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2014届高三数学(理)一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 第12节导数的综合应用 Word版含解析






导数的综合应用

【选题明细表】 知识点、方法 参数范围及恒成立问题 不等式问题 实际应用题 一、选择题 1.已知函数 f(x)=x2+mx+ln x 是单调递增函数,则 m 的取值范围是 ( B ) 题号 1、5、7、8、9 2、4、10 3、6

(A)m>-2 (B)m≥-2

(C)m<2 (D)m≤2

解析:函数定义域为(0,+∞), 又 f'(x)=2x+m+ . 依题意有 f'(x)=2x+m+ ≥0 在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥则 g(x)=恒成立,设 g(x)=≤-2 , ,

当且仅当 x= 时等号成立. 故 m≥-2 ,

故选 B. 2.(2012 洛阳统考)函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f'(x)>1, 则不等式 ex· f(x)>ex+1 的解集为( (A){x|x>0} (B){x|x<0} (D){x|x<-1 或 0<x<1} A )

(C){x|x<-1 或 x>1}

解析:构造函数 g(x)=ex·f(x)-ex, 因为 g'(x)=ex·f(x)+ex·f'(x)-ex =ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0, 所以 g(x)=ex·f(x)-ex 为 R 上的增函数. 又因为 g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为 g(x)>g(0), 解得 x>0. 故选 A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0)=0),则导函数 y=S'(t) 的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数 S(t0)在 t0 时刻的瞬时变化率.

如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积 S(t)在 逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率 S'(t)也应逐渐增大;当 露出的是区域Ⅱ时,此时的 S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增 函数,故其瞬时变化率 S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但 S'(t)>0(故可 排除选项 B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数 值 S'(t)最终应等于 0,符合上述特征的只有选项 A.

4.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数 f'(x)的图象如图 所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则 的取值范围是( B )

(A)

(B)

(C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,所以 f(-4)=-f(4),所以 f(4)=1,所以 f(a+2b)<f(4),又由 f'(x)≥0,得 f(x)为增函数,所以 a+2b<4,而 a,b 为正数,所以 a+2b<4 所表示的区域为如图所示的直角三角形 AOB(不包 括 边 界 ), 其 中 A(0,4),B(2,0), 可 看 成 是 直 线 PM 的 斜 率 , 其 中

P(-2,-2),M(b,a) 在 直 角 三 角 形 AOB 的 内 部 ( 不 包 括 边 界 ), 所 以

kPB<kPM<kPA,而 kPA=

=3,kPB=

= ,所以 <kPM<3,故选 B.

5.(2012 淄博一检)已知 a≤ +ln x 对任意 x∈ ( A ) (B)1 (C)2 (D)3

恒成立,则 a 的最大值为

(A)0

解析:设 f(x)= +ln x= +ln x-1, 则 f'(x)=- + = . 当 x∈ 时,f'(x)<0, 上单调递减;

故函数 f(x)在

当 x∈(1,2]时,f'(x)>0, 故函数 f(x)在(1,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=0, ∴a≤0,即 a 的最大值为 0. 故选 A. 二、填空题 6.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y= x3- x2-40x(x>0),为使

耗电量最小,则速度应定为 解析:由 y'=x2-39x-40=0, 得 x=-1 或 x=40, 由于 0<x<40 时,y'<0; 当 x>40 时,y'>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值. 答案:40

.

7.关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值范围 是 .

解析:方程可化为 a=x3-3x2, 设 f(x)=x3-3x2, 则 f'(x)=3x2-6x, 由 f'(x)>0,得 x>2 或 x<0; 由 f'(x)<0,得 0<x<2, 所以 f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减, 故 f(x)在 x=0 处有极大值,f(0)=0. 在 x=2 处有极小值 f(2)=-4. 要使方程有三个不同的实根,则有-4<a<0. 答案:(-4,0) 8.(2012 天津模拟)函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值, 则 a 的取值范围是 解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2), .

令 3x2+6ax+3(a+2)=0, 即 x2+2ax+a+2=0. 因为函数 f(x)既有极大值又有极小值, 所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根, 即Δ=4a2-4a-8>0, 解得 a>2 或 a<-1. 答案:a>2 或 a<-1 三、解答题 9.(2012 银川模拟)设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0), (1)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, ①求实数 a,b 的值; ②求函数 f(x)在 上的最大值. ,x∈(1,e2]都成立,求实数

(2)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈ m 的取值范围. 解:(1)①f'(x)= -2bx, ∵函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, ∴ 解得

②f(x)=ln x- x2, f'(x)= -x= 当 ≤x≤e 时, 令 f'(x)>0 得 ≤x<1; 令 f'(x)<0,得 1<x≤e, ∴f(x)在 上单调递增,在[1,e]上单调递减, ,

∴f(x)max=f(1)=- . (2)当 b=0 时,f(x)=aln x,不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈ 即 aln x≥m+x 对所有的 a∈ 即 m≤aln x-x 对所有的 a∈ 令 h(a)=aln x-x, 则 h(a)为一次函数,m≤h(a)min. ∵x∈(1,e2], ∴ln x>0, ∴h(a)在 a∈ 上单调递增, ,x∈(1,e2]都成立, ,x∈(1,e2]都成立, ,x∈(1,e2]都成立,

∴h(a)min=h(0)=-x, ∴m≤-x 对所有的 x∈(1,e2]都成立.

∵1<x≤e2, ∴-e2≤-x<-1, ∴m≤(-x)min=-e2. 10.设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. (1)解:∵f'(x)=ex-2, 由 f'(x)<0 可得,x<ln 2; 由 f'(x)>0 可得 x>ln 2, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,ln 2), 单调递增区间为(ln 2,+∞). 当 x=ln 2 时,有极小值 f(ln 2)=2(1-ln 2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g'(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln 2-1 时, g'(x)的最小值为 g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g'(x)>0, 所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞), 都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0, 从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0,

即 ex-x2+2ax-1>0, 故 ex>x2-2ax+1.


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