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北京市西城区2013届高三第二次模拟考试文科数学试题(word版)


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北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试

数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题

目要求的一项. 1.复数 i ? (1 ? i) ? (A) 1 ? i (B) ? 1 ? i (C) 1 ? i (D) ? 1 ? i

2.已知向量 a ? ( ? 3 ,1) , b ? ( 3 , ? ) .若 a 与 b 共线,则实数 ? ? (A) ? 1 (B) 1 (C) ? 3 (D) 3

3.给定函数:① y ? x ;② y ? 2 ;③ y ? co s x ;④ y ? ? x ,其中奇函数是
2
x

3

(A)①

(B)②

(C)③

(D)④

4.若双曲线 x ?
2

y k

2

? 1 的离心率是 2 ,则实数 k ?
1 3 1 3

(A) 3

(B) ? 3

(C)

(D) ?

5.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ? 1 7 ” 之值, 则判断框内可以填入 (A) k ? 1 0 (B) k ? 1 6 (C) k ? 2 2 (D) k ? 3 4

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6.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 (A) m ? n , n ∥ ? (C) m ? ? , n ? ? , n ? ? (B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知函数 f ( x ) ? e ? | x | .若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取
|x|

值范围是 (A) (0 ,1) (B) (1, ? ? ) (C) ( ? 1, 0 ) (D) ( ? ? , ? 1)

8.已知集合 {1, 2, 3, 4, 5} 的非空子集 A 具有性质 P :当 a ? A 时,必有 6 ? a ? A .则具有性 质 P 的集合 A 的个数是 (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

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共 110 分)

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知直线 l1 : x ? 3 y ? 1 ? 0 , l 2 : 2 x ? m y ? 1 ? 0 .若 l1 ∥ l 2 ,则实数 m ? ______.

10.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: c m )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x 甲 和 x 乙 , 则 x 甲 ______ x 乙 . (填入: ? ”“ ? ” “ , ,或“ ? ” )

11. 在△ A B C 中,B C ? 2 ,A C ?

7 ,B ?

? 3

, A B ? ______; A B C 的面积是______. 则 △

12.设 a , b 随机取自集合 {1, 2 , 3} ,则直线 a x ? b y ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 1 有公共点的概
2 2

率是 ______.

13. 已知命题 p : 函数 y ? ( c ? 1) x ? 1 在 R 上单调递增; 命题 q : 不等式 x ? x ? c ? 0 的解集
2

是 ? .若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是______.

??? ??? ? ? ? 0 ? O P ? O A ? 1, ? B 14. 在直角坐标系 x O y 中, 已知两定点 A (1, 0 ) , (1,1) . 动点 P ( x , y ) 满足 ? ??? ??? ? ? ?0 ? O P ? O B ? 2. ?

则点 P 构成的区域的面积是______;点 Q ( x ? y , x ? y ) 构成的区域的面积是______.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 { a n } 的各项均为正数, a 2 ? 8 , a 3 ? a 4 ? 4 8 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? lo g 4 a n .证明: { b n } 为等差数列,并求 { b n } 的前 n 项和 S n .

16. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 x O y 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单 位圆于点 A ,且 ? ? ?
? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B .记 6 2 3

A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) .

(Ⅰ)若 x 1 ?

1 3

,求 x 2 ;

(Ⅱ)分别过 A , B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ A O C 的面积为 S 1 ,△ B O D 的面积为 S 2 .若 S 1 ? 2 S 2 ,求角 ? 的值.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为侧棱

PD 上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示.

(Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: A E ∥平面 P F C ; (Ⅲ)证明:平面 P F C ? 平面 PCD .

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
2 3 x ? 2 x ? ( 2 ? a ) x ? 1 ,其中 a ? 0 .
3 2

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值.

19. (本小题满分 14 分) 如图, 椭圆 C : x ?
2

y

2

? 1 ( 0 ? m ? 1) 的左顶点为 A ,M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意

m

一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,
5 9 4 3 5 ) ,求 m 的值;

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 O P ? O M ,求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分)
, 已 知 集 合 S n ? { ( x , x2 ? 1 ,n x ) 1x | ? x , 2 , n是 正 整 数 1 , 2 , ? , n 的 一 个 排 列 x, 3 ,

} (n ?

2 ,函数 )

x ? 0, ?1, g (x) ? ? ? ? 1, x ? 0 .

对于 ( a 1 , a 2 , … a n ) ? S n ,定义:
bi ? g ( a i ? a 1 ) ? g ( a i ? a 2 ) ? ? ? g ( a i ? a i ? 1 ), i ? {2, 3, ? , n } , b1 ? 0 ,称 b i 为 a i 的满意指

数.排列 b1 , b 2 , ? , b n 为排列 a 1 , a 2 , ? , a n 的生成列. (Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3, 5,1, 4, 6, 2 的生成列;
? ? (Ⅱ)证明:若 a 1 , a 2 , ? , a n 和 a 1? , a 2 , ? , a n 为 S n 中两个不同排列,则它们的生成列也不
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同;

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(Ⅲ)对于 S n 中的排列 a 1 , a 2 , ? , a n ,进行如下操作:将排列 a 1 , a 2 , ? , a n 从左至右第一 个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列 的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 .

