nbhkdz.com冰点文库

复变函数课件


第一章 复数与复平面
1. 复数域

目录

2. 复平面

3.复球面及无穷大

§1 复数及其几何表示
1、复数域

(1)复数的概念 形如 z ? x ? iy 的数称为复数 复数


z ? x ? yi

r />如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等,那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部,分别记作 y ? Im z x ? Re z 及
虚部为零,即Imz ? 0的复数就可看作实数,即
x ? i?0 ? x

记作z ? Re z

实部为零,即 Re z ? 0的复数称为纯虚数, 即
0 ? x ? iy ? iy

记作

z ? i Im z

如果 Im z ? 0, 那么z称为虚数.全体复数所成的集 记作C,R是C的一个子集.

对实数引进加、减、乘、除运算,并且运算满足 一些法则(交换律、结合律、分配律等).这样 就是在集R上引进一个代数结构,使其成为实数 域R.对复数也可以引进加、减、乘、除运算.复 数的运算由以下定义

(2)复数的代数运算 (A)复数的加(减)法

z1 ? z2 ? ( x1 ? x2 ) ? i( y1 ? y2 )
(B)复数的乘法

z1 ? z2 ? ( x1 ? iy1 )( x2 ? iy2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) ? i ( x1 y2 ? y1 x2 )
(C)复数的除法
z1 x1 x2 ? y1 y2 x2 y1 ? x1 y2 ? ?i 2 2 z2 x 2 ? y2 x 2 2 ? y2 2

复数的运算法则

z1 ? z2 ? z2 ? z1 , z1 z2 ? z2 z1

(交换律)

z1 ? ( z 2 ? z3 ) ? ( z1 ? z 2 ) ? z3 ? ? (结合律) z1 ( z 2 z3 ) ? ( z1 z 2 ) z3 ?

z1 ( z2 ? z3 ) ? ( z1 z2 ? z1 z3 )
注意

(分配律)

一般说来,任意两个复数不能比较大



2、复平面
(1) 复平面的定义
复数 z ? x ? iy 与有序实数对( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
y
z ? x ? iy
? ( x, y)

复数 z ? x ? iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.

y

这时平面或集R2 ? {( x, y ) | x及y ? R}称为平面R2 .

o

x

x

在复平面上,实轴在原点右方及左方的部分分别 称为正实轴和负实轴; 在复平面上,虚轴在原点上方及下方的部分分别 称为上半虚轴和下半虚轴; 实轴上方及下方的半平面分别称为上半平面
和下半平面; 虚轴右方及左方的半平面分别称为右半平面和 左半平面; 复平面C 有时按照表示复数的字母z , w , 称为z平面,w平面,等等。 而

(2) 复数的向量表示及复数的等价类
复数除了可以用复平面C 上的点表示外,还可以用C 上的 向量来表示.以下首先介绍一下复数的等价类:

把复平面C 上一切向量所组成的集记作V .V中向量可以分成 一些等价类:

一向量经过平行移动(把平行移动记作“关系P”) 而得的所有向量,与原向量构成一个等价类. 集V 对于关系P的所有等价类构成一个新的集,称为 集V对于关系P的商集,记作V / P . 复数z ? x ? iy( z及y ? R )可以用在实轴及虚轴上的 投影分别是x及y的任一向量来表示,亦即可用一 个等价类中的任一向量来表示 . 有时我们把 “复数”与“向量”用作同义语.

(3) 复数的模

复数 z ? x ? iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
向量的长度称为 z 的模.

记为 z ? r ? x 2 ? y 2 .
显然下列各式成立

y y

r

Pz ? x ? iy

x ? z, z ? x ? y,

y ? z,
z?z ? z .
2

o

x

x

y y

(4) 复数的辐角

在 z ? 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 ? 称为 z 的辐角, 记作 Argz ? ? .
说明

o

r ?

