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大学高等数学期末考试试题及答案

时间:2012-06-02


高数

2012 高等数学期末考试试题【A 卷】
考试日期:2012 年

院(系)别 大题 小题 得分 一

班级 二 3

学号

姓名 三 四 五

成绩 六 七

1

2

4

/>
5

一、填空题: (本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分,把答案直接填在题中横线上)
1、已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0 , a ? 2 , b ? 2 ,则 a ? b ? 2、设 z ? x ln( xy) ,则

?

?

?

?

?

?

?

? ?



?3 z ? ?x?y 2



3、曲面 x ? y ? z ? 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为
2 2



4、设 f ( x) 是周期为 2? 的周期函数,它在 [? ? , ? ) 上的表达式为 f ( x) ? x ,则 f ( x) 的傅里叶级数 在 x ? 3 处收敛于 ,在 x ? ? 处收敛于 . .

5、设 L 为连接 (1, 0) 与 ( 0, 1) 两点的直线段,则

?

L

( x ? y ) ds ?

※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题: (本题共 5 小题,每小题 7 分,满分 35 分)
1、求曲线 ?

?2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 9 ? 在点 M 0 (1, ?1, 2) 处的切线及法平面方程. 2 2 2 ? z ? 3x ? y ?
2 2 2 2

2、求由曲面 z ? 2 x ? 2 y 及 z ? 6 ? x ? y 所围成的立体体积.

3、判定级数

? (?1)
n ?1

?

n

ln

n ?1 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? n

?z ? 2 z x 4、设 z ? f ( xy, ) ? sin y ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 , . ?x ?x?y y
5、计算曲面积分

??
?

dS , 其中 ? 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 被平面 z ? h (0 ? h ? a) 截出的顶部. z

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高数
三、(本题满分 9 分)
抛物面 z ? x ? y 被平面 x ? y ? z ? 1 截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.
2 2

四、(本题满分 10 分)
计算曲线积分

?

L

(ex sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ,
2 2

其中 m 为常数, L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x ? y ? ax (a ? 0) .

五、(本题满分 10 分)
xn 求幂级数 ? n 的收敛域及和函数. n ?1 3 ? n
?

六、(本题满分 10 分)
计算曲面积分 I ?

?? 2x dydz ? 2 y dzdx ? 3( z
3 3 ?
2 2

2

? 1)dxdy ,

其中 ? 为曲面 z ? 1 ? x ? y ( z ? 0) 的上侧.

七、(本题满分 6 分)
设 f ( x) 为连续函数, f (0) ? a , F (t ) ?

??? [ z ? f ( x
?t t ?0

2

? y 2 ? z 2 )]dv ,其中 ?t 是由曲面 z ? x 2 ? y 2

与z ?

t 2 ? x 2 ? y 2 所围成的闭区域,求 lim ?

F (t ) . t3

------------------------------------备注:①考试时间为 2 小时; ②考试结束时,请每位考生按卷面 ? 答题纸 ? 草稿纸由表及里依序对折上交;
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高数
不得带走试卷。

2012 高等数学期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准
一、填空题【每小题 4 分,共 20 分】 1、 ?4 ; 2、 ? 二、试解下列各题【每小题 7 分,共 35 分】
2009 年 6 月

1 ;3、 2 x ? 4 y ? z ? 14 ; 4、3,0; 5、 2 . y2

dz ? dy 3y ? z ? ?2 x ? dx dy 5 x dz 7 x ? dx ?? 1、解:方程两边对 x 求导,得 ? , 从而 , …………..【4】 ? dx 4 y dx 4 z ? y dy ? z dz ? ?3 x ? dx dx ?
该曲线在

?1, ?1, 2 ? 处的切向量为 T ? (1,

? ?

5 7 1 , ) ? (8,10,7). …………..【5】 4 8 8

故所求的切线方程为

x ?1 y ?1 z ? 2 ………………..【6】 ? ? 8 10 7

法平面方程为

8 ? x ? 1? ? 10 ? y ? 1? ? 7 ? z ? 2 ? ? 0 即 8x ? 10 y ? 7 z ? 12 ……..【7】

? z ? 2x2 ? 2 y 2 2、解:? ? x 2 ? y 2 ? 2 ,该立体 ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy : x 2 ? y 2 ? 2 .…..【2】 2 2 ?z ? 6 ? x ? y
故所求的体积为 V

? ??? dv ? ? d? ?
?
0

2?

2 0

?d ? ?

6? ? 2 2?
2

dz ? 2? ?