北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 6 ;
5 9

10. ? ; 13. (1, ? ? ) ;

11. 3 ,

3 3 2



12.



14. 2 , 4 .

注:11、14 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 设等比数列 { a n } 的公比为 q , 解: 依题意 q ? 0 . 1分 因为 a 2 ? 8 , a 3 ? a 4 ? 4 8 , 两
q ?q?6 ? 0,
2

??????





除 ??????3 分




q ? ?3 .



q ? 2



舍 ??????4 分



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a1 ? a2 q ? 4.

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以 ??????6

分 所 以
n ?1


? 2
n ?1

列 .

{a n }













a n ? a1 ? q

??????7 分
n ?1 2

(Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) b n ? lo g 4 a n ? 得 9分 因为 b n ? 1 ? b n ?
n?2 2 ?



??????

n ?1 2

?

1 2

, , 公 差 为 d ?
1 2

所 以 数 列 {b n } 列. 所
S n ? n b1 ? n ( n ? 1) 2 d ?

是 首 项 为 1

的 等 差 数

??????11 分 以
n ? 3n
2



??????13 分

4

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 由三角函数定义, x1 ? co s ? ,x 2 ? c o s (? ? 解: 得 2分 因为 ? ? ?
? ? 1 , ) , cos ? ? , 6 2 3
1 ? cos ? ?
2

? 3

).

??????

所以 s in ? ? 所
x 2 ? c o s (? ? ? 3 )? 1 2

2 3

2



??????3 分 以

cos ? ?

3 2

s in ? ?

1? 2 6 6


? 3

??????5 分

(Ⅱ)解:依题意得 y 1 ? sin ? , y 2 ? s in (? ? 所

).



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S1 ? 1 2 x1 y 1 ? 1 2 1 2 | x2 | y2 ? c o s ? ? s in ? ? 1 4 1 2

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??????7 分
? 3 )] ? sin ( ? ? ? 3 )? ? 1 4 sin ( 2 ? ? 2? 3 ) . ???

s in 2 ? , [ ? c o s(? ?

S2 ?

??9 分 依题意得 s in 2 ? ? ? 2 s in ( 2 ? ? 整
co s 2? ? 0 .

2? 3

),

理 ??????11 分
?? ? ? 2



因为 所
? ?
? 4

? 6

, 所以

? 3

? 2? ? ? ,



2? ?

? 2







??????13 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ B F C 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为
V P ? BFC ? ? 1 3 1 3 S ? BFC ? PA ?1 ? 2 ? 2 3

1 2

? 1 ? 2 ? 1 .??????1 分

??????2 分

??????3 分 ??????4 分 ??????



(Ⅱ) 证明: PC 中点 Q , 取 连结 EQ ,FQ . 5分 由正 (主) 视图可得 E 为 PD 的中点, 所以 E Q ∥ C D ,EQ ? 6分 又因为 A F ∥ C D , AF ? 所 以
FQ .
1 2 CD , 所以 A F ∥ E Q , AF ? EQ . 1 2

CD . ??????

四 边 形

AFQE

为 平

行 四 边 形 ,

所 以

AE



??????8 分 因为 AE ? 平面 P F C , FQ ? 平面 P F C ,

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PFC .

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直 线
AE









??????9 分

(Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所
PAD .



CD ?





??????11 分

因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所
P


C D

AE ?





. 因

??????12 分 ∥
FQ


D

AE







FQ ?





P

C .

??????13 分
FQ ?

因 为
P C .D

平 面

PFC



所 以

平 面

PFC ?

平 面

??????14 分

18.(本小题满分 13 分)
2 (Ⅰ) 解:f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ? ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a .

??????

2分 当 a ? 2 时, f (1) ? ?
1 3

, f ? (1) ? ? 2 ,
1 3 ? ? 2 ( x ? 1) ,

所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即
6x ? 3y ? 5 ? 0 .

??????4 分 解 : 方 程
f ?( x ? )







的0







? ? 8a ? 0 ,

??????5 分
f ?( x ) ? 0







x1 ? 1 ?

2a 2





x2 ? 1 ?

2a 2



??????6 分

f ( x ) 和 f ? ( x ) 的情况如下:
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x
( ? ? , x1 )

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x1

( x1 , x 2 )

x2

( x2 , ? ? )

f ?( x ) f (x)

?

0

?

0

?


2a 2


) , (1 ? 2a 2


, ?? ) ; 单 调 减 区 间 为

故 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (?? , 1 ?

(1 ?

2a 2

,1 ?

2a 2

).

??????9 分 ① 当 0 ? a ? 2 时, x 2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 ( 2 , 3) 上单调递增, 所
f (2) ? 7 3


? 2a .

f ( x)







[

2

, 上

3的 ] 最







??????10 分

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x 2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 ( 2 , x 2 ) 上单调递减,在区间
( x 2 , 3 ) 上单调递增,


5 3


a

f ( x)







[

2

, 上

3的 ] 最







f ( x2 ) ?

