.若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?2, 4) ,则 c 等于 ( ) A.-a+3b B.a-3b C.3a-b 3.已知四棱锥 P—ABCD 的三视图如右图所示,则四棱锥 P—ABCD 的体积为 ( )

D.-3a+b

1 3 3 C. 4
A.

2 3 3 D. 8
B.

4.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图所示,则 f ( x) 的解析式是 A. f ( x) ? sin(3x ? C. f ( x) ? sin( x ?

?

2

) 的部分图象如
( )

?
3

)( x ? R)

B. f ( x) ? sin(2 x ? D. f ( x) ? sin(2 x ?

? ?
6 3

)( x ? R) )( x ? R)

?

3

)( x ? R)

5.阅读下列程序,输出结果为 2 的是 ( )

6.在 ?ABC 中, tan A ?
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1 3 10 ,则 tan C 的值是 , cos B ? 2 10

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( A.-1 ) B.1

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C. 3

D.-2

7.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 m ? ? , ? ? ? , 则m ? ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ? ; 其中正确命题的序号是 ( ) A.①③ B.①② ②若 ? / / ? , m ? ? , 则m / / ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? , 则m ? ? .

C.③④

D.②③

8.两个正数 a、b 的等差中项是 , 一个等比中项是 6, 且a ? b, 则双曲线 心率 e 等于 ( A. )

5 2

x2 y2 ? ? 1 的离 a 2 b2

3 2

B.

5 3

C.

13 3

D. 13

9. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在区间 (4, ??) 上为减函数, 且函数 y ? f ( x ? 4) 为偶函数, 则( ) B. f (2) ? f (5) C. f (3) ? f (5) D. f (3) ? f (6)

A. f (2) ? f (3)

10 . 数 列 {an } 中 , a3 ? 2, a7 ? 1 , 且 数 列 { ( A. ? )

1 } 是 等 差 数 列 , 则 a11 等 于 an ? 1

2 5

B.

1 2

C.

2 3

D.5

11 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

? x x ? 0, 2 若 f (2 ? x ) ? f ( x) , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ln( x ? 1), x ? 0. ?
( )

A. (??, ?1) ? (2, ??) B. (??, ?2) ? (1, ??) C. (?1, 2) 12.若函数 f ( x) ? D. (?2,1)

1 ax e 的图象在 x=0 处的切线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 相离,则 P(a, b) 与圆 b
( ) B.在圆内

C 的位置关系是 A.在圆外
第 2 页 共 8 页

C.在圆上

D.不能确定

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第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卷的相应位置上。 ) 13.复数 z ?

25 的共轭复数 z = 3 ? 4i



14.右图为矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撤 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影 部分的面积为 。 15. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, ?OF (O 若 A
2

为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 16.下列说法:
x n x



①“ ?x ? R, 使2 ? 3 ”的否定是“ ?x ? R, 使2 ? 3 ” ; ②函数 y ? sin(2 x ?

?

)sin( ? 2 x) 的最小正周期是 ? ; 3 6

?

③命题“函数 f ( x)在x ? x0 处有极值,则 f '( x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题;

? ④ f ( x)是(-?,0) (0,+?)上的奇函数,x ? 0 时的解析式是 f ( x) ? 2 , x ? 0 时 则
x

的解析式为 f ( x) ? ?2 . 其中正确的说法是 三、解答题。 17. (本小题 12 分) 。

?x

在 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc. (1)求角 A 的大小; (2)设函数 f ( x) ? sin

x x x 2 ?1 时,若 a ? 3 ,求 b 的值。 cos ? cos 2 , 当f ( B) ? 2 2 2 2

18. (本小题 12 分) 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据 x 6 8 10 5 12 6 y 2 3 (1)请画出上表数据的散点图;

? ? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)试根据(II)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力。

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? (相关公式: b ?

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ? , a ? y ? bx. )

2 i

? nx

2

19. (本小题 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P — ABCD 的 底 面 是 直 角 梯 形 , ?ABC ? ?BCD ? 90? , AB=BC=2CD=2,PB=PC,侧面 PBC ? 底面 ABCD,O 是 BC 的中点。 (1)求证:DC//平面 PAB; (2)求证: PO ? 平面 ABCD; (3)求证: PA ? BD. 20. (本小题 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 5(a ? 0).
3 2 2

