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2.2.1 圆的方程(1)


2.2.1

圆的方程(1)

问题情境
圆是最完美的曲线.

如何建立圆的方程? 如何利用圆的方程研究圆的性质?

复习引入
问题一:什么是圆?初中时我们是怎样给圆 下定义的?

平面直角坐标系中,确定一个圆的最基本的 要素是圆心和半径

/>圆心确定位置,半径确定大小

探究新知 问题二:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么?

设点M (x,y)为圆C上任一点,则|MC|= r。 y M(x,y) 由两点间的距离公式可得

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

O

C(a,b)

x

把上式两边平方得:

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

反过来,若点P1的坐标(x1,y1)是二元二次方程
2 2 ? ? ( x ? a ) ? y ? b ? r 的解,那么 1 1 y 即有: 2

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

P(x1,y1) O

?x1 ? a ?2 ? ? y1 ? b ?2

?r

C(a,b)

x

这说明点P1(x1,y1)在以 C(a,b)为圆心,r为半径的 圆上.

圆的标准方程

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2(r>
说明:
1、 明确给出了圆心坐标和半径.

0)

2、确定圆的方程必须具备三个独立条件,

即a 、b 、r .
3、是关于x、y的二元二次方程. 特别地:若圆心在坐标原点,则圆方程为x2+y2=r2

以原点为圆心,半径为1的圆x2+y2=1通常称为单位圆

数学运用 口答1:请说出圆 (x-1)2+(y-3)2=9的圆心及半径. 解:圆心为点(1,3)半径为r=3 口答2:判断下列方程是否为圆的标准方程,如果是请 说出其圆心坐标和半径.

(1) (x-1)2+y2=6
(3)x2+(y+3)2=0

(2) (x+1)2-(y-2)2=9
(4)(x+a)2+y2=a2

例1:写出下列圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径为6 ; (2)圆心在原点,经过点(0,-3);

(3)经过原点 ,圆心为C(2,0). 解: (1)x2+y2=36
(2)x2+y2=9 (3)(x-2)2+y2=4

(4)求以点C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切 的圆的标准方程.
解:圆的半径r= 1 ,圆的方程为: (x+1) 2 + (y+5) 2 =1

(5)已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以
线段AB为直径的圆的标准方程.
解:圆心为(1,-3)半径为r= 29 ,
圆 的方程为:(x-1)2+(y+3)2=29

例2 己知圆心为C的圆经过点
A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为 y

l
A

C
C的圆的标准方程.

o B

x



例2 己知圆心为C的圆经过点 A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为 C的圆的标准方程.
? A(1,1)和B(2,-2)

y

l A x

C

o B

3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 几何性质法 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2 ?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2
? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例2 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

解:设圆C的方程为

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,
待定系数法

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

圆经过(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ?a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ?2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.



例3 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

待定系数 法

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

?(5 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a ) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
2 2 2

?a ? 2, ? ?b ? ?3, ?r ? 5. ?

所求圆的方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

例4.已知隧道的截面是半径为4米的半圆,车辆只能在道 路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7米,高为3米的货车能不 能驶入这个隧道?
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原 点,半圆的直径AB所在的直线为 x轴,建立直角坐标系(如右图) 那么半圆的方程为 x ? y ? 16( y ? 0)
2 2

将x=2.7代入,得 y ? 16 ? 2.7 2 ? 8.71 ? 3
即在离中心线2.7米处,隧道的高度低于货车的高度.

因此,货车不能驶入这个隧道.

课堂小结

1.圆的标准方程
2 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r( r ? 0)(圆心C(a,b),半径r)

2.求圆的标准方程的方法: ①几何性质法 ②待定系数法


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