2 0

? (6 ? 3? 2 )d ? ? 6? ……..【7】

? 1 1 n 3、解:由 lim n un ? lim n ln(1 ? ) ? lim ln(1 ? ) ? 1 ? 0 ,知级数 ? un 发散…………………【3】 n?? n?? n n?? n n ?1

又 | un

1 1 1 【7】 |? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ?| un?1 | , lim | un |? lim ln(1 ? ) ? 0 .故所给级数收敛且条件收敛. n?? n?? n n ?1 n

4、解:

?z 1 1 ? ( f1?? y ? f 2? ? ) ? 0 ? yf1? ? f 2? , ?x y y

…………………………………【3】

1 x ?2 z x 1 1 x ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? f1? ? y[ f11 ? x ? f12 ? (? 2 )] ? 2 f 2? ? [ f 21 ? x ? f 22 ? (? 2 )] ? f1? ? xyf11 ? 2 f 2? ? 3 f 22 .【7】 y y ?x?y y y y y
5、解: ? 的方程为 z 又
2 2 1 ? zx ? z y ? a

? a 2 ? x 2 ? y 2 , ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? a 2 ? h 2 } .

a 2 ? x2 ? y 2 ,…..………【3】
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高数
2? a 2 ? h2 ? d ? dS adxdy ? 1 ? 故 ?? ? 2? a ? ? ln(a 2 ? ? 2 ) ? ? ?? 2 ? a ? d? ? 2 2 2 2 0 0 z Dxy a ? x ? y a ?? ? 2 ?0 ?
a 2 ? h2

a ? 2? a ln ..【7】 h

三、 分】解:设 M ( x, y, z ) 为该椭圆上的任一点,则点 M 到原点的距离为 d ? 【9
令 L( x, y, z ) ? x ? y ? z ? ? ( z ? x ? y ) ? ? ( x ? y ? z ? 1) ,
2 2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? z 2 ……【1】

? Lx ? 2 x ? 2? x ? ? ? 0 ? L ? 2 y ? 2? y ? ? ? 0 ? y ?1 ? 3 ? 则由 ? , z ? 2 ? 3 .于是得到两个可能极值点 Lz ? 2 z ? ? ? ? ? 0 ,解得 x ? y ? 2 2 2 ? z?x ?y ? x ? y ? z ?1 ? ?
M1 ( ?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 , , 2 ? 3), M 2 ( , , 2 ? 3). …………………【7】 2 2 2 2

又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得. 故 d max

?| OM 2 |? 9 ? 5 3 , d min ?| OM 1 |? 9 ? 5 3. ……【9】

四、 分】 解:记 L 与直线段 OA 所围成的闭区域为 D ,则由格林公式,得 【10

I2 ?
而 I1

L ? OA

? (e ?
OA

x

sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ? ?m ?? d? ? ?
D

?
8

ma 2 .………………【5】

? ? (e x sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ? ?m? dx ? ?ma …………【8】
0

a

? ?L (e x sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ? I 2 ? I1 ? ma ?

?
8

ma 2 .

………………………【10】

an?1 n3n 1 五、 分】解: ? ? lim 【10 ? lim ? ? R ? 3 ,收敛区间为 (?3,3) …………【2】 n ?1 n?? a n?? ? n ? 1? 3 3 n
? 1 ? ?1? ,收敛.……【4】 又当 x ? 3 时,级数成为 ? ,发散;当 x ? ?3 时,级数成为 ? n n ?1 n ?1 n

?

n

故该幂级数的收敛域为
?

? ?3,3? ………【5】

xn 令 s ? x ? ? ? n ( ?3 ? x ? 3 ) ,则 n ?1 n3

s?( x) ? ?
n ?1

?

x n ?1 1 ? x n ?1 1 1 1 ? ?( ) ? ? , ( | x |? 3 ) ……【8】 n 3 3 n ?1 3 31? x / 3 3 ? x
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高数
于是 s ( x) ?

?

x 0

s?( x)dx ? ?

x dx ( …………………. 【10】 ? ? ln ? 3 ? x ? 0 ? ln 3 ? ln ? 3 ? x ? , ?3 ? x ? 3 ) 0 3? x x

六、 分】解:取 ?1 为 z ? 0( x 2 ? y 2 ? 1) 的下侧,记 ? 与 ?1 所围成的空间闭区域为 ? ,则由高斯公式, 【10
有 I2

?

???1

? 2 x dydz ? 2 y dzdx ? 3? z ??
3 3

2

? 1? dxdy ? ??? 6 ? x 2 ? y 2 ? z ? dv ………….… 【5】
?
2? 0 1 ?? 2 1 0

? 6? d? ? d ? ?
0

??

2

? z ?? dz ? 2? …………………….…【7】

而 I1

? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3 ? z 2 ? 1? dxdy ? ?? 3 ? z 2 ? 1? dxdy ? 3
?1 ?1

x ? y ?1
2 2

??

dxdy ? 3? ….… 【9】

? I ? I 2 ? I1 ? 2? ? 3? ? ?? . …………………….… 【10】
七、 分】解: F ? t ? ? 【6

?

2? 0

d? ? 4 sin ? d? ? ? r cos ? ? f ? r 2 ? ? r 2dr ….… 【2】 ? 0 0?
t

?

? t t ? ? ? 3 4 ? 2? ? ? sin ? cos ? d? ? r dr ? ? 4 sin ? d? ? f ? r 2 ? r 2 dr ? 0 0 0 0 ? ?

?t4 ?? ? ? 2? 2 ?8

?

??

t

? r 2 f ? r 2 ? dr ? ….… 【4】 0 ?

F ?t ? 故 lim 3 ? lim t ?0? t ?0 ? t

??

? t3 ? ? 2 ? 2 t 2 f (t 2 ) ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? lim f (t 2 ) ? 2 ? 2 ? a. 【6】 2 t ?0 ? 3t 3 3

?

?

第 5 页 共 2 页


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