(1)当函数 f ( x) 有两个零点时,求 a 的值; (2)若 a ?[3,6],当x ?[?4, 4] 时,求函数 f ( x) 的最大值。 21. (本小题 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0) 是长轴的一个四等分点, A、 点 a b
B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 C、D 两点,记直 线 AD、BC 的斜率分别为 k1 , k2 . (1)当点 D 到两焦点的距离之和为 4,直线 l ? x 轴时,求 k1 : k2 的值; (2)求 k1 : k2 的值。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 是⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD//AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC. (1)求证:A、P、D、F 四点共圆; (2)若 AE·ED=24,DE=EB=4,求 PA 的长。

参考答案
一、选择题 CBBBA ADCDB DB 二、填空题
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13. 3 ? 4i 三、解答题 14. 4.6

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2

15. y ? 8 x

16.①④

17. (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由余弦定理知 cos A ? 注意到在 ?ABC 中, 0 ? A ? ? ,所以 A ? (Ⅱ) 解: f ( x) ? sin

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

?
3

为所求. ┄┄┄┄┄┄4 分

x x x 1 1 1 2 ? 1 cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? , 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ?1 ? 得 sin( B ? ) ? 1,┄┄┄┄┄8 分 2 4

由 f ( B) ?

2 ? 1 sin( B ? ) ? ? 2 4 2

2 ? ? 11? ? ,所以 B ? , ?, ? B ? ? 3 4 4 12 4 a sin B 由正弦定理, b ? ? 2 , sin A
注意到 0 ? B ? 所以 b ?

2 为所求.

┄┄┄┄┄┄12 分

18. (Ⅰ)如右图:

┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 (Ⅱ)解:

i ?1

? x i y i =6 ? 2+8 ? 3+10 ? 5+12 ? 6=158,

n

x=
n

6 ? 8 ? 10 ? 12 2?3?5? 6 ?9, y = ? 4, 4 4
2

? xi
i ?1

? 62 ? 82 ? 102 ? 122 ? 344 ,

? ? 158 ? 4 ? 9 ? 4 ? 14 ? 0.7 , a ? y ? bx ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3 , ? b? 344 ? 4 ? 92 20
故线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 2.3 . ┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

(Ⅲ)解:由回归直线方程预测,记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. ┄┄┄┄12 分 19. (Ⅰ)证明:由题意, AB / /CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,所以 DC / / 平面 PAB .┄┄4 分 (Ⅱ)证明:因为 PB ? PC , O 是 BC 的中点,所以 PO ? BC ,
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又侧面 PBC⊥底面 ABCD, PO ? 平面 PBC , 面 PBC ? 底面 ABCD ? BC , 所以 PO ? 平面 ABCD . ┄┄┄┄┄┄8 分 (Ⅲ)证明:因为 BD ? 平面 ABCD ,由⑵知 PO ? BD , 在 Rt ?ABO 和 Rt ?BCD 中,

AB ? BC ? 2 , BO ? CD ? 1 , ?ABO ? ?BCD ? 90? ,
所以 ?ABO ? ?BCD ,故 ?BAO ? ?CBD , 即 ?BAO ? ?DBA ? ?CBD ? ?DBA ? 90? , 所以 BD ? AO ,又 AO ? PO ? O , 所以 BD ? 平面 PAO ,故 PA ? BD .

┄┄┄┄┄┄12 分

20. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a)(a ? 0) ,

a 3

a a ,由 f ?( x) ? 0 得 ?a ? x ? , 3 3 a a 所以函数 f ( x) 的增区间为 (??, ?a), ( , ??) ,减区间为 ( ? a, ) , 3 3
由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a ,或 x ? 即当 x ? ?a 时,函数取极大值 f (?a) ? a ? 5 ,
3

a a 5 3 时,函数取极小值 f ( ) ? ? ┄┄┄┄3 分 a ?5, 3 3 27 a 又 f (?2a) ? ?2a3 ? 5 ? f ( ), f (2a) ? 10a 3 ? 5 ? f (?a) , 3 a 所以函数 f ( x) 有两个零点,当且仅当 f (?a) ? 0 或 f ( ) ? 0 , 3 a 5 3 注意到 a ? 0 ,所以 f ( ) ? ? a ? 5 ? 0 ,即 a ? 3 为所求.┄┄┄┄6 分 3 27 a (Ⅱ)解:由题知 ?a ? [?6, ?3], ? [1, 2] , 3 当 ?a ? ?4 即 4 ? a ? 6 时, a a 函数 f ( x) 在 [?4, ) 上单调递减,在 ( , 4] 上单调递增, 3 3
当x ? 注意到 f (?4) ? f (4) ? 8(a ? 16) ? 0 ,
2
2 所以 f ( x) max ? f (?4) ? 4a ? 16a ? 59 ;

┄┄┄┄9 分

当 ?a ? ?4 即 3 ? a ? 4 时, 函数 f ( x) 在 [?4, ?a) 上单调增,在 ( ? a, ) 上单调减,在 ( , 4] 上单调增, 注意到 f (?a) ? f (4) ? a ? 4a ? 16a ? 64 ? (a ? 4) (a ? 4) ? 0 ,
3 2 2
2 所以 f ( x) max ? f (4) ? ?4a ? 16a ? 69 ;

a 3

a 3

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综上, f ( x ) max ? ?