Pz ? x ? iy

x

x

任何一个复数 z ? 0有无穷多个辐角,
那么 z 的全部辐角为

如果? 1 是其中一个辐角 ,

Argz ? ? 1 ? 2kπ ( k为任意整数).

特殊地, 当 z ? 0 时, z ? 0,

辐角不确定.

(5)辐角主值的定义:

在 z ( ? 0) 的辐角中 , 把满足 ? π ? ? 0 ? π 的 ? 0 称为 Argz 的主值, 记作? 0 ? arg z . y ? x ? 0, z ? 0 辐角的主值 ? arctan x , π ? x ? 0, y ? 0, ? ? 2, arg z ? ? ? arctan y ? π , x ? 0, y ? 0, x ? ? x ? 0 , y ? 0. π, ?
(其中 ? ? y ? ? arctan ? ) 2 x 2

(6)利用平行四边形法求复数的和差

两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致. y
y

z2 z1
o

z1 ? z2

z2 z1
o x

x

? z2

z1 ? z2

(7) 复数和差的模的性质

因为 z1 ? z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;
y

z2
o

z2

z1 ? z2

z1
x

( 2) z1 ? z2 ? z1 ? z2 .

z1

(8) 共轭复数
称实部相同而虚部为相反数的两个数x+iy和x-iy为 共轭复数,简称共轭复数。 与z=x+iy共轭的复数记为 ,即

z ? x ? iy ? x ? iy
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
o

z y

? z ? x ? iy
x

? z ? x ? iy

复数的共轭运算 根据共轭复数的定义,不难证明共轭复数具有

如下性质

(1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;

(2) z1z2 ? z1 z2 ;

? z1 ? z1 (3) ? ?z ? ?? z ? 2? 2
(5)
2

(z2 ? 0); (4) z ? z;
2 2

z z ? (Re z ) ? (Im z ) ? z ;

(6) z ? z ? 2 Re z, z- z ? 2i Im z.

利用共轭复数的概念,还可以得到几个关于复

数模的重要公式:

z1 ? z2
由于

2

? z1 ? z2

2

2

? 2 Re( z1 z2 ),

| z1 ? z2 |2 ? ( z1 ? z2 )( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z2 )( z1 ? z2 ) ? z1 z1 ? z2 z2 ? z1 z2 ? z1 z2

?| z1 |2 ? | z2 |2 ? z1 z2 ? z1 z2
?| z1 |2 ? | z2 |2 ?2Re( z1 z2 )
同理可得

z1 ? z2

2

? z1

2

? z2

2

? 2 Re( z1 z2 ).

把复数写成三角形式,还可以有以下重要结论: z1 ?| z1 | (cos Argz1 ? i sin Argz1 ) 由于 z2 ?| z2 | (cos Argz2 ? i sin Argz2 ) ? z1 z2 ?| z1 || z2 | (cos Argz1 ? i sin Argz1 )(cos Argz2 ? i sin Argz2 )
?| z1 || z2 | (cos Argz1 cos Argz2 ? i cos Argz1 sin Argz2 ? i sin Argz1 cos Argz2 ? sin Argz1 sin Argz2 ) ? ?| z1 || z2 |[cos( Argz1 ? Argz2 ) y z ? i sin( Argz1 ? Argz2 )] ?| z1 z2 |?| z1 || z2 |, Arg( z1 z2 ) ? Arg ( z1 ) ? Arg ( z2 )
o

r
?
1

?

z1
?

r1
2

?

?

r2

z2
x

结论:两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 ? 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .

由除法定义,我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 ? i sin Argz1 ) ? z2 | z2 | (cos Argz2 ? i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 ? i sin Argz1 )(cos Argz2 ? i sin Argz2 ) ? | z2 | (cos Argz2 ? i sin Argz2 )(cos Argz2 ? i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 ? Argz2 ) ? i sin( Argz1 ? Argz2 )] ? | z2 | (cos 2 Argz2 ? sin 2 Argz2 ) | z1 | ? [cos( Argz1 ? Argz2 ) ? i sin( Argz1 ? Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg ? z1 ? ? Argz ? Argz ? ? , ? ? 1 2 z z2 | z2 | ? 2?