?a?

2a 3



??????12 分

③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x 2 ,此时 f ( x ) 在区间 ( 2 , 3) 上单调递减, 所 以
f ( x)







[

2

, 上

3的 ] 最







f (3) ? 7 ? 3 a .

??????13 分
7 3 ? 2 a ;当 2 ? a ? 8 时,

综上,当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是
5 3 a 2a 3

f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是

?a?

;当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小

值是 7 ? 3 a .

19. (本小题满分 14 分)
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(Ⅰ)解:依题意, M 是线段 A P 的中点, 因为 A ( ? 1, 0 ) , P ( ,
5 9 4 3 5 2 2 3 5 ),

所以 点 M 的坐标为 ( ,
5

).

??????2 分

由点 M 在椭圆 C 上, 所
4 25 ? 12 25m ?1,

以 ??????4 分 得 ??????6 分
y0 m
2


m ? 4 7



(Ⅱ)解:设 M ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ?
2

? 1 ,且 ? 1 ? x 0 ? 1 .



??????7 分 因为 M 是线段 A P 的中点, 所 以 ??????8 分

P ( 2 x 0 ? 1, 2 y 0 ) .

因为 O P ? O M , 所以 x 0 ( 2 x 0 ? 1) ? 2 y 0 ? 0 .
2

② 由 ①, 消去 y 0 , ② 整理得 m ? 11 分 所
m ?1? 1 2 ( x0 ? 2 ) ? 6 x0 ? 2 ?8 ? 1 2 ?

??????9 分
2 x0 ? x0
2

2 x0 ? 2
2



??????


3 4



??????13 分

当且仅当 x 0 ? ? 2 ? 所 以

3 时,上式等号成立.

m













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(0 , 1 2 ? 3 4 ].

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??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (
0


,? 1


,


2 .


, 1


,

n ? 6









3

,

5

,

1的 ,

4 , 生 ,成 6 列

2 为

4 , 3 ??????3 分

? ? ? ? a (Ⅱ) 证明: a 1 , a 2 , ? , a n 的生成列是 b1 , b 2 , ? , b n ; 1? , a 2 , ? , a n 的生成列是与 b1? , b 2 , ? , b n . 设 ? ? ? 从右往左数,设排列 a 1 , a 2 , ? , a n 与 a 1? , a 2 , ? , a n 第一个不同的项为 a k 与 a k ,即: ? ? ? ? a n ? a n , a n ?1 ? a n ?1 , ? , a k ?1 ? a k ?1 , a k ? a k . ? ? 显然 b n ? b n ,b n ? 1 ? b n ? 1 ,? ,b k ? 1 ? b k? ? 1 , 下面证明:b k ? b k? .

??????

5分 由满意指数的定义知,a i 的满意指数为排列 a 1 , a 2 , ? , a n 中前 i ? 1 项中比 a i 小的项的 个数减去比 a i 大的项的个数. 由于排列 a 1 , a 2 , ? , a n 的前 k 项各不相同, 设这 k 项中有 l 项比 a k 小, 则有 k ? l ? 1 项 比 a k 大,从而 b k ? l ? ( k ? l ? 1) ? 2 l ? k ? 1 .
? ? ? ? 同 理 , 设 排 列 a 1? , a 2 , ? , a n 中 有 l ? 项 比 a k 小 , 则 有 k ? l ? ? 1 项 比 a k 大 , 从 而 ? bk ? 2 l ? ? k ? 1 . ? ? ? 因为 a 1 , a 2 , ? , a k 与 a 1? , a 2 , ? , a k 是 k 个不同数的两个不同排列,且 a k ? a k ,

所以 l ? l ? , 从而 b k ? b k? . 所 同. 以 排 列
a1 , a 2 , ? , a n



? ? a 1? , a 2 , ? , a n













??????8 分

(Ⅲ)证明:设排列 a 1 , a 2 , ? , a n 的生成列为 b1 , b 2 , ? , b n ,且 a k 为 a 1 , a 2 , ? , a n 中从左至右 第 一 个 满 意 指 数 为 负 数 的 项 , 所 以

b1 ? 0, b 2 ? 0, ? , b k ? 1 ? 0, b k ? ? 1 .

??????9 分

依题意进行操作,排列 a 1 , a 2 , ? , a n 变为排列 a k , a1 , a 2 , ? a k ? 1 , a k ? 1 , ? , a n ,设该排列
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? ? b1? , b 2 , ? , b n .

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成 列 为 ??????10




? ? 所以 ( b1? ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? [ g ( a 1 ? a k ) ? g ( a 2 ? a k ) ? ? ? g ( a k ? 1 ? a k )] ? [ g ( a k ? a 1 ) ? g ( a k ? a 2 ) ? ? ? g ( a k ? a k ? 1 )]
? ?2 [g (ak ? a ) ? g (ka ? 2 a ) ? ? 1 ? g k a ?k 1a ( ? )]

? ? 2 bk ? 2 .

所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 . ??????13 分

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北京市西城区2013届高三第二次模拟考试数学理试题(Word解析版)

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