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┄┄┄┄12 分

? 4a 2 ? 16a ? 59, 4 ? a ? 6, ? 2 ? ?4a ? 16a ? 69,3 ? a ? 4. ?

21. (Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率 e ?

c 1 ? , 2a ? 4 ,所以 a ? 2, c ? 1, b ? 3 , a 2
┄┄┄┄┄┄3 分

故椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 4 3

则直线 l : x ? ?1, A(?2,0), B(2,0) , 故 C (?1, ), D( ?1, ? ) 或 C (?1, ? ), D(?1, ) ,

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3 3 2 ? ? ,k ? 2 ? ? 1 , 当点 C 在 x 轴上方时, k1 ? 2 ?1 ? 2 2 ?1 ? 2 2 ?
所以 k1 : k2 ? 3 , 当点 C 在 x 轴下方时,同理可求得 k1 : k2 ? 3 , 综上, k1 : k2 ? 3 为所求. (Ⅱ)解:因为 e ?
2

┄┄┄┄┄┄6 分

1 ,所以 a ? 2c , b ? 3c , 2
2 2

椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c , A(?2c,0), B(2c,0) ,直线 l : x ? my ? c , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , 由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , ? x ? my ? c,

消 x 得, (4 ? 3m ) y ? 6mcy ? 9c ? 0 ,
2 2 2

? 6mc ? ? 6mc ? ? 6mc ? ? , ? y1 ? y2 ? 2 2 2(4 ? 3m ) 2(4 ? 3m ) 4 ? 3m 2 ? 所以 ? ┄┄┄┄┄┄8 分 2 ? y ? y ? 6mc ? ? ? 6mc ? ? ? ? 9c , ? 1 2 2(4 ? 3m2 ) 2(4 ? 3m2 ) 4 ? 3m2 ?
8c ? ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2c ? ? 3m 2 ? 4 , ? 故? 2 2 2 ? x ? x ? m 2 y y ? mc ( y ? y ) ? c 2 ? 4c ? 12m c , 1 2 1 2 ? 1 2 3m 2 ? 4 ?




k1 y2 ( x1 ? 2c) 3 3(2c ? x)(2c ? x) ? ,及 y 2 ? (4c 2 ? x 2 ) ? ,┄┄9 分 k2 y1 ( x2 ? 2c) 4 4

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k12 y 2 ( x ? 2c) 2 (2c ? x1 )(2c ? x2 ) 4c 2 ? 2c( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 22 1 ? ? , k2 2 y1 ( x2 ? 2c) 2 (2c ? x1 )(2c ? x2 ) 4c 2 ? 2c( x1 ? x2 ) ? x1 x2

将①代入上式得

k k

2 1 2 2

16c 2 4c 2 ? 12m 2 c 2 ? 36c 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 ? ? ? 9 ,┄┄10 分 16c 2 4c 2 ? 12m 2 c 2 4c 2 2 4c ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 4c 2 ?

注意到 y1 ? y2 ? 0, x1 ? 2c ? 0, x2 ? 2c ? 0 ,得 所以 k1 : k2 ? 3 为所求.

k1 y2 ( x1 ? 2c) ? ? 0 ,┄┄11 分 k2 y1 ( x2 ? 2c)

┄┄┄┄┄┄12 分

22. (Ⅰ)证明:? DE 2 ? EF ? EC ,?

又 ?DEF ? ?CED , ??DEF ? ?CED , ?EDF ? ?ECD , 又? CD / / PA,??ECD ? ?P

DE EF , ? CE ED

故 ?P ? ?EDF ,所以 A, P, D, F 四点共圆.┄┄┄┄5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)及相交弦定理得 PE ? EF ? AE ? ED ? 24 , 又 BE ? EC ? AE ? ED ? 24 ,

? EC ? 6, EF ?

DE 2 8 ? , PE ? 9, PB ? 5, PC ? PB ? BE ? EC ? 15 , EC 3

由切割线定理得 PA2 ? PB ? PC ? 5 ? 15 ? 75 , 所以 PA ? 5 3 为所求. ┄┄┄┄10 分

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