结论:两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.

例 作出过复平面C 上不同两点a , b的直线及过不共线三

点a , b, c的圆的表示式.
z1 z1 | z1 | ? , Arg ? Argz1 ? Argz2 z2 z2 | z2 | a 可见 arg 表示向量a及b的一个夹角.上述a , b两 b 点所决定直线上任一点z的特征是:向量z ? a及
解 由式

b ? a的一个夹角是0或 ? ? ,即 z?a arg ? 0或 ? ? . b?a z?a 从而所求直线的表示式是 Im ? 0. b?a

上述a , b, c三点所决定的圆上任一点的特征是:
或者与它互补,即

向量z ? a及z ? b的夹角,等于向量c ? a及c ? b的夹角,

z?a c?a z?a c?a arg ? arg ? arg( / ) ? 0或 ? ? . z?b c?b z?b c?b z?a c?a 从而所求圆的表示式是 Im( / )?0 z?b c?b

(9)复数的乘幂与方根
1. n次幂:

n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂, 记作 z n ,
z n ? 14442 z ? z ?L ?z 444 3.
n个

当n ? 0( z 0 ? 1)时也成立. 对于任何正整数 n, 有 z n ?| z |n [cos( nArgz ) ? i sin( nArgz )].

如果我们定义 z

?n

1 ? n , 那么我们有 z

z ? n ?| z |? n [cos( ? nArgz ) ? i sin( ? nArgz )].
因此对于任意整数m , 下列公式成立:

z m ?| z |m [cos(mArgz ) ? i sin(mArgz )].

1 ? ? 例1 已知 z1 ? (1 ? 3i ), z2 ? sin ? i cos , 2 3 3 z1 求 z1 ? z2 和 . z2 ?? ?? ? ? 解 因为 z1 ? cos? ? ? ? i sin? ? ?, ? 3? ? 3? ? ?? ? ?? z2 ? cos? ? ? ? i sin? ? ?, ? 6? ? 6? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?i , 所以 z1 ? z2 ? cos? ? ? ? ? i sin? ? ? ? ? 3 6? ? 3 6? z1 ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? 1 i. ? cos? ? ? ? ? i sin? ? ? ? z2 ? 3 6? ? 3 6? 2 2

点为 z1 ? 1 和z2 ? 2 ? i , 例2 已知正三角形的两个顶 求它的另一个顶点 .
y



如图所示,
o

z3
z2 ? 2 ? i
? 3
x

将表示 z2 ? z1 的向量

z1 ? 1 ? ? z? 3 绕 z1 旋转 (或 ? )就得 3 3 到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z? 3 ).

? 因为复数 e 的模为1, 转角为 , 3

? i 3

z3 ? z1 ? e ( z2 ? z1 )

? i 3

3 ? ?1 ?? ? i ?(1 ? i ) ?2 2 ? 3? ?1 3? ?1 ?? ? ??? ? ?i ?2 2 ? ?2 2 ?
o

y

z3
z2 ? 2 ? i
? 3

z1 ? 1

x

z? 3

3? 3 1? 3 3? 3 1? 3 所以 z3 ? ? i , z? ? i. 3 ? 2 2 2 2

2.棣莫佛(de Moivre)公式
当 z 的模 r ? 1, 即 z ? cos? ? i sin? ,

(cos? ? i sin? )n ? cos n? ? i sin n? . 棣莫佛公式

3. 方程 w n ? z 的根 w , 其中 z 为已知复数.
? ?1 ? ?1 ?? w ? z ? ? | z | ? cos ? Argz ? ? i sin ? Argz ? ? ?n ? ?n ?? ?
n 1 n

(k ? 0,1,2,L , n ?1)

推导过程如下:

