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2014高中数学 4-2-2 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2


4.2.2

圆与圆的位置关系

1.已知两圆C1和C2的半径分别为r1、r2,圆心距为d

两圆相离? d>r1+r2
两圆相外切?d=r1+r2 两圆相交? |r2-r1|<d<r2+r1 两圆相内切? d=|r2-r1| 两圆内含? 0≤d<|r2-r1|

>2.已知两圆x2+y2=1与x2+y2+2x-y=0交于A、B两
点,则直线AB方程为 2x-y+1=0 .

3.试判断下列两圆的位置关系填空: (1)x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6x-28=0 内含 .
∵C1(-3,0), r1= 13; C2(-3,0), r2= 37, ∴两圆内含.

(2)x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-2x+4y=0 相交 .
∵C1(2,-3),r1= 13;C2(1,-2),r2= 5, 13- 5 <|C1C2|= 2< 13+ 5,∴两圆相交. 4.已知圆 x2+y2=1 和(x+4)2+(y-a)2=25 相切,则 a

2 5 = 0 或±



∵C1(0,0),r1=1;C2(-4,a),r2=5,∴若|C1C2|=r1+ r2=6,则 a=± 2 5;若|C1C2|=r2-r1=4,则 a=0.

本节学习重点:圆与圆的位置关系. 本节学习难点:圆的方程的综合问题.

2 1.判断两圆 C1:(x-a)2+(y-b)2=r1 与 C2:(x-c)2

+(y-d)2=r2 2的位置关系,主要是用几何法.

*2.过两圆交点的直线方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0. ① ②

①-②得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ (1)若圆C1与C2相交,则③为过两圆交点的弦所在的直

线方程.
(2)若圆C1与C2半径相等,则③表示两圆的对称轴,事 实上,可以证明直线③过两圆连心线的中点且与两圆连心 线垂直.

*3.圆系方程: ①同心圆系:与圆 x2+ y2+ Dx +Ey +F = 0同心的圆的

方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0.
②相交圆系:过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2 + D2x + E2y + F2 = 0 的交点的圆的方程可设为 (x2 + y2 + D1x +E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1),λ=-1 时为两圆相交弦所在直线方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-

F2) = 0 ,特别此两圆相切时,此方程表示两圆的公切线方
程.

③过直线l:Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=

0(D2+E2-4F>0)的交点的圆的方程可设为 x2+y2+Dx+Ey
+F+λ(Ax+By+c)=0.

[例1] 判断下列两圆的位置关系.
(1)x2+y2+2x=0与x2+y2+4y=0. (2)x2+y2+x-2y=0与x2+y2-6x+8y+24=0. [解析 ] (1) 圆心C1(-1,0)、C2(0,-2),半径r=1 ,R =2,圆心距离d=,R-r<d<R+r,故两圆相交.

(2)同(1)的方法可知两圆外离.
[ 点评 ] 判断两圆的位置关系一般用几何法,而不用 代数法,因为用代数法计算量大,且联立方程组消元后, 若只有一解,未必两圆相切(如圆x2+y2=4与(x-2)2+y2=9 相交,但消去y后关于x的方程只有一解).

已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+
y2+2x-2my+m2-3=0,(1)若圆C1与圆C2相外切,则m= ________ , (2) 若 圆 C1 与 圆 C2 内 含 , 则 m 的 取 值 集 合 为 ________. [答案] (1)-5或2 (2){m|-2<m<-1}

[解析] C1:(x-m)2+(y+2)2=9.
C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果C1与C2外切,则有

(m+1)2+(m+2)2=3+2, ∴m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 2. (2)如果 C1 与 C2 内含,则有 (m+1)2+(m+2)2<3-2,
(m+1)2+(m+2)2<1,∴m2+3m+2<0, ∴-2<m<-1,

∴当m=-5或m=2时,C1与C2外切;
当-2<m<-1时,C1与C2内含.

[例2]
弦长. [ 分析 ]

已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+

y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共 因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联

立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的两个交点所在的直

线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
[ 解析 ] 设两圆交点为 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) ,则 A 、 B 两点坐标是方程组

①-②得 3x-4y+6=0. ∵A、B两点坐标都满足此方程,

∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.

|-1×3-4×3+6| 9 又 C1 到直线 AB 的距离为 d= = . 2 2 5 3 +4 ∴|AB|=2 r -d =2 24 即两圆的公共弦长为 . 5
2 2

3

2

?9? 24 2 -?5? = 5 . ? ?

⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为x2+
y2 + 2x+2y-2 =0,判断⊙A和⊙ B是否相交,若相交,求 过两交点的直线的方程及两交点间的距离;若不相交,说 明理由. [解析] ⊙A:(x-1)2+(y-1)2=9的圆心A(1,1),半径

r=3,
⊙B:(x+1)2+(y+1)2=4的圆心 B(-1,-1),半径R =2,

∴两圆心之间的距离|AB|= (1+1)2+(1+1)2=2 2, 满足 1<|AB|<5. ∴两圆相交,⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别
相减得- 4x -4y - 5= 0,即4x +4y +5 =0 为过两圆交点的 直线的方程.

设两交点分别为C、D,则直线CD方程为:4x+4y+5
=0,
|4×1+4×1+5| 13 点 A 到直线 CD 的距离为 d= = 2. 2 2 8 4 +4 由勾股定理,得: |CD|=2 DA -d =2
2 2

169 238 9- = . 32 4

[ 点评 ]

判断两圆相交的方法,常用两圆心之间的距

离 d 与两圆半径的和及差的绝对值比较大小 .即当 |R -
r|<d<R+r时,两圆相交.求相交两圆的公共弦长及其方程 一般不用求交点的方法,常用两方程相减法消去二次项, 得公共弦的方程,用勾股定理求弦长.

[例3] [ 分析 ] 方项得到. [解析]

求以两圆C1:x2+y2+2x-3=0,C2:x2+y2- 由圆系方程设出所求圆的方程.再结合圆心

4x-5=0的交点为直径的圆的方程.

必在二圆公共弦上,而公共弦方程由二圆方程相减消去平
设过C1、C2交点的圆方程为:(x2+y2+2x-3)

+λ(x2+y2-4x-5)=0.

整理得: (1+λ)x2+(1+λ)y2+(2-4λ)x-(3+5λ)=0,
? 1-2λ 3+5λ ? ? ? , 其圆心?- ?在两圆 1 + λ 2(1 + λ ) ? ?

C1、C2 的公共弦所在直线

3x+1=0 上. 1-2λ 2 ∴-3· +1=0,∴λ= 7 1+λ 故所求圆的方程为 9x2+9y2+6x-31=0.

[点评]

1°公共弦为直径,∴圆心在公弦线上,又在

连心线上,由此可得圆心坐标,半径为弦长的一半.
2°可以先联立两圆的方程组成方程组解出交点坐标, 然后由中点坐标公式和两点间距离公式求圆心和半径,但 计算量较大.

过圆x2+y2 +2x-4y - 5=0 和直线2x+y+ 4 =0的交点,

且圆心在直线y=x上的圆的方程为____________.
[答案] x2+y2-10x-10y-29=0 [解析] =0. 即x2+y2+(2+2λ)x+(λ-4)y+4λ-5=0 设圆的方程为x2+y2+2x-4y-5+λ(2x+y+4)

λ 其圆心坐标为(-λ-1,2-2), λ 由圆心在直线 y=x 上知 2-2=-λ-1

∴λ=-6,∴圆的方程为:x2+y2-10x-10y-29=0. 解法探讨:1° 过已知圆的圆心(-1,2)与已知直线 2x+y 1 +4=0 垂直的直线方程为 y-2=2(x+1). 即 x-2y+5=0 经过所求圆的圆心,

以下求半径:①(x-5)2+(y-5)2=r2与x2+y2+2x-4y -5=0相减得直线方程为2x+y+4=0,可得r2=79.

②由弦长、弦心距求r.
③由圆系方程圆心求r.

2°由直线与圆方程联立可解出两交点A、B坐标,因 为圆心C在直线y=x上,故可设C(x0,x0),可由|CA|=|CB|

求出x0.

[例4]
圆的方程.

(1)求圆心为C(1,2),且与定圆x2+y2=4相切的

(2) 求半径为 1 ,且与定圆 x2 + y2 = 9 相切的动圆圆心的 轨迹方程.
[解析] (1)设所求圆半径为 r,∵C 点在圆 x2+y2=4

外,∴两圆外切时 r+2= 5,∴r= 5-2, 圆方程为(x-1)2+(y-2)2=( 5-2)2, 两圆内切时,r-2= 5,∴r= 5+2, ∴圆方程为(x-1)2+(y-2)2=( 5+2)2.

(2)设所求圆圆心 C(x,y),内切时有 x2+y2=2, ∴所求圆方程为 x2+y2=4, 同理外切时,所求圆方程为 x2+y2=16.