? ?1 ? ?1 ?? w ? z ? ? | z | ? cos ? Argz ? ? i sin ? Argz ? ? ?n ? ?n ?? ? 设 z ?| z | (cos Argz ? i sin Argz ), w ?| w | (cos Argw ? i sin Argw ),
n 1 n

w ?| w | (cos(nArgw ) ? i sin(nArgw ))
n n

?| z | (cos Argz ? i sin Argz ),

于是 |w| ?| z |, cos( nArgw ) ? cos Argz ,
n

sin( nArgw ) ? sin Argz ,

显然 nArgw ? A rg z ,

1 故 |w| ?| z | , Argw ? Argz , n 1 ? ?1 ? ?1 ?? n n w ? z ? ? | z | ? cos ? Argz ? ? i sin ? Argz ? ? ?n ? ?n ?? ?

1 n

由上式右边可得z n的n个不同的值,其中 ? n | z |表示 | z | n 的正值.

? ?1 ? ?1 ?? w ? z ? ? | z | ? cos ? Argz ? ? i sin ? Argz ? ? n n ? ? ? ?? ? 1 1
n 1 n

只要固定Argz的某一个值,设此值为?,然后在上式
的右边用下列n个值代替Argz;? ,? ? 2? ,? ? 4? ,L ,? ? ( n ? 1)2? .

即当 k ? 0,1, 2,L , n ? 1 时, 得到 n 个相异的根:

? ?? ? w0 ?| z | ? cos ? i sin ? , n n? ? 1 ? ? 2π ? ? 2π ? n ? w1 ?| z | ? cos ? i sin , ? n n ? ?
1 n

? ? 2( n ? 1)π ? ? 2( n ? 1)π ? ? wn?1 ?| z | ? cos ? i sin . ? n n ? ? 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
1 n

LLL,

? ?1 ? ?1 ?? w ? z ? ? | z | ? cos ? Argz ? ? i sin ? Argz ? ? ?n ? ?n ?? ? 例如 k ? n 时,
n 1 n

? ? 2nπ ? ? 2nπ ? ? wn ? ? | z | ? cos ? i sin ? n n ? ?
1 n

? ?? ? ? ? | z | ? cos ? i sin ? ? w0 . n n? ?
1 n

从几何上看,
1 n

n

z 的 n 个值就是以原点为中心 ,

? | z | 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.

4、复球面及无穷大
在点坐标是(x , y , u)的三维空间中,把xoy 平面看作就是z ? x ? iy平面,考虑球面S: x 2 ? y 2 ? u2 ? 1 取定球面上一点(0,0,1),称为球极.
作连接N 与xoy平面上任意一点A(x , y ,0)的直线, 并且设这直线与球面的交点是A?( x?, y?, u? ).那么A?称为A在球 面上的球极射影.由于( x , y ,0),( x?, y?, u?)及(0, 0,1)共线,我们 ? ? ? 有x : y : ?1 ? x? : y? : u? ? 1, 从而 x ? 0 ? y ? 0 ? u ? 1, x ? 0 y ? 0 0 ?1 x? ? iy? ? ? ? ? 于是有 x ? x(1 ? u ), y ? y(1 ? u ) ? z ? x ? iy ? . 1 ? u?
2 2 2 , 即( x?)2 ? ( y?)2 ? 1 ? u 2 又 ( x?) ? ( y?) ? u ? 1

2 2 2 ? ? ? ( x ) ? ( y ) 1 ? ( u ) 1 ? u? 2 2 2 ? | z | ? zz =x ? y ? ? ? , 2 2 (1 ? u? ) (1 ? u?) 1 ? u?

前面已证
2 2 2 ? ? ? ( x ) ? ( y ) 1 ? ( u ) 1 ? u? 2 2 2 | z | ? zz =x ? y ? ? ? , 2 2 (1 ? u? ) (1 ? u?) 1 ? u?

所以

| z |2 ?1 u? ? 2 | z | ?1

z?z | z |2 ?1 z ? z 2 z?z ? ? x ? x(1 ? u ) ? (1 ? )? ( )? 2 2 2 2 1? | z | 2 1? | z | | z | ?1
同理

z?z | z |2 ?1 z ? z 2 z?z ? ? y ? y(1 ? u ) ? (1 ? )? ( )? 2 2 2i 1? | z | 2i 1? | z | i (| z |2 ?1)

这样,在复平面C与S ? { N }之间建立了一个双射.

如果一点z的模愈大,那么它的球极射影就愈接近于球极N . 由于在球上只有一个球极N,我们约定复平面上有一个 理想的点,称为无穷远点,其球极射影为N;无穷远点
及N 分别可看作一个新引进的非正常复数无穷大(即?) 在平面及球面上的几何表示. 集C 集C ? , 复平面C {? }称为扩充复数 {? }称为扩充复平面C ? .于是在球面S、

扩充复平面C ? 及扩充复数集C ? 之间分别建立了双射。 这种球面S称为复球面S.引进复球面即相应地对C ?引 进了一种拓扑结构.

3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 ?来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 (即 ? ?). 义, 它的模规定为正无穷大 复球面的优越处:

能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.

关于 ? 的四则运算规定如下:

(1) 加法 : ? ? ? ? ? ? ? ? ?, (? ? ?) (2) 减法 : ? ? ? ? ? ? ? ? ?, (? ? ?) (3) 乘法 : ? ? ? ? ? ? ? ? ?, (? ? 0)
(4) 除法 :

?
?

? 0,

?

0 ? 运算? ? ?, 0 ? ?,以及 没有意义. 0 ?

?

? ? , (? ? ? ),

?
0

? ? , (? ? 0)


复变函数1.2 复平面上的点集

复变函数与积分变化课件... 21页 1下载券复​变​函​数​1​.​...y1 O 图 1.14 x O 图 1.15 复变函数的基础几何概念还有曲线。 定义 1....

复变函数

复变函数 经典授课课件 45页 2财富值 复变函数 29页 免费 复变函数 13页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进...

复变函数习题

复变函数习题_理学_高等教育_教育专区。大学复变函数与积分变换课件 全国2012 年 7 月高等教育自学考试? 复变函数与积分变换试题课程代码:02199 一、单项选择题(...

《复变函数》练习题

x 4 1 福师 12 秋《复变函数》辅导课件知识点和例题整理 第一讲知识点: 第一章 复数与复变函数 复数的三种表示、(主)辐角、复数的运算(乘方、开方) z ...

[复变函数与积分变换][课件][第3章][复变函数的积分]

[复变函数与积分变换][课件][第3章][复变函数的积分][复变函数与积分变换][课件][第3章][复变函数的积分]隐藏>> 第三章 第三章 复变函数的积分 本章...

复变函数引言

7.促进学生主动学习的扩充性资料 (1)提供在多年教学实践过程中积累的教学资源,如复变函数论电子教案、学习指导、 试题库及多媒体教学课件. (2) 校图书馆有丰富...

复变函数习题二(下载)

26页 1下载券 复变函数课件第二章习题... 58页 免费喜欢此文档的还喜欢 ...复变函数与积分变换习题集 解析函数 一.判断题 (1)设 f (z ) 为整函数,...

[复变函数与积分变换][课件][第6章][Fourier变换]

[复变函数与积分变换][课件][第6章][Fourier变换] [复变函数与积分变换][课件][第6章][Fourier变换][复变函数与积分变换][课件][第6章][Fourier变换]隐藏...

复变函数与积分变换 6

复变函数与积分变换课件第... 34页 2财富值 复变函数与积分变换1.1 42页 免费 复变函数教案第四章 8页 免费 复变函数与积分变换 2-2 25页 免费 复变...

网上课件一览表

食品专题课件(转基因食品) 食用菌 北方工大:概率论与数理统计(二) 北方工大:概率论与数理统计(一) 常微分方程 复变函数 伽尔顿板实验模拟 概率论与数理统计 概率...