半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y

=0相切的圆的方程为________.
[ 答案 ] (x - 2 - 2 10)2 + (y - 4)2 = 16 ,或 (x - 2 + 2 10)2+(y-4)2=16,或(x-2-2 6)2+(y+4)2=16,或(x -2+2 6)2+(y+4)2=16 [解析] 因为所求圆与直线y=0相切且半径为4,所以

设圆心坐标为O1(a,4)(或O1(a,-4)),且方程为(x-a)2+(y
-4)2=42或(x-a)2+(y+4)2=42,已知圆x2+y2-4x-2y- 4=0的圆心为O2(2,1),半径为3,

①若两圆外切,则|O1O2|=3+4=7. ∴(a-2)2+(4-1)2=72.(或(a-2)2+(-4-1)2=72). ∴a =2± 2 10(或 a=2± 2 6) 此时所求圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=42,或(x -2+2 10)2+(y-4)2=42,或(x-2-2 6)2+(y+4)2=42, 或(x-2+2 6)2+(y+4)2=42. ②若两圆内切,则|O1O2|=4-3=1 ∴(a-2)2+(4-1)2=12 或(a-2)2+(-4-1)2=12,但方 程无解

即所求的圆不能与已知圆内切,故所求圆的方程为(x- 2-2 10)2+(y-4)2=16,或(x-2+2 10)2+(y-4)2=16, 或(x-2-2 6)2+(y+4)2=16,或(x-2+2 6)2+(y+4)2= 16.

[点评] 本题易形成下面错解: 因为所求圆与直线y=0相切且半径为4,所以设圆心的

坐标O1(a,4),且方程为(x-a)2+(y-4)2=42.
又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0,即(x-2)2+(y-1)2= 32.圆心为O2(2,1),半径为3.

又由于两圆相切,则 |O1O2|=3+4=7.∴(a-2)2+(4 -1)2=72.∴a=2± 2 10. 故所求的圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=42 或 (x-2+2 10)2+(y-4)2=42.
错误的原因是:①圆与直线y=0相切,圆半径为4,圆 心的纵坐标不一定为4,也可以是-4;②两圆相切不一定 是外切、也可能内切,故解题时考虑问题要周到细致.

一、选择题 1 .若两圆 x2 + y2 = m 与 x2 + y2 + 6x - 8y - 11 = 0 有公共

点,则实数m的取值范围是
A.m<1 C.1≤m≤121 [答案] C
[ 解析 ]

(
B.m>2 D.1<m<121

)

由 |r2 - r1|≤d≤r2 + r1 得: |6 - m |≤5≤6 +

m,∴1≤m≤121,故选 C. 用数形结合法,画图观察易得.

2.已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于 点(2,1)对称,则圆C2的方程是 ( )

A.(x-3)2+(y-5)2=25
B.(x-5)2+(y+1)2=25 C.(x-1)2+(y-4)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=25 [答案] B

[ 解析 ]

设 ⊙ C2 上任一点 P(x , y) ,它关于 (2,1) 的对称

点(4-x,2-y)在⊙C1上, ∴(x-5)2+(y+1)2=25.

3.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交 点为A、B,则线段AB的垂直平分线方程为( )

A.x+y-1=0
C.x-2y+1=0 [答案] A [解析 ]

B.2x-y+1=0
D.x-y+1=0

直线 AB的方程为: 4x - 4y + 1 = 0 ,因此线段

AB的垂直平分线斜率为- 1 ,过圆心 (1,0) ,方程为y =- (x

-1),故选A.
[ 点评 ] 两圆相交时,公共弦的垂直平分线过两圆的 圆心,故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线.

二、填空题

4.直线 y=x+m 与曲线 x= 9-y2恒有公共点,则 m 的取值范围是__________.

[答案]
[解析]

-3 2≤m≤3
由数形结合法,直线过半圆上的点(0,3)时,m

取最大值 3.直线与半圆相切时, m 取最小值-3 2, ∴-3 2 ≤m≤3.

[点评]

像本题这样,直线与曲线(圆)的一部分有公共

点的问题,适宜用数形结合法解决.

5.直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+m=0相交于A, B两点,且OA⊥OB,O为坐标原点,则m=______.

[答案] 0
[解析] 注意观察直线方程和圆方程中数值特征, 会

5 发现圆心(0,2)在直线 3x+4y-10=0 上

∴AB 为圆的直径,从而由 OA⊥OB 可知,原点 O 在圆

上,∴m